馮棟梁，許建聰，許輝鵬，于劍楓

（1.上海市市政工程建設(shè)發(fā)展有限公司，上海市200025；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海市200092；3.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海市 200092）

0 引 言

隨著我國(guó)地下工程的高速發(fā)展，地鐵沿線、高架道路及隧道等附近的大型深基坑工程越來(lái)越多，鋼支撐系統(tǒng)逐漸成為深基坑內(nèi)支撐系統(tǒng)的主導(dǎo)施工模式，且需求量越來(lái)越大。傳統(tǒng)的鋼支撐軸力多是基于基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度控制而確定，而溫度變化對(duì)基坑鋼支撐軸力有較大影響[1]。因此，研發(fā)出能夠?qū)崿F(xiàn)鋼支撐軸力補(bǔ)償及基坑變形監(jiān)控的智能系統(tǒng)成為市場(chǎng)所需。通過(guò)合理調(diào)控軟土深基坑中鋼支撐伺服系統(tǒng)軸力，不僅保證了經(jīng)濟(jì)可行性，而且在控制圍護(hù)側(cè)向變形方面效果顯著[2～5]。基坑伺服鋼支撐軸力監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理是合理調(diào)控軟土深基坑中鋼支撐伺服系統(tǒng)軸力的關(guān)鍵之一。本文通過(guò)建立ARIMA 模型，對(duì)基坑伺服鋼支撐軸力監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行探析，以期為今后類似基坑的圍護(hù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。

1 ARIMA 模型

ARIMA 模型是一種重要的時(shí)間序列預(yù)測(cè)分析模型。ARIMA 模型是在平穩(wěn)的時(shí)間序列基礎(chǔ)上建立起來(lái)的，因此時(shí)間序列的平穩(wěn)性是建模的重要前提。平穩(wěn)性要求經(jīng)由樣本時(shí)間序列得到的擬合曲線在未來(lái)短時(shí)間內(nèi)能夠順著現(xiàn)有的形態(tài)慣性地延續(xù)下去，即數(shù)據(jù)的均值、方差在理論上不應(yīng)有過(guò)大的變化。平穩(wěn)性可以分為嚴(yán)平穩(wěn)與弱平穩(wěn)兩類。嚴(yán)平穩(wěn)指的是數(shù)據(jù)的分布不隨時(shí)間的改變而改變；弱平穩(wěn)指的是數(shù)據(jù)的期望與相關(guān)系數(shù)（即依賴性）不發(fā)生改變。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)于理想化與理論化，絕大多數(shù)情況應(yīng)該屬于弱平穩(wěn)。對(duì)不平穩(wěn)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理的最常用手段是差分法，即計(jì)算時(shí)間序列中t時(shí)刻與t-1 時(shí)刻的差值，從而得到一個(gè)新的、更平穩(wěn)的時(shí)間序列。

1.1 自回歸模型AR（p）

該模型用變量自身的歷史事件數(shù)據(jù)對(duì)自身進(jìn)行預(yù)測(cè)，描述的是當(dāng)前值與歷史值之間的關(guān)系。自回歸模型首先需要確定一個(gè)階數(shù)p，表示用幾期的歷史值來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)前值。其公式為：

式中：yt是當(dāng)前值；μ 是常數(shù)項(xiàng)；p是階數(shù)；γi是自相關(guān)系數(shù)；et是誤差值。

自回歸模型AR 建模使用的數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)使用的數(shù)據(jù)是同一組數(shù)據(jù)。使用的數(shù)據(jù)必須具有平穩(wěn)性；使用的數(shù)據(jù)必須有自相關(guān)。如果自相關(guān)系數(shù)小于0.5，則不宜采用自回歸模型。自回歸模型只適用于預(yù)測(cè)與自身前期相關(guān)的現(xiàn)象。

1.2 移動(dòng)平均模型MA（q）模型

移動(dòng)平均模型關(guān)注的是自回歸模型中誤差項(xiàng)的累加，它能夠有效消除預(yù)測(cè)中的隨機(jī)波動(dòng)。其公式如下：

式中：θi為MA（q）公式的相關(guān)系數(shù)；q為階數(shù)。

1.3 自回歸移動(dòng)平均模型ARMA（p，q）模型

將自回歸模型與移動(dòng)平均模型相結(jié)合，便可得到自回歸移動(dòng)平均模型。其公式為：

式中的p與q需要人為定義，γi與θi需要求解獲取。

1.4 差分自回歸整合移動(dòng)平均模型ARIMA（p，d，q）模型

該模型又稱整合移動(dòng)平均自回歸模型（移動(dòng)也可稱作滑動(dòng)）。ARIMA（p，d，q）中，AR 是“自回歸”，p為自回歸項(xiàng)數(shù)；MA 為“滑動(dòng)平均”，q為滑動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)；d為使之成為平穩(wěn)序列所做的差分次數(shù)（階數(shù)）。如果原始數(shù)據(jù)不滿足平穩(wěn)性要求而進(jìn)行了差分，則為差分自相關(guān)移動(dòng)平均模型（ARIMA），將差分后所得新數(shù)據(jù)代入ARMA 公式中即可。

ARIMA（p，d，q）模型是ARMA（p，q）模型的擴(kuò)展，是非平穩(wěn)時(shí)間序列過(guò)程。不直接考慮其他相關(guān)隨機(jī)變量的變化。

如果一個(gè)時(shí)間序列yt｛｝的d次差分ωt=Δdyt是一個(gè)平穩(wěn)的ARMA 過(guò)程，則稱yt｛｝為自回歸滑動(dòng)平均求和模型。如果ωt服從ARMA（p，q）模型，則稱yt｛｝是ARIMA（p，d，q）過(guò)程。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列，取一次或二次差分即可。

式中：Δ=1-B為差分算子，B為滯后算子，即Byi=yi-1，且同時(shí)，｛xi，i=0，1，2，…｝為白噪聲序列，即則稱｛yi，i=0，1，2，…｝為自回歸移動(dòng)平均序列，記作ARIMA（p，d，q）。

當(dāng)∣B∣≤1 時(shí)：

綜合式（5）、式（6）可得：

根據(jù)以上理論，不斷對(duì)ARIMA 模型調(diào)參擬合，可得到一組最優(yōu)參數(shù)p，d，q。p與q分別為自回歸模型與移動(dòng)平均模型的階數(shù)，d是差分的階數(shù)。

2 建立ARIMA 模型的過(guò)程

（1）根據(jù)時(shí)間序列的散點(diǎn)圖、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖識(shí)別其平穩(wěn)性。

（2）對(duì)非平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，直到處理后的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的數(shù)值非顯著、非零。

（3）根據(jù)識(shí)別出來(lái)的特征建立相應(yīng)的時(shí)間序列模型。平穩(wěn)化處理后，若偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則建立AR 模型；若偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則建立MA 模型；若偏自相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的，則序列適合ARMA 模型。

（4）參數(shù)估計(jì)，檢驗(yàn)是否具有統(tǒng)計(jì)意義。

（5）假設(shè)檢驗(yàn)，判斷（診斷）殘差序列是否為白噪聲序列。

（6）利用已通過(guò)檢驗(yàn)的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

3 實(shí)例分析

采用上海市“淞滬路-三門路下立交工程”某基坑工程的鋼支撐軸力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，建立ARIMA 模型。取某鋼支撐的伺服軸力原始數(shù)據(jù)作為分析對(duì)象。圖1 是從基坑施工開始到結(jié)束的每小時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)圖。從圖1 可知，伺服軸力原始數(shù)據(jù)沒(méi)有明顯的規(guī)律和模式。按照每天分別計(jì)算平均值和方差，計(jì)算結(jié)果顯示并不一致，說(shuō)明伺服軸力的變化并不是一個(gè)穩(wěn)定的序列。于是，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分，圖2 是一階差分后序列走勢(shì)圖。

圖1 基坑施工開始到結(jié)束的每小時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)圖

圖2 鋼支撐3-1 伺服軸力數(shù)據(jù)一階差分走勢(shì)圖

由圖2 可知，基坑鋼支撐伺服軸力的原始數(shù)據(jù)在經(jīng)過(guò)一階差分后呈現(xiàn)了平穩(wěn)的趨勢(shì)并且均值基本穩(wěn)定。經(jīng)過(guò)差分后的數(shù)據(jù)基本接近于0，所以可以推測(cè)伺服軸力的下一個(gè)時(shí)刻的軸力與上一個(gè)監(jiān)測(cè)時(shí)刻的軸力有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)。

為了驗(yàn)證以上推測(cè)，采用滯后期數(shù)n分別為1，2，3，5 h 的軸力與當(dāng)前軸力作圖，如圖3 所示。

圖3 當(dāng)前軸力與滯后期數(shù)n 的軸力關(guān)系

由圖3 可知，當(dāng)前軸力與前一時(shí)刻的監(jiān)測(cè)軸力有非常強(qiáng)的線性關(guān)系，隨著滯后期數(shù)的增加，這個(gè)關(guān)系迅速模糊。圖4 是以滯后期數(shù)n為自變量，自相關(guān)系數(shù)作為因變量的自相關(guān)系數(shù)變化圖。

圖4 自相關(guān)系數(shù)變化圖

由圖4 可知，當(dāng)滯后期數(shù)達(dá)到70 h 之后，自相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)了周期性波動(dòng)，出現(xiàn)拖尾現(xiàn)象，由此可知無(wú)法判斷是否可選取滯后期數(shù)70 h 以內(nèi)的數(shù)據(jù)并乘上合適的權(quán)重來(lái)預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的軸力。

繼續(xù)分析原始數(shù)據(jù)的偏自相關(guān)系數(shù)，見(jiàn)圖5。

圖5 原始數(shù)據(jù)的偏自相關(guān)系數(shù)圖

由圖5 可知，偏自相關(guān)系數(shù)圖沒(méi)有明顯的拖尾或是截尾現(xiàn)象。

綜合以上分析可知，伺服軸力的原始數(shù)據(jù)并不能簡(jiǎn)單地運(yùn)用AR（p）模型（p階回歸模型）和MA（q）模型（q階移動(dòng)平均模型）擬合?；愉撝嗡欧S力數(shù)據(jù)的偏自相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)系數(shù)均是拖尾的，所以其序列適合ARMA 模型，即在經(jīng)過(guò)一階差分后數(shù)據(jù)呈現(xiàn)了平穩(wěn)的趨勢(shì)，采用建立ARIMA模型可以合理調(diào)控軟土深基坑中鋼支撐伺服系統(tǒng)軸力。

4 結(jié) 語(yǔ)

（1）在經(jīng)過(guò)一階差分后數(shù)據(jù)呈現(xiàn)了平穩(wěn)的趨勢(shì)?；愉撝嗡欧S力數(shù)據(jù)的偏自相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)系數(shù)均是拖尾的，所以其序列適合ARMA模型。

（2）可以通過(guò)建立ARIMA 模型來(lái)合理調(diào)控軟土深基坑中鋼支撐伺服系統(tǒng)軸力。研究結(jié)果可為今后類似基坑的圍護(hù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。