劉畔畔，桑海風(fēng)，趙 盈，王 堯

(1.北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 吉林 132013；2.北華大學(xué)機械工程學(xué)院，吉林 吉林 132021)

0 引 言

在模型降價和控制論[1-2]等領(lǐng)域中，許多問題都可以歸結(jié)為求解Sylvester矩陣方程AX+XB=C的問題.本文研究計算此矩陣方程近似對稱解X的可信驗證方法，其中A，B和C均為n×n階的實矩陣.為了驗證Sylvester矩陣方程的解，將AX+XB=C改寫成Px=c的形式，其中P=In?A+BT?In，x=vec(X)，c=vec(C)，?表示Kronecker積，vec表示按列拉直算子.

本文將在Sylvester矩陣方程的系數(shù)矩陣不可對角化時，利用可信驗證算法獲得該方程的近似對稱解及其誤差界，得到一個可信驗證算法，使其精確解存在于近似解的誤差界內(nèi).

求解此類問題，一般可以考慮利用verifyless函數(shù)來驗證線性方程Px=c的解，得到可信區(qū)間向量x，再將其還原為n×n階矩陣，最終得到方程AX+XB=C的可信區(qū)間矩陣X.但是，此方法計算量非常大.為了解決這個問題，本文將提出一種算法，該算法可以降低驗證的時間，提高計算效率.

1 主要結(jié)果

假設(shè)Sylvester方程有唯一解，且矩陣A和B不可對角化，對A和B作如下分解[3]：

A=V1D1W1，其中V1，D1，W1∈n×n，V1W1=I，

B=V2D2W2，其中V2，D2，W2∈n×n，V2W2=I，

其中D1和D2都是塊對角的矩陣并且每個對角塊都是上三角的或下三角的，這個過程可以通過標準正交化和酉三角化來實現(xiàn).為了表達方便，假設(shè)D1的每個對角塊都是上三角的，D2的每個對角塊都是下三角的，那么

P=In?A+BT?In=

為了計算方便，令

則可以把線性方程組Px=c改寫為Qy=f.

每一個塊又都可以表示為塊上三角形，以第一塊為例

那么如果D1和D2中所有的塊都是2×2的，則Δ的稀疏結(jié)構(gòu)如下：

引理1[4]設(shè)A，B，C是可乘的區(qū)間矩陣，那么

引理2[5]設(shè)A，T∈n×n，b∈n，x∈為線性系統(tǒng)Ax=b的近似解.若區(qū)間判定條件成立，則存在矩陣使得并且矩陣A，T都是非奇異的，其中int(x)表示x的內(nèi)部.

引理3[6]給定區(qū)間矩陣A∈n×n和區(qū)間向量b∈n，若函數(shù)verifylss運行成功，則該函數(shù)計算得到的區(qū)間向量x?n滿足Σ(A，b)={x∈n：Ax=b，A∈A，b∈b}∈x.

由引理1得

vec(M)?{(In?(D1-S1))z：z∈z，S1∈S1}，

vec(N)?{((D2-S2)T?Im)z：z∈z，S2∈S2}.

因為

{(Δ-Q)z：z∈z}?vec(M)+vec(N)，

進而{Δ-1(Δ-Q)z：z∈z}={(I-Δ-1Q)z：z∈z}?Δ-1(vec(M)+vec(N)).又由

可用Matlab中INTLAB軟件包的verifyless函數(shù)來實現(xiàn)線性方程組的可信驗證.定義如下符號：

M(X)=ATAX+ATXB+AXBT+XBBT+XATA+BTXA+BXAT+BBTX，

G=ATC+CBT+CTA+BCT，P(X)=G-M(X)，Pk=P(Xk).

利用文獻[7]中對稱解求解的方法和引理3，設(shè)計可信驗證算法如下：

算法1

輸入：n階矩陣A，B，C，X0， 隨機對稱矩陣X1，最大迭代次數(shù)N和容差ε；

3)計算

轉(zhuǎn)2).

4)對A和B進行如下分解：A=V1D1W1，B=V2D2W2.

5)由verifyless函數(shù)計算區(qū)間矩陣W1和W2，使得W1∈W1，V2∈W2.

7)計算區(qū)間矩陣

S1=(W1A)W1，S2=V2(BV2)，u=Δ-1vec(T)，U=vec-1(u).

8.1)如果iter≤15， 則執(zhí)行下面步驟，否則“失敗”.

8.3)計算M=(D1-S1)Z，N=Z(D2-S2)，u=Δ-1vec(T+M+N)，U=vec-1(u).

2 數(shù)值算例

基于Windows 7操作系統(tǒng)，利用MATLAB R2011a(INTLAB V6)軟件進行下面的數(shù)值實驗.對下面的矩陣方程執(zhí)行可信驗證算法，可以計算得到線性矩陣方程的近似對稱解和對應(yīng)的可信誤差界.

例1給定矩陣

考慮Sylvester矩陣方程AX+XB=C對稱解的可信區(qū)間.

輸入：X1=0，N=1 000，ε=10-5.

輸出：通過115次數(shù)值迭代得到近似對稱解：

計算區(qū)間矩陣

矩陣方程AX+XB=C的唯一精確解

存在于如下可信區(qū)間解中：