曹雪紅, 高夢飛, 范九倫, 雒 僖, 于海燕

(1.西安郵電大學(xué) 自動化學(xué)院, 陜西 西安 710121； 2.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院, 陜西 西安 710121)

圖像分割[1]是把所選中的圖像根據(jù)紋理、灰度、形狀、顏色等特定準(zhǔn)則劃分成若干個具有相同性質(zhì)的類別的過程，是從圖像處理到圖像分析的關(guān)鍵步驟。圖像分割的常用方法有閾值分割[2]、區(qū)域分割[3]、邊緣分割[4]和聚類分割[5]等，其中模糊C-均值聚類 (fuzzy C-mean clustering,FCM) 算法[6]是最經(jīng)典的模糊聚類算法之一。FCM算法要求樣本點(diǎn)到各個聚類中心的隸屬度之和為1，受此約束條件的影響，F(xiàn)CM算法對噪聲點(diǎn)比較敏感。為克服FCM對噪聲敏感的缺陷，Krishnapuram等人提出了可能性C-均值聚類(possibilistic C-means, PCM)算法[7]，該算法放棄了FCM算法的隸屬度和為1 的約束條件，構(gòu)建了一個新的目標(biāo)函數(shù)。PCM算法使得噪聲數(shù)據(jù)點(diǎn)得到的隸屬度值比較小，對聚類分割結(jié)果來說，噪聲對其產(chǎn)生的影響可以忽略，但是， PCM算法對初始聚類中心比較敏感，容易產(chǎn)生一致性聚類結(jié)果。

針對PCM一致性聚類的缺點(diǎn)，學(xué)者們提出了一些改進(jìn)的算法。Pal等人[8]在FCM和PCM算法的基礎(chǔ)上提出了可能性模糊C-均值聚類 (possibilistic fuzzy C-means，PFCM) 算法，克服了一致性聚類的缺點(diǎn)。YU等人[9]提出了截集式可能性C均值聚類(cutset-type possibilistic C-means，C-PCM) 算法,該算法將截集引入到PCM算法中，利用截集的概念產(chǎn)生聚類核，然后對聚類核內(nèi)像素點(diǎn)的隸屬度進(jìn)行修改，最后把類間關(guān)系和可能性聚類結(jié)合起來，從而避免了PCM一致性聚類的結(jié)果，但是，C-PCM算法未考慮到鄰域像素點(diǎn)的信息，對被高斯噪聲污染的圖像不能獲得較好的分割結(jié)果。為此，基于鄰域空間信息的FCM(FCM with spatial constraints, FCM_S)算法[10]是在FCM算法中增加了圖像的局部空間信息，分別對FCM算法的目標(biāo)函數(shù)加入均值空間信息和中值空間信息[11]，從而提高了算法的運(yùn)算效果。與局部空間信息相比，非局部空間信息從整幅圖出發(fā)，充分利用圖像中的冗余信息，從而很好地保證了圖像的細(xì)節(jié)部分。基于非局部空間信息的FCM(FCM with non-local spatial information, FCM_NLS)算法[12]將非局部空間信息引入到FCM算法中，提高了算法針對噪聲的魯棒性。

為了進(jìn)一步增強(qiáng)算法的抗噪性能，更好地保留圖像中的細(xì)節(jié)信息，本文算法將非局部空間信息和C-PCM相結(jié)合，提出了基于非局部空間信息的截集式可能性C-均值聚類(cutset-type FCM_NLS，C-PCM_NLS)算法。并且分別對4種不同類型的實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行分割結(jié)果測試，以驗(yàn)證算法的有效性。

1 相關(guān)圖像分割算法及理論

1.1 模糊C-均值聚類算法

給定一個圖像樣本集X={x1,x2,…,xn}，模糊C-均值聚類算法通過對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行不斷的迭代優(yōu)化實(shí)現(xiàn)樣本的劃分，從而將n個樣本分成c個聚類中心。FCM的目標(biāo)函數(shù)定義為

(1)

其中，uki表示第i個樣本屬于第k類的隸屬度，并構(gòu)成隸屬度矩陣U=[uki]c×n；m為模糊因子，表示算法對聚類結(jié)果的模糊程度，通常m取值為2；vk表示第k個聚類中心，組成聚類中心的集合V={v1,v2,…,vc}；d(xi,xk)=‖xi-vk‖表示第i個樣本到第k個聚類中心的歐式距離。采用拉格朗日乘子法對目標(biāo)函數(shù)求最小值，可得到隸屬度和聚類中心的更新迭代公式分別為

(2)

(3)

FCM算法要求樣本點(diǎn)到聚類中心的隸屬度之和為1，受此約束條件的影響，F(xiàn)CM算法抗噪性能較差。

1.2 可能性C-均值聚類算法

PCM算法[7]是對FCM算法改進(jìn)算法，主要通過放棄隸屬度的約束條件，改進(jìn)了噪聲敏感的問題。PCM算法的目標(biāo)函數(shù)為

(4)

約束條件為

(5)

其中，tki表示第i個樣本到第k個類的典型性值，且構(gòu)成可能性劃分矩陣T=[tki〗]，ηk為懲罰因子，其計(jì)算公式為

(6)

式中K為參數(shù)，通常K=1。通過迭代優(yōu)化得到的典型性值和聚類中心的計(jì)算公式分別為

(7)

(8)

PCM放棄了FCM中隸屬度的約束條件，由式(7)可知，如果樣本i屬于第k個類，即其典型性值只與該類有關(guān)，與其他聚類沒有關(guān)系，這樣容易導(dǎo)致一致性聚類的結(jié)果。

1.3 截集式可能性C-均值聚類算法

PCM算法放棄了對隸屬度的約束條件，使得它對噪聲點(diǎn)或者奇異點(diǎn)有較強(qiáng)的魯棒性，但缺點(diǎn)是會導(dǎo)致一致性聚類的結(jié)果。為解決PCM算法存在的一致性聚類的問題，截集式可能性C-均值聚類算法(C-PCM)將截集[11]的概念引入到可能性聚類中，利用β截集為每一類產(chǎn)生一個聚類核，并且對聚類核內(nèi)每一個樣本點(diǎn)的典型性值進(jìn)行修改，將類與類之間的關(guān)系引入到可能性聚類中，克服了PCM一致性聚類的缺點(diǎn)。C-PCM算法的目標(biāo)函數(shù)如下

(9)

約束條件為

(10)

其中η是所給定的常數(shù)，在該算法中取固定的值。典型性值的更新公式以及聚類中心的更新公式為公式(7)和公式(8)。

C-PCM算法在每一次迭代的過程中對樣本的典型性值進(jìn)行修改。具體的典型性值修改過程是先用公式(7)求出樣本的典型性值，然后獲取樣本點(diǎn)xi到所有類的典型性值的最大值，即tqi=max{tki,1≤k≤c}獲勝典型性值。若tqi滿足

(11)

式中β為截集門限，且0≤β≤1，則認(rèn)為樣本點(diǎn)xi屬于第q類,而不屬于其他類，然后，將樣本點(diǎn)到其他類的典型性值修改為0，并且tqi保持不變。其具體修改方式為如果tqi>β，則

(12)

如果tki≤β，則

tki-tki,k=1,…,c。

(13)

顯然，當(dāng)β=1時，C-PCM算法轉(zhuǎn)化成PCM算法。

1.4 非局部空間信息

與局部均值算法相比，利用非局部均值算法生成的空間信息更能給予像素點(diǎn)更大的權(quán)值，可以更好的反映出像素間的相似性。

(14)

(15)

式中，h是控制權(quán)值wip衰減的因子，h通常取值為噪聲方差的0.3倍；x(Ni)是以像素i為中心、大小為s×s的相似窗Nj上的灰度向量，zi是一個歸一化常數(shù)，其定義為

(16)

2 C-PCM_NLS算法

由于C-PCM算法和FCM算法均未考慮圖像的空間鄰域信息，直接對圖像的像素的灰度值進(jìn)行處理，所以，在處理受高斯噪聲污染的圖像時，上述兩種算法均不能獲得較好的分割效果。為此，本文在C-PCM算法的目標(biāo)函數(shù)中加入了非局部空間約束項(xiàng)，給出一種基于非局部空間信息的截集式可能性C均值圖像分割算法。

(17)

采用拉格朗日乘子法對目標(biāo)函數(shù)求最小值。對利用目標(biāo)函數(shù)對tki求偏導(dǎo)數(shù)，可得

(18)

(19)

同理，求目標(biāo)函數(shù)關(guān)于vk的偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，可以得到聚類中心的更新公式

(20)

C-PCM_NLS算法應(yīng)用于圖像分割的具體步驟如下。

步驟1給定聚類數(shù)目c，模糊因子m，懲罰因子η。設(shè)置最大循環(huán)次數(shù)rmax和算法停止的閾值ε。

步驟4利用公式(19)更新典型性值。

步驟5修改典型性值。令tqi=max{tki,1≤k≤c}，如果tqi>β，則根據(jù)公式(12)修改典型性值，否則，根據(jù)公式(13)修改典型性值。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為測試C-PCM_NLS算法的性能，分別選取人工合成圖像、#15088圖像、腦部醫(yī)學(xué)圖像以及刑偵圖像等4幅不同種類的測試圖像進(jìn)行圖像分割，并與FCM算法[6]、C-PCM算法[9]、FCM_S1算法[11]、FLICM算法[13]、FCM_NLS算法[12]等5種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比。

實(shí)驗(yàn)采用MATLAB R2014a軟件系統(tǒng)，算法參數(shù)設(shè)置分別為m=2，最大迭代次數(shù)rmax=100，停止的閾值為ε=0.000 01。FCM_S1、FLICM算法局部鄰域窗口為3×3，F(xiàn)CM_NLS算法以及本文算法的搜索半徑為10，鄰域窗口半徑為3。

在圖1中，(a)為選取的原始圖像，(b)為加入了均值為0且方差為0.06的高斯噪聲的圖像，并將本文算法與其他5種算法進(jìn)行圖像分割實(shí)驗(yàn)，結(jié)果圖1(c)～(h)，分別表示FCM算法、C-PCM算法、FCM_S1算法、FLICM算法、FCM_NLS算法以及本文C-PCM_NLS算法的分割結(jié)果。

圖1 人工圖像分割效果圖

可以看出，F(xiàn)CM和C-PCM算法對含噪圖像的分割效果相比不理想，分割后的圖像中包含的噪聲點(diǎn)較多和含噪圖像之間差別很小，這是因?yàn)镕CM、C-PCM算法都是直接對圖像中的像素點(diǎn)進(jìn)行聚類，導(dǎo)致算法對噪聲比較敏感。而FCM_S1算法先對圖像進(jìn)行均值濾波，并結(jié)合了濾波后的圖像像素，分割效果所含的噪聲點(diǎn)相對較小。相比而言，F(xiàn)LICM算法將圖像的鄰域灰度信息和局部空間信息相結(jié)合，分割后的圖像含有少量的噪聲點(diǎn)。FCM_NLS算法和本文算法都基本上消除了圖像中的噪聲點(diǎn)，在視覺上沒有太大的區(qū)別，都能得到較好的分割結(jié)果。

為進(jìn)一步評價(jià)本文算法的分割性能，采用通常的峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)聚類性能進(jìn)行定量評價(jià)，PSNR計(jì)算公式為

(22)

式中MSE表示原圖像與處理圖像之間的均方誤差(mean square error，MSE)，其計(jì)算公式為

其中，I(i,j)表示利用聚類算法對噪聲圖像去噪后得到的分割結(jié)果，K(i,j)表示不含噪聲的圖像的分割結(jié)果。MN表示圖像所含的像素點(diǎn)。通常情況下，PSNR越大，表示圖像分割效果越好，算法的抗噪性能越好。

為研究本文分割算法在不同高斯噪聲的聚類性能，實(shí)驗(yàn)中采用對人工合成圖像分別添加方差為0.06和0.08的高斯噪聲后，進(jìn)行圖像分割，將上述6種算法分割后的準(zhǔn)確率以及 計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 不同算法對高噪人工圖像的聚類性能

從結(jié)果可以看出，相比其他4種算法，C-PCM_NLS算法和FCM_NLS算法對含有同一高斯噪聲的人工圖像分割，能夠得到更高的準(zhǔn)確率和PSNR值，在噪聲方差改變的情況下，準(zhǔn)確率和PSNR值較其他4種算法變化幅度不大，說明該算法與FCM_NLS算法的抗噪聲性能較好。

為了進(jìn)一步說明本文算法的性能，分別選取了自然圖像，醫(yī)學(xué)圖像以及刑偵圖像進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)，自然圖像圖2(a)為原始圖像，圖2(b)加入了均值為0，方差為0.06的高斯噪聲，圖2(c)～(g)分別是使用上述5種算法與C-PCM_NLS算法的分割結(jié)果。

圖2 #15088圖像分割效果圖

從6種算法的分割效果可以看出，F(xiàn)CM基本沒有抗噪性能，C-PCM有較弱的抗噪性能，F(xiàn)CM_S1算法在FCM算法中加入了空間鄰域信息，從而分割效果相比于前兩種算法有所改善，但是仍存在著部分噪聲點(diǎn)，相比而言，F(xiàn)LICM算法分割后的圖像中含有少量的噪聲點(diǎn)。FCM_NLS算法和C-PCM_NLS算法更好的抑制了噪聲，兩者的分割效果在視覺上沒有較大的區(qū)別。

圖3中對加入了均值為0，方差為0.08高斯噪聲的腦部醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行了分割對比實(shí)驗(yàn)，圖3(c)～(h)分別對應(yīng)6種算法的分割效果圖?？梢钥闯?，其中FCM算法和C-PCM算法受噪聲影響嚴(yán)重，分割后仍存在大量的噪聲點(diǎn)，其原因是FCM算法和C-PCM算法把噪聲看作正常像素點(diǎn)，并未考慮圖像中像素的鄰域信息，導(dǎo)致這兩種算法無法區(qū)分噪聲數(shù)據(jù)。FCM_S1算法和FLICM算法都結(jié)合了圖像的局部信息，更多的利用了圖像中像素的鄰域空間信息，但是仍存在少量的噪聲點(diǎn)。FCM_NLS算法和C-PCM_NLS算法結(jié)合了非局部空間信息，可以更好地去除像素點(diǎn)周圍的噪聲點(diǎn)，含有的噪聲點(diǎn)最少。

圖4中選取5種算法與本文C-PCM_NLS算法對刑偵圖像進(jìn)行分割效果對比，效果如圖4所示。

圖3 腦部分割效果圖

圖4 刑偵圖像分割效果圖

從圖中顯示的分割效果可以看出，F(xiàn)CM和C-PCM由于沒有考慮圖像像素的鄰域信息，分割效果相對來說比較差，目標(biāo)圖像和其背景圖像不能明顯劃分，得到的腳印圖較為模糊，并且局部細(xì)節(jié)沒有突出，這兩種算法在實(shí)際偵查中效果不佳。而FCM_S1算法和FLICM算法由于將空間局部信息考慮其中，從而保留了圖像的局部細(xì)節(jié)，能夠獲得較為清晰的腳印圖，其中，相比較于FCM_S1算法、FCM_S2算法而言，F(xiàn)CM_NLS算法和C-PCM_NLS算法可以得到較為清晰的腳印細(xì)節(jié)部分，如圖中方塊標(biāo)注所示。

4 結(jié)束與討論

針對PCM沒有考慮圖像像素的空間信息，且對高斯噪聲敏感的缺點(diǎn)，提出了一種基于非局部空間信息的截集式可能性聚類圖像分割算法。該算法利用像素間的非局部空間鄰域信息，通過對含有高斯噪聲圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明相比于FCM算法、C-PCM算法、FCM_S1算法、FLICM算法，本文C-PCM_NLS算法與FCM_NLS算法效果相同，既可以進(jìn)一步改善噪聲圖像的分割效果又能保留圖像更多的細(xì)節(jié)信息。

不同的截集門限對應(yīng)著不同大小的聚類核，合適的聚類核會降低噪聲對分割效果的影響，因此，優(yōu)化和修改截集門限，降低噪聲對分割效果的影響，從而減少算法的迭代次數(shù)，是有待于進(jìn)一步研究的問題。