晏瑜敏，楊忠鵬，陳梅香，呂洪斌，余志拯

(1.莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，福建 莆田 351100；2北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 吉林 132013； 3.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 廈門 361005)

0 引 言

設(shè)Fn×n、F[x]分別表示數(shù)域F上的n×n階矩陣、一元多項式集合，為復(fù)數(shù)域，In表示n×n階單位矩陣.r(A)、Dk(A)、fA(x)和mA(x)分別表示矩陣A∈Fn×n的秩、第k階行列式因子、特征多項式和最小多項式.設(shè)、+分別表示整數(shù)、正整數(shù)的集合.總約定n×n階冪零矩陣本文不加特別說明，矩陣中沒有寫出的元素約定都是零.

2014年，第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽給出如下問題，為敘述方便標(biāo)注為命題1：

命題1設(shè)n為給定的正整數(shù)，則對任意m，l∈+，存在n階方陣X使得

(1)

第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽組委會為命題1提供的答題要點可整理為：

1) 所求的方程變?yōu)?/p>

(2)

其中f1(a1)由a1確定，…，fn-2(a1，…，an-2)由a1，…，an-2確定.

3)觀察方程組

(3)

直接可看出該方程組(3)有解.

張福振在文獻(xiàn)[1]中給出：

命題2([1，問題3.4.19]) 如果矩陣A的所有特征值都是1，則對任意正整數(shù)k，總有Ak與A相似.

命題2是很有影響的問題，丘維聲教授的“高等代數(shù)”將其作為習(xí)題([2，習(xí)題6.11.21])，也是2010年新疆大學(xué)考研試題([3，例8.5]).

文獻(xiàn)[4，例8.12]，[5，例12.4]，[6，例8.2.28]，[7，題3.11]都采用了命題2，在敘述上有些不同：設(shè)方陣A的特征多項式fA(x)=(x-1)n，則對任意自然數(shù)k總有Ak與A相似.從解答上看文獻(xiàn)[4-7] “自然數(shù)”與文獻(xiàn)[1-3]的“正整數(shù)”的意義相同.1993年國家頒布的《量與單位》(GB 3100～3102—93)規(guī)定自然數(shù)包括0(見文獻(xiàn)[8]).這樣看來文獻(xiàn)[1-3]對命題2的敘述是準(zhǔn)確的.

在李尚志的《線性代數(shù)(數(shù)學(xué)專業(yè)用)》有:

命題3(見[9，習(xí)題7.4.5]) 求證：方陣A與所有的Ak(k為正整數(shù))相似?A的特征值全為1.

我們首先證明如果矩陣A的所有特征值都是1，則對任意非零整數(shù)k，總有Ak與A相似，那么由此可得到矩陣A與所有的Ak(k∈+)相似的充分必要條件.應(yīng)用這些討論的結(jié)論和方法，證明了可概括命題1的更廣泛的一類非線性矩陣方程解的存在性.

1 預(yù)備知識

引理1設(shè)λ(≠0)∈F，則λIn+Hn可逆且

(4)

證明：由文獻(xiàn)[10；11，引理1]知

(5)

從式(5)有

由此得式(4).證畢.

顯然式(4)與文獻(xiàn)[12，(1)]等價.從文獻(xiàn)[13，問題3.4.3]知，當(dāng)A，B∈Fn×n時，A，B在數(shù)域F上相似?A，B在復(fù)數(shù)域上相似.這樣下面討論(除非特殊說明)都在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行.

引理2([13，定理3.3.6]) 設(shè)A∈n×n所有不同的特征值為λ1，λ2，…，λt，則其中ki為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中由特征值λi確定的Jordan塊的最高階數(shù).

從文獻(xiàn)[9，定理6.4.3]及其說明可得：

引理3設(shè)A，B∈Fn×n，則A，B相似?A，B的行列式因子Dk(A)=Dk(B)，k=1，2，…，n.

引理4設(shè)m(≠0)∈(即m為非零整數(shù))，則存在qm(x)=1+mx+a2x2+…∈[x] ，使得

(6)

證明：從In與Hn可交換知，當(dāng)m∈+時，應(yīng)用二項式定理展開，由式(5)得即有qm(x)=1+mx+a2x2+…∈[x]，使(In+Hn)m=qm(Hn)，即此時式(6)成立.

對任意負(fù)整數(shù)m=-s(s∈+)，從式(4)知存在g(x)=1-x+…+(-1)kxk+…+(-1)n-1xn-1∈[x] ，使得

(7)

由式(7)知有qm(x)=[g(x)]s=[1-x+x2+…+(-1)txt+…+(-1)n-1xn-1]s，即

qm(x)=[g(x)]s=1-sx+a2x2+…=1+mx+a2x2+…∈[x].

(8)

對任意s=(-m)∈+，由式(4)，(7)和(8)得(In+Hn)m=[(In+Hn)-1]s=[g(Hn)]s=qm(Hn)，即知此時式(6)成立.證畢.

引理5設(shè)A∈n×n，如果對任意k∈+總有fAk(λ)=fA(λ)，則A的不同特征值為0或1.

引理6([11，定理2]) 設(shè)A∈n×n，則下述命題等價：

ⅰ)r(A)=u(A)(A的非零特征值的個數(shù))；

ⅱ)mA(x)=h(x)或mA(x)=xh(x)，這里首1多項式h(x)滿足h(0)≠0；

ⅲ)r(A)=r(A2).

2 矩陣A與Ak相似的進(jìn)一步討論

定理1設(shè)A∈n×n的所有特征值都是1，則對任意k(≠0)∈總有Ak與A相似.

證明：由A的所有特征值都是1，知有可逆矩陣P使得

P-1AP=diag(J1，J2，…，Js)=JA，Ji=Ini+Hni，i=1，2，…，s，

(9)

由式(9)知

Dni-1(Ji)=…=D1(Ji)=1，Dni(Ji)=(λ-1)ni.

(10)

當(dāng)k(≠0)∈時，由式(6)，(7)有

(11)

即對任意非零整數(shù)k總有Ak與A相似.證畢.

例1設(shè)A=diag(Ir，0)∈n×n，即A的特征值不全為1，從A=Ak知A與所有的Ak(k∈+)相似.這說明命題3未必總是正確的.

定理1表明命題2的結(jié)論對任意非零整數(shù)都成立.實際上文獻(xiàn)[9，習(xí)題7.4.4]在2006年就提出了這樣的問題.

推論1設(shè)A∈n×n，如果對任意k∈+總有Ak與A相似，則A的不同特征值為0或1，且A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形中由特征值0所確定的Jordan塊都是一階的.

證明：從對任意k∈+總有Ak與A相似，知有fAk(λ)=fA(λ)，?k∈+.由引理5即得A的不同特征值為0或1.

設(shè)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形JA，滿足：

P-1AP=JA=diag(J1，J2，…，Jt，Jt+1，…，Js)， 其中P∈n×n可逆；

(12)

Ji=Hni，i=1，2，…，t；n1≥n2≥…≥nt，n1+n2+…+nt=n0；

(13)

Jj=Inj+Hnj，j=t+1，t+2，…，s.

(14)

當(dāng)n0∈+，即n1∈+時，由式(5)和式(12)～(15)得

(15)

由于對任意k∈+總有Ak與A相似，應(yīng)用式(12)～(15)可知特征值0(如果存在的話)確定的Jordan塊都是一階的.證畢.

從推論1及其證明可知，命題3可在保留前提條件下修改為：

推論2設(shè)A∈n×n，如果對任意k∈+總有Ak與A相似，則A的不同特征值為0或1.

也可保留命題3的結(jié)論修改為：

推論3設(shè)A∈n×n可逆，如果對任意k∈+總有Ak與A相似，則A的特征值全為1.

與命題3相對照，推論1較完整地討論了張福振提出的命題2的逆問題.

許以超在文獻(xiàn)[14-16]中都有與上述討論相關(guān)的問題：

命題4([14，習(xí)題13.3.11；15，習(xí)題13.2.10；16，習(xí)題6.4.11]) 設(shè)矩陣A的特征值都等于1，試證：A和A的任意方冪都相似.

因為A的零次方冪為單位矩陣，可知命題4可按定理1的方式敘述.

從推論1的證明和式(12)～(14)知，當(dāng)對任意k∈+總有Ak與A相似時，A滿足

P-1AP=JA=diag(0n0，Int+1+Hnt+1，…，Ins+Hns).

(16)

反之，當(dāng)A滿足式(16)時，仿照定理1的證明可知，對任意k∈+總有Ak與A相似.這樣作為命題2及其逆問題，應(yīng)用推論1可得到：

定理2設(shè)A∈n×n，則對任意k∈+總有Ak與A相似?A的不同特征值為0或1，且特征值0確定的Jordan塊都是一階的?A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形由式(16)確定.

由式(16)知，對任意k∈+總有Ak與A相似的矩陣，滿足矩陣秩與非零特征值個數(shù)相等.從定理2和引理6可得到：

定理3設(shè)A∈n×n，則對任意k∈+總有Ak與A相似?r(A)=u(A)且非零特征值全為1?r(A)=r(A2)且所有非零特征值全為1?mA(x)=xl(x-1)n-l，0≤l≤1.

設(shè)A∈n×n，如果有A#∈n×n使得AA#A=A，A#AA#=A#，AA#=A#A，則稱A∈n×n是群可逆的，并稱A#為A的群逆，此時也稱A為GP矩陣.從文獻(xiàn)[1，17-18] 知不是每個矩陣都為群可逆的，當(dāng)然GP矩陣的群逆是唯一的.這樣從文獻(xiàn)[10-11]和定理3可得到：

推論4設(shè)A∈n×n，則對任意k∈+總有Ak與A相似?A為非零特征值全為1的GP矩陣.

3 一類非線性矩陣方程解的存在性

定理4設(shè)n與k(≥2)為給定的正整數(shù)，下三角矩陣G=(gij)∈n×n滿足gii=k-1，i=1，2，…，n，且對任意非零的m1，m2，…，mk∈，如果m1+m2+…+mk≠0，則存在X∈n×n使得

Xm1+Xm2+…+Xmk=In+G.

(17)

Dn(A)=(λ-k)n，Dn-1(A)=Dn-2(A)=…=D1(A)=1.

(18)

設(shè)Y=In+Hn，則Y可逆且對任意m(≠0)∈來說，Ym=(In+Hn)m=In+mHn+…，這樣可令B=Ym1+Ym2+…+Ymk，對任意非零的m1，m2，…，mk∈.從引理4知

(19)

由式(19)得Dn(B)=(λ-k)n.由λIn-B的第2，3，…，n行與第1，2，…，n-1列構(gòu)成的子式

從h(k)=(-(m1+m2+…+mk))n-1≠0知Dn-1(B)=1，進(jìn)而由式(18)知A與B有相同的行列式因子.這樣應(yīng)用引理3知

P-1BP=P-1(Ym1+Ym2+…+Ymk)P=A， 存在可逆矩陣P∈m×m.

(20)

令X=P-1YP=P-1(Im+H)P，從引理4和式(20)知Xn1+Xn2+…+Xnk=P-1(Ym1+Ym2+…+Ymk)P=A，這就證明了矩陣方程(17)的解是存在的.證畢.

顯然命題1是定理4中取gi，i-k=k+1，k=1，2，…，n-1，2≤i≤n，m1，m2∈+的特例，由此可得命題1的新證法.定理4中“下三角矩陣G=(gij)∈m×m滿足gii=k-1，i=1，2，…，m，且要求的條件比命題1寬松得多.此條件下式(17)的右邊的已知矩陣要表示成像式(2)那樣的Hn的多項式不是容易的事，因此要得到形如(3)的方程組是很困難的.

由上可知，定理4及其證明就是將命題1及其證明推廣應(yīng)用到k≥2的情形.