王仁明 陳 昱 張赟寧 王凌云

(三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院， 湖北 宜昌 443002)

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型能夠更加真實(shí)準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實(shí)世界中存在的系統(tǒng)，越來越受到科學(xué)界和工程界的重視．許多系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以采用分?jǐn)?shù)階微積分描述，如：熱流體流動過程[1]，無人機(jī)飛行控制[2]，電磁波和粘彈性系統(tǒng)[3]等．許多分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的動態(tài)行為是混沌的或超混沌的，如：分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)[4]、分?jǐn)?shù)階Lu系統(tǒng)[5]、分?jǐn)?shù)階Lorenz混沌系統(tǒng)[6]、分?jǐn)?shù)階蔡氏電路[7]等．分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的階數(shù)引起的復(fù)雜性也讓其比整數(shù)階混沌系統(tǒng)具有更高的保密性，因此，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在數(shù)據(jù)加密[8]、保密通信[9]等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景．從而，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析與同步控制設(shè)計被廣泛研究，如自適應(yīng)滑?？刂仆絒10]、自適應(yīng)控制[11]、狀態(tài)反饋控制[12]等．

細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(cellular neural network，CNN)由Chua 和Yang于1988年提出[13]，是一種局部互聯(lián)、雙值輸出的信號非線性模擬處理器，適用于超大規(guī)模集成電路實(shí)現(xiàn)．這使得CNN的研究成果廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、自動控制、模式識別、保密通訊、圖像處理等領(lǐng)域[14-16]．同時，CNN也是一種非線性系統(tǒng)，當(dāng)滿足某些特定條件時，在CNN中能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象[17]．大多數(shù)CNN的研究成果都是基于整數(shù)階模型得到的，如CNN在圖像加密中的應(yīng)用[18]、憶阻細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在圖像處理中的應(yīng)用[19]等．事實(shí)上，整數(shù)階系統(tǒng)是對實(shí)際系統(tǒng)的理想化處理，分?jǐn)?shù)階模型相比于整數(shù)階模型，能顯示出比整數(shù)階模型更符合實(shí)際的特性，如更高的靈敏性和記憶性，可以更精確地描述系統(tǒng)的復(fù)雜特性及其變化．若以分?jǐn)?shù)階模型描述CNN，則更準(zhǔn)確及更具有實(shí)際應(yīng)用價值，而這種研究并不多見．因此，本文構(gòu)建了一個四階分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)模型，分析了其動力學(xué)特性，如混沌吸引子、時序圖、Lyapunov指數(shù)、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．同時也驗證了在相同的系統(tǒng)參數(shù)和初始條件下，系統(tǒng)的混沌吸引子結(jié)構(gòu)依賴于分?jǐn)?shù)階階次的取值，并給出了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的參數(shù)范圍．設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器鎮(zhèn)定系統(tǒng)，并通過仿真結(jié)果驗證了設(shè)計的正確性．

1 細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階模型

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)的積分和微分的推廣．?dāng)?shù)學(xué)家提出了多種分?jǐn)?shù)階微積分的定義，本文采用Caputo定義分析和設(shè)計系統(tǒng)．其定義如下[20]．

(1)

在細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，第i行，第j列的神經(jīng)元只與周圍相鄰的神經(jīng)元連接．CNN的狀態(tài)模型可以簡化為如下形式

(2)

其中，xj是第j個細(xì)胞的狀態(tài)變量，aj，Ajk，Sjk是常數(shù)值．若令式(2)的參數(shù)值如下：s11=s12=s21=s24=s33=s34=s42=s43=0，a1=a2=a3=0，Ajk=04×4，I1=I2=I3=I4=0．則可以得到式(3)的CNN狀態(tài)方程模型：

(3)

與模型(3)對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階CNN模型為：

(4)

式中，q=(q1，q2，q3，q4)，0

2 分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)分析

2.1 混沌吸引子

調(diào)整四階分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(4)的參數(shù)值，可以使其產(chǎn)生混沌及超混沌現(xiàn)象．若取參數(shù)為：a1=a2=a3=0，I1=I2=I3=I4=0，a4=200，Ajk=04×4，s13=s14=-1，s22=2，s23=1，s31=14，s32=-14，s41=100，s44=-100．

令q1=q2=q3=q4=0.95，取步長為0.05，初始狀態(tài)為x1(0)=0.1，x2(0)=0.2，x3(0)=0.2，x4(0)=0.2．用Adams-Bashforth-Moulton預(yù)估校正方法[21]對系統(tǒng)(4)求解，可得系統(tǒng)(4)的混沌奇異吸引子和狀態(tài)時序圖分別如圖1～2所示．

圖1 四維分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)3-D混沌吸引子相圖

圖2 四維分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)狀態(tài)分量時序圖

圖1顯示，在特定的參數(shù)值、初始狀態(tài)以及分?jǐn)?shù)階階數(shù)的情況下，系統(tǒng)(4)呈現(xiàn)混沌狀態(tài)．可以進(jìn)一步驗證當(dāng)q1，q2，q3，q4變化時，系統(tǒng)(4)的混沌吸引子會隨之變化甚至消失．若取q1=q2=q3=q4=0.92，而參數(shù)和初值不變時，其相圖如圖3所示．

圖3 q1=q2=q3=q4=0.92時，四維分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)3-D相圖

當(dāng)q1=q2=q3=q4=0.87而參數(shù)和初值取值不變時，其相圖如圖4所示．

圖4 q1=q2=q3=q4=0.87時，四維分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)3-D相圖

當(dāng)q1=q2=q3=q4=0.76而參數(shù)和初值取值不變時，其相圖如圖5所示．

圖5 q1=q2=q3=q4=0.76時，四維分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)3-D相圖

通過上面4組混沌吸引子相圖，可以清楚地觀察到，當(dāng)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階階次發(fā)生改變時，系統(tǒng)的動態(tài)特性發(fā)生了改變．當(dāng)0.77≤q≤1時，系統(tǒng)的混沌特性是存在的，而當(dāng)q<0.77時，系統(tǒng)的混沌特性不存在．

2.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

由于在式(4)中，f(xi)=1/2(|xi+1|-|xi-1|)為非線性函數(shù)，所以，按照D1={x||x4|≤1}；D2={x||x4|≥1}；D3={x||x4|≤-1} 3個區(qū)域來求解系統(tǒng)的平衡點(diǎn)．令式(4)右邊等于零，得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為xeq1=(0，0，0，0)T，xeq2=(2，2，-4，4)T和xeq3=(-2，-2，4，-4)T．式(4)的Jacobi矩陣為：

(5)

在3個平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣分別為：

可以求得平衡點(diǎn)處的特征值見表1．

表1 平衡點(diǎn)的雅可比矩陣的特征值

由表1知，在(0，0，0，0)T處，4個特征根的實(shí)部均為正實(shí)數(shù)，所以，該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；在(2，2，-4，4)T和(-2，-2，4，-4)T處，特征根λ2，λ3的實(shí)部為正實(shí)數(shù)，λ1為負(fù)實(shí)數(shù)，λ4為正實(shí)數(shù)．所以，該平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)．平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定性也導(dǎo)致了系統(tǒng)(4)的混沌現(xiàn)象．

2.3 Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是表征動力學(xué)系統(tǒng)相鄰軌道平均分散率的物理量，體現(xiàn)了系統(tǒng)動態(tài)行為的內(nèi)在特征．對于混沌系統(tǒng)，至少有一個正的Lyapunov指數(shù)．Lyapunov指數(shù)的計算公式如下：

(6)

式中，F(xiàn)′(x)為系統(tǒng)所對應(yīng)的雅可比矩陣，xi為平衡點(diǎn)．

由式(6)知，在平衡點(diǎn)(0，0，0，0)T處，Lyapunov指數(shù)分別為132.615 3，2.199 2，0.980 9，1.169 1；在平衡點(diǎn)(2，2，-4，4)T處，4個Lyapunov指數(shù)值分別為0.818 4，0.419 4，0.197 4，-67.952 3，其中有3個為正數(shù)．此外，在參數(shù)和初始值不變的情況下，改變系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階的階數(shù)值也影響Lyapunov指數(shù)，這種影響可以通過Lyapunov指數(shù)譜直觀地表示出來．表2顯示qi(i=1，2，3，4)取不同值時的Lyapunov指數(shù)值，圖6則為平衡點(diǎn)(2，2，-4，4)T的Lyapunov指數(shù)譜．

圖6 不同qi(i=1，2，3，4)取值的Lyapunov指數(shù)譜

qω1ω2ω3ω40.980.72410.33840.2391-78.65070.900.99960.39910.2624-31.46740.872.74951.12290.26440.36320.76161.89521.7445-0.00900.2050

由表2可知當(dāng)q=0.76時，4個Lyapunov指數(shù)中有3個正數(shù)，而由圖6可知，此時系統(tǒng)是沒有混沌現(xiàn)象．因此，只通過Lyapunov指數(shù)這一個指標(biāo)難以判別一個系統(tǒng)是否能夠產(chǎn)生混沌．

3 分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制設(shè)計

為設(shè)計分?jǐn)?shù)階CNN系統(tǒng)的控制律，下面的引理是有用的．

引理1[22]、設(shè)系統(tǒng)(4)的階數(shù)q1=q2=q3=q4=q∈(0，1)，當(dāng)且僅當(dāng)det(λI-Ji)=0求得的所有特征根都滿足|arg(λ)|>(qπ)/2時，對應(yīng)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的．

階次為q的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域如圖7所示．

圖7 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域

由引理1和圖7可以看出，對于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，若0

受控的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)(4)可以重寫為如下形式：

(7)

設(shè)計(7)的狀態(tài)反饋控制律為：

u(t)=K(x(t)-xeq)

(8)

(9)

若誤差系統(tǒng)(9)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定，則受控系統(tǒng)(8)在其平衡點(diǎn)亦漸近穩(wěn)定．

根據(jù)細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的特性，分以下幾種情況討論：

由det(λI-J4)=0，求得其特征根為：λ1=-98.961 0，λ2=-49.389 4，λ3=-4.398 1，λ4=-2.251 6，所有特征根都具有負(fù)實(shí)部，因此，誤差系統(tǒng)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定．從而原系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(0，0，0，0)T處漸近穩(wěn)定．取初始值e(0)=(0.1，0.2，0.2，0.2)T，仿真結(jié)果如圖8所示．

圖8 在xeq1=(0，0，0，0)T處的狀態(tài)軌跡

由det(λI-J5)=0知其特征根為λ1=-40，λ2=-80，λ3=-1，λ4=-3，特征根均具有負(fù)實(shí)部．因此，該平衡點(diǎn)處，誤差系統(tǒng)軌跡在區(qū)域D1={e|-5≤e4≤-3；e1，e2，e3∈R}與區(qū)域D2={e|e4<-5 ore4>-3；e1，e2，e3∈R}之間切換．令初始值e(0)=(-3，-2.5，-2，-4.5)T，仿真結(jié)果如圖9所示．可知誤差系統(tǒng)(9)在原點(diǎn)漸近穩(wěn)定．從而受控系統(tǒng)(7)在平衡點(diǎn)xeq2=(2，2，-4，4)T漸近穩(wěn)定．

圖9 平衡點(diǎn)xeq2=(2，2，-4，4)T處的相圖及狀態(tài)軌

圖10 平衡點(diǎn)xeq3=(-2，-2，4，-4)T處的相圖及狀態(tài)軌跡

4 結(jié) 論

本文在已有的整數(shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一個四階分?jǐn)?shù)階細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型，通過分析系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)，混沌吸引子，平衡點(diǎn)穩(wěn)定性等，研究了系統(tǒng)的動力學(xué)行為．通過分析可知，在參數(shù)值、初始值不變的情形下，調(diào)整階次的數(shù)值可以產(chǎn)生復(fù)雜的混沌現(xiàn)象．此外，基于狀態(tài)反饋控制策略設(shè)計了一個控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)的不平衡點(diǎn)，并通過數(shù)值仿真驗證了設(shè)計的有效性．