丁光濤

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

引 言

《易經(jīng)》是我國一部重要的古代典籍，其有一個(gè)抽象的符號(hào)體系：兩爻——四象——八卦——六十四卦，幾千年的傳承、闡發(fā)、研究和應(yīng)用，與這個(gè)符號(hào)體系相關(guān)聯(lián)，形成一個(gè)內(nèi)容龐大而又條理分明，要素簡(jiǎn)單卻能包羅萬象的學(xué)術(shù)體系，用以說明自然、社會(huì)和人生，直到現(xiàn)代仍有眾多學(xué)者對(duì)其進(jìn)到廣泛而深入的研討，其中包括與現(xiàn)代自然科學(xué)相關(guān)的研究[1-4]。歷史上，《易經(jīng)》研究與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，重要的研究領(lǐng)域之一是象數(shù)學(xué)說，近幾十年考古發(fā)現(xiàn)表明，易卦符號(hào)體系與數(shù)的關(guān)系源遠(yuǎn)流長，早在商周時(shí)期就有由數(shù)字寫成的易卦，即數(shù)字卦的存在[5]。在20世紀(jì)的科學(xué)易研究的一個(gè)重要方面是將現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)與傳統(tǒng)易卦學(xué)說聯(lián)系起來，這種研究代表性的成果就是易卦體系可以與數(shù)學(xué)上的二進(jìn)位制之間相聯(lián)系[6,7]。最近，我們討論了六十四卦的三種構(gòu)成方式，指出易卦體系也可以與四進(jìn)位制、八進(jìn)位制相對(duì)應(yīng)[8]。本文將從代數(shù)角度來研究易卦體系[9，10]，引入幾種不同的共軛運(yùn)算和乘法，并將兩爻、四象和八卦與通常的實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和四元數(shù)等數(shù)系的“基數(shù)”聯(lián)系比較，得到一個(gè)結(jié)論，即以四象和八卦為“基數(shù)”，可以構(gòu)成與復(fù)數(shù)、四元數(shù)并行但是又不同的數(shù)系。然后，將四象和八卦的代數(shù)運(yùn)算推廣到六十四卦?，F(xiàn)代社會(huì)進(jìn)入數(shù)字時(shí)代，算法起著越來越重要的作用，相當(dāng)數(shù)系的出現(xiàn)，會(huì)導(dǎo)致新的算法出現(xiàn)，這就是說，這種基于易卦的代數(shù)研究，可能對(duì)于數(shù)字社會(huì)和信息技術(shù)的發(fā)展具有相當(dāng)重要的意義。

2 兩爻四象八卦的共軛運(yùn)算和乘法運(yùn)算

2.1 爻和卦的共軛運(yùn)算

前人在研究卦象時(shí)發(fā)現(xiàn)，這些卦“二二相耦，非覆即變”。所謂“覆”，即將卦象中全部爻位顛倒；所謂“變”，即將卦象中每個(gè)爻的陰陽互變。

基于這種觀念，我們引入八卦的三種“共軛”變換：(1)陰陽共軛變換，即將每爻的陰陽性質(zhì)互變；記以*，

這種八卦的“二二相耦，非覆即變”，同樣適合于四象，故對(duì)于四象也能夠引入上述三種共軛變換。

對(duì)八卦為

2.2 四象和八卦的直接乘法運(yùn)算

在引入共軛變換后，進(jìn)一步引入卦象的乘法運(yùn)算。由四象，八卦的構(gòu)成可以確定，爻的乘法運(yùn)算是基礎(chǔ)，爻的乘法規(guī)定為：

利用上述字母記法，可以將爻的乘法寫成

e·e=e，ē·ē=e，e·ē=ē·e=ē

在爻的乘法基礎(chǔ)上定義四象、八卦的乘法，最簡(jiǎn)單的是直接乘法，其乘積由對(duì)應(yīng)爻位上爻的乘積決定，記為“?”，例如：

利用字母符號(hào)記法，上述直接乘法寫成

兩爻、四象和八卦的直接乘法規(guī)則可以用乘積表表示如下：

表1 兩爻直接乘積表

表2 四象直接乘積表

表3 八卦直接乘積表

引入直接乘積法后可見，四象(八卦)的陰陽共軛就是對(duì)應(yīng)的四象(八卦)與太陰(坤卦)的直接乘積。還容易驗(yàn)證，四象和八卦的直接乘積滿足交換律和結(jié)合律，在直接乘法規(guī)則下，四象和八卦分別構(gòu)成兩個(gè)對(duì)易群，群中單位元分別是太陽a和乾卦E，每一個(gè)四象和八卦都是自身的逆元。

3 四象和八卦的其他乘法

在上述直接乘法基礎(chǔ)上，結(jié)合幾種共軛運(yùn)算，可以引入其他幾種乘法。以八卦為例說明如下：

(1)陰陽共軛乘法，以⊙表示。兩個(gè)八卦的陰陽共軛乘積等于被乘八卦與相乘八卦的陰陽共軛的直積，容易驗(yàn)證，兩個(gè)八卦的陰陽共軛乘積等于兩個(gè)相乘八卦的直積的陰陽共軛。如

對(duì)于這種乘法以后不擬詳細(xì)討論。

(2)轉(zhuǎn)置共軛乘法，以×表示。兩個(gè)八卦的轉(zhuǎn)置共軛乘積等于被乘的八卦與相乘八卦的轉(zhuǎn)置共軛的直積，如：

這種乘法一般不滿足交換律和結(jié)合律。

(3)復(fù)合共軛乘法，以?表示。兩個(gè)八卦的復(fù)合共軛乘積等于被乘的八卦與相乘八卦的復(fù)合共軛的直積，如

這種乘積也不滿足交換律與結(jié)合律。

下面比較詳細(xì)地討論四象和八卦的轉(zhuǎn)置共軛乘積，對(duì)應(yīng)的乘積表如下：(表中行元素為被乘之素)

表4 四象轉(zhuǎn)置共軛乘積表

將表2、表3與表4、表5比較，可以看出直接乘法與轉(zhuǎn)置共軛的乘法之間的區(qū)別。已經(jīng)指出直接乘法滿足交換律和結(jié)合律，在多個(gè)四象或八卦連續(xù)相乘時(shí)，這種性質(zhì)說明這些相乘的四象或八卦的順序是無關(guān)緊要的，但是，對(duì)于轉(zhuǎn)置共軛乘法，交換律與結(jié)合律

表5 八卦轉(zhuǎn)置共軛乘積表

不成立，這時(shí)多個(gè)連乘的四象或八卦的順序就至關(guān)緊要了，它們的改變會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的不同的。在這種多個(gè)元素連乘時(shí)，才能表明為什么在定義轉(zhuǎn)置共軛乘法中，是取后面相乘的四象或八卦作轉(zhuǎn)置共軛后，再與前面被乘的四象或八卦作直接相乘，因?yàn)檫@樣規(guī)定才是合理的可行的。

4 基于四象八卦構(gòu)成的新數(shù)系

數(shù)學(xué)上實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和四元數(shù)的“基數(shù)”及其相反數(shù)分別是：1和-1；l，i，-i，-l；l，i，j，k，-i，-j，-k，-l。這些“基數(shù)”的乘法表如下：

表6 實(shí)數(shù)系基數(shù)乘法表

表7 復(fù)數(shù)系基數(shù)乘法表

表8 四元數(shù)系基數(shù)乘法表

如果試圖把兩爻、四象、八卦與上述三種數(shù)系的基數(shù)作如下對(duì)應(yīng)：

那么將發(fā)現(xiàn)，只有表1與表6與上述對(duì)應(yīng)相符合，而表2和表3，或表4和表5，都與表7和表8不相符合，換句話說，可以認(rèn)為兩爻與實(shí)數(shù)的基數(shù)相對(duì)應(yīng)，但是不能把四象和八卦與復(fù)數(shù)和四元數(shù)的基數(shù)對(duì)應(yīng)起來。

5 將共軛與乘法運(yùn)算推廣到六十四卦

5.1 六十四卦的共軛變換

六十四卦的陰陽共軛可以直接從八卦推廣，即每爻的陰陽性質(zhì)互變，仍然以*號(hào)標(biāo)記。

多種構(gòu)成六十四卦方式，導(dǎo)致定義六十四卦轉(zhuǎn)置共軛變換也存在多種可能。第一種最簡(jiǎn)單直接，組成的六爻位序全部翻轉(zhuǎn)，這是四象、八卦轉(zhuǎn)置共軛的直接推廣；第二種是組成的三個(gè)四象，上下位互換，中位不動(dòng)，但每個(gè)四象內(nèi)的爻位不轉(zhuǎn)置；第三種是上下經(jīng)卦互換，且每個(gè)經(jīng)卦(八卦)內(nèi)的爻卦不轉(zhuǎn)置，等等。顯然，這三種轉(zhuǎn)置共軛的結(jié)果有相同有不同。這里為了轉(zhuǎn)置共軛定義簡(jiǎn)單明確，而且與四象、八卦的轉(zhuǎn)置共軛一致，約定六十四卦的轉(zhuǎn)置共軛采用第一種方式，以符號(hào)T標(biāo)記。

確定了轉(zhuǎn)置共軛定義后，六十四卦的復(fù)合共軛就是將陰陽共軛與轉(zhuǎn)置共軛組合起來，即組成六十四卦的六爻，全部陰陽互變，而且爻位全部翻轉(zhuǎn)，這種復(fù)合共軛仍然以符號(hào)+標(biāo)記。

5.2 六十四卦的直接乘法和轉(zhuǎn)置共軛乘法

六十四卦的乘法也只討論兩種；第一種是直接乘法，兩卦的直接乘積由六個(gè)對(duì)應(yīng)爻位上的兩爻直接乘積決定。例如，家人卦與既濟(jì)卦直積是夬卦，節(jié)卦與旅卦直積是坤卦：

第二種是轉(zhuǎn)置共軛乘法，由兩卦的乘積是被乘的六十四卦與相乘的六十四卦的轉(zhuǎn)置共軛的直接乘積決定，如家人卦與既濟(jì)卦的轉(zhuǎn)置共軛乘積為剝卦，節(jié)卦與旅館的轉(zhuǎn)置共軛乘積為頤卦：

顯然，只有第一種直接乘法是可交換可結(jié)合的，對(duì)這種乘法六十四卦構(gòu)成一個(gè)可交換群，單位元是乾卦，每一卦的逆元都是自身。

6 結(jié)論與討論

本文循著近世代教的觀念和方法，對(duì)傳統(tǒng)的易卦進(jìn)行新的探討和闡釋：

(1)對(duì)四象和八卦引入三種共軛運(yùn)算：陰陽共軛、轉(zhuǎn)置共軛和復(fù)合共軛。

(2)定義兩爻乘積，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合共軛運(yùn)算，定義四象和八卦的乘法運(yùn)算，重點(diǎn)討論了兩種：直接乘法和轉(zhuǎn)置共軛乘法。

(3)將兩爻、四象和八卦分別當(dāng)作某些數(shù)系的“基數(shù)”，發(fā)現(xiàn)與兩爻對(duì)應(yīng)的是實(shí)數(shù)系，但是，與四象和八卦對(duì)應(yīng)的數(shù)系，則分別與復(fù)數(shù)系和四元數(shù)系形似而實(shí)不同，但是，可以在四象和八卦作為基數(shù)的假設(shè)下，引入新的數(shù)系，這兩種新的數(shù)系可以看作實(shí)數(shù)系的推廣。

(4)將上述共軛運(yùn)算和兩種乘法推廣到六十四卦。

以現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念和方法來探討易卦，能夠啟迪新的數(shù)學(xué)思想，能夠產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)成果。例如，可以發(fā)展二進(jìn)位制、四進(jìn)位制、八進(jìn)位制，這些進(jìn)位制與傳統(tǒng)十進(jìn)位制不同，但并行不悖，且在新的信息技術(shù)科學(xué)中獲得重要應(yīng)用。這種研究在當(dāng)代更有其必要，古代希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“一切皆數(shù)”，在后工業(yè)化社會(huì)，“一切皆信息”，信息表現(xiàn)為數(shù)據(jù)，故在一定程度上可以說，一切能夠表示為數(shù)據(jù)，算法的價(jià)值空前提高。如果能夠在數(shù)的基本領(lǐng)域研究上有所突破，觀念上有所創(chuàng)新，那么一定具有潛在的價(jià)值，故應(yīng)當(dāng)繼續(xù)研究基于四象和八卦上的新的數(shù)系和算法，探索引入的易卦代數(shù)在科技領(lǐng)域中可能的應(yīng)用。

此外，研究易卦結(jié)構(gòu)與排序問題時(shí)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)六十四卦與遺傳因子之間的對(duì)應(yīng)[11-13]，還可以在六十四卦與輕子夸克之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系[13]，以及其它的眾多與自然科學(xué)技術(shù)相關(guān)的探索[14,15]，都顯示出傳統(tǒng)的易經(jīng)學(xué)說可能對(duì)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究有啟發(fā)和促進(jìn)作用，所以不論當(dāng)下的這些研究成果是多么不成熟，但這種借鑒中華傳統(tǒng)智慧，探索新的科學(xué)技術(shù)的努力，都應(yīng)當(dāng)繼續(xù)下去。