胡啟國(guó) 陸偉

（重慶交通大學(xué)，重慶 400074）

1 前言

傳統(tǒng)的被動(dòng)減振隔振技術(shù)已經(jīng)成熟并廣泛應(yīng)用，但在激勵(lì)振幅較大或低頻振動(dòng)情況下無(wú)法達(dá)到滿意的效果，而主動(dòng)減振恰好彌補(bǔ)了這一不足[1]。濾波-X最小均方（Filtered-x Least Mean Square，F(xiàn)xLMS）算法因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和計(jì)算復(fù)雜度低而被廣泛應(yīng)用于振動(dòng)主動(dòng)控制領(lǐng)域，配合壓電智能材料的使用，能夠?qū)φ駝?dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。傳統(tǒng)的FxLMS算法收斂速度較慢，為此，許多學(xué)者針對(duì)其結(jié)構(gòu)和特性提出了相應(yīng)的改進(jìn)方法[2-6]。這些改進(jìn)算法雖然在一定程度上提高了收斂速度，減小了穩(wěn)態(tài)誤差，但是在處理頻率變化范圍較大，即帶寬較寬的信號(hào)時(shí)，其性能會(huì)受到一定的限制。針對(duì)上述問(wèn)題，Qiu Z[7]等采用離散小波變換對(duì)參考輸入信號(hào)進(jìn)行分解，得到低頻和高頻信號(hào)，并對(duì)不同頻率成分的信號(hào)采用獨(dú)立的濾波器進(jìn)行調(diào)整，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂速度。但是小波變換僅對(duì)低頻成分進(jìn)行細(xì)分，當(dāng)面對(duì)微弱、非平穩(wěn)高頻振動(dòng)信號(hào)時(shí)，小波變換的分解重構(gòu)能力受限。為了解決上述問(wèn)題，Lei Luo[8]等采用小波包變換FxLMS（Wavelet Packet FxLMS，WPFxLMS）算法，通過(guò)小波包變換將信號(hào)的低頻成分和高頻成分同時(shí)進(jìn)行分解，使算法在面對(duì)帶寬較寬的信號(hào)時(shí)表現(xiàn)出較好的優(yōu)越性，但其僅對(duì)參考輸入信號(hào)進(jìn)行小波包分解，如果未知的主通道或期望信號(hào)不斷變化，該算法不能保持較好的性能。

基于上述分析，本文提出了一種基于小波包變換的多 通 道FxLMS 算 法（Wavelet Packet-Multichannel FxLMS，WP-MFxLMS），利用次級(jí)通道模型對(duì)控制信號(hào)進(jìn)行估計(jì)，從而有效地減小了不斷變化的主通道或期望信號(hào)帶來(lái)的影響。同時(shí)，為了驗(yàn)證所提出算法的有效性，將其應(yīng)用在汽車(chē)座椅振動(dòng)主動(dòng)控制中，建立了1/2路面-車(chē)輛-座椅8 自由度動(dòng)力學(xué)模型，在MATLAB/Simulink中對(duì)振動(dòng)主動(dòng)控制算法進(jìn)行了仿真，對(duì)比分析了傳統(tǒng)FxLMS、WPFxLMS 和WP-MFxLMS 算法的整體性能和減振效果。

2 路面-車(chē)輛-座椅動(dòng)力學(xué)模型建立

2.1 路面時(shí)域模型建立

為了研究人體對(duì)振動(dòng)的反應(yīng)，首先要對(duì)路面激勵(lì)進(jìn)行建模。采用濾波白噪聲法建立單輪路面的時(shí)域模型，并根據(jù)前、后輪的時(shí)滯關(guān)系建立了前、后輪路面激勵(lì)時(shí)域模型[9]。當(dāng)汽車(chē)以速度u勻速行駛時(shí)，前輪路面激勵(lì)時(shí)域模型的表達(dá)式為：

式中，qf為前輪處路面的垂直位移；Gq(n0)為路面不平度系數(shù)；w為數(shù)學(xué)期望為0 的高斯白噪聲；n00=0.011 m-1為下截止頻率；n0=0.1 m-1為參考空間頻率。

根據(jù)前、后輪間存在的時(shí)滯關(guān)系，后輪路面激勵(lì)時(shí)域模型的表達(dá)式為：

式中，qr為后輪處路面的垂直位移；τ=l/u為后輪激勵(lì)滯后于前輪的時(shí)間；l為汽車(chē)軸距。

由式（1）和式（2），通過(guò)MATLAB/Simulink在初速度為20 m/s，路面不平度系數(shù)為256×10-6m3（C級(jí)路面），軸距為2.5 m的條件下進(jìn)行仿真，仿真時(shí)間為20 s，得到了圖1所示的前、后輪路面激勵(lì)。

圖1 前輪路面激勵(lì)

2.2 8自由度汽車(chē)振動(dòng)模型建立

在建模過(guò)程中，為了方便模型推導(dǎo)和簡(jiǎn)化計(jì)算，不考慮車(chē)身側(cè)傾和橫擺運(yùn)動(dòng)，只考慮車(chē)身俯仰和垂直運(yùn)動(dòng)、前后軸的垂直跳動(dòng)以及座椅的垂直跳動(dòng)，并認(rèn)為車(chē)輛的左、右側(cè)車(chē)輪軌跡輸入具有較高的相關(guān)性，簡(jiǎn)化后的模型如圖2所示。

圖2 8自由度汽車(chē)振動(dòng)模型

在ISO 5982：2001(E)[10]推薦的人體坐姿低頻振動(dòng)模型中，X0～X3為進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試時(shí)選取的人體4 個(gè)部位的位移，K1～K3、C1～C3分別為對(duì)應(yīng)部位的人體剛度和阻尼。分析座椅-頭部傳遞特性時(shí)，可以將m2看作頭部質(zhì)量，K2為頭部剛度，C2為頭部阻尼。m0、m1、m3并不與人體生理結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)，該模型假設(shè)人體為坐姿時(shí)，有73%的人體質(zhì)量在座椅上。本文考慮總質(zhì)量為75 kg的人體模型，當(dāng)人體質(zhì)量不同時(shí)，只需改變m3的質(zhì)量即可得到新的人體模型，如人體質(zhì)量為55 kg時(shí)，對(duì)應(yīng)的m3=30 kg，人體質(zhì)量為90 kg 時(shí)，對(duì)應(yīng)的m3=56 kg，因此，該模型適應(yīng)能力強(qiáng)。

在路面-車(chē)輛模型中，mwf、mwr分別為前、后輪非簧載質(zhì)量，Ktf、Ktr分別為前、后輪輪胎剛度，Z1、Z4分別為前、后輪位移，Ksf、Ksr分別為前、后懸架剛度，Csf、Csr分別為前、后軸阻尼系數(shù)，c、d分別為車(chē)身質(zhì)心到前、后軸的距離，f為車(chē)身質(zhì)心到座椅的距離，Z2、Z3分別為前、后軸對(duì)應(yīng)的車(chē)身位移，mb為簧載質(zhì)量，Ib為車(chē)身轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Zb為車(chē)身質(zhì)心位移，θb為車(chē)身俯仰角，Ks為座椅等效剛度，Cs為座椅等效阻尼系數(shù)，Ua為主動(dòng)控制器控制力。

以系統(tǒng)靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，選取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為Z=[X0X1X2X3ZbθbZ1Z4]T。

人體低頻坐姿振動(dòng)模型的微分方程為：

車(chē)身垂直和俯仰運(yùn)動(dòng)的微分方程為：

前、后車(chē)輪的垂直運(yùn)動(dòng)微分方程為：

將上述微分方程寫(xiě)成矩陣形式，可得：

式中，M為8×8 的質(zhì)量矩陣；C為8×8 的阻尼矩陣；K為8×8 的剛度矩陣；Kt為8×2 的矩陣；F為8×1 的矩陣；Q=[qfqr]T；U=[Ua]。

3 算法結(jié)構(gòu)

3.1 小波包分解與重構(gòu)

小波包變換能同時(shí)對(duì)低頻部分和高頻部分進(jìn)行分解，所以它可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行更準(zhǔn)確的分析。其通過(guò)一組高低通正交濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解，每次分解都能得到更為精細(xì)的高頻和低頻信號(hào)，小波包變換分解和重構(gòu)的表達(dá)式為[11]：

式中，hk-2n和gk-2n為小波分解濾波器組；為小波重構(gòu)濾波器組；l為小波包分解層數(shù)；δl,i(n)為小波包重構(gòu)后第l層上第i個(gè)小波包系數(shù)，i=0,1,…,2l-1。

3.2 基于小波包變換的多通道FxLMS算法

本文將小波包變換與自適應(yīng)算法相結(jié)合，利用小波包變換對(duì)輸入信號(hào)的低頻和高頻部分進(jìn)行分解重構(gòu)，并對(duì)不同頻率成分的信號(hào)采用獨(dú)立的濾波器進(jìn)行調(diào)整，同時(shí)利用次級(jí)通道模型對(duì)控制信號(hào)進(jìn)行估計(jì)，從而有效地減小了不斷變化的主通道或期望信號(hào)帶來(lái)的影響，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性，算法的結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 基于小波包變換的多通道FxLMS算法結(jié)構(gòu)

參考信號(hào)X(n)經(jīng)小波包分解重構(gòu)后得到高低頻振動(dòng)信號(hào)δl,i(n)，δl,i(n)通過(guò)模擬次級(jí)通道后得到濾波參考信號(hào)與誤差信號(hào)e(n)的乘積作為梯度參與到權(quán)值更新的迭代過(guò)程中。

誤差信號(hào)e(n)為模擬濾波器輸出信號(hào)yr(n)與經(jīng)過(guò)多通道后得到的期望信號(hào)d′(n)之和，即

N階濾波器的輸出信號(hào)y(n)為：

式中，δl,i(n)=[δl,i(n)δl,i(n-1)…δl,i(n-N+1)]T。

輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)次級(jí)通道后得到的反振動(dòng)信號(hào)為：

式中，S=[S0S1…SM-1]T為次級(jí)通道系數(shù)；y(n)=[y(n)y(n-1)…y(n-M+1)]T。

次級(jí)通道可以通過(guò)M階濾波器進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，即，則濾波參考信號(hào)為：

采用歸一化步長(zhǎng)對(duì)濾波器權(quán)值向量wi(n)進(jìn)行更新：

式中，μ0、μ1…μ2l-1為對(duì)應(yīng)濾波器的步長(zhǎng)因子；γ為很小的正數(shù)。

3.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

計(jì)算復(fù)雜度是評(píng)價(jià)主動(dòng)控制算法有效性和實(shí)用性的重要指標(biāo)，低的計(jì)算復(fù)雜度可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間和資源，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制。WP-FxLMS主要包括了濾波參考信號(hào)、濾波器輸出信號(hào)y(n)、擬濾波器信號(hào)輸出yr(n)、濾波器權(quán)值向量wi(n)以及進(jìn)行小波包變換所需要的運(yùn)算。表1給出了3種算法的計(jì)算復(fù)雜度結(jié)果。

表1 算法復(fù)雜度對(duì)比

由表1可知，由于采用次級(jí)通道對(duì)控制信號(hào)進(jìn)行了估計(jì)，相比WPFxLMS，WP-MFxLMS 增加了對(duì)估計(jì)信號(hào)的計(jì)算。

4 仿真分析

4.1 次級(jí)通道辨識(shí)

次級(jí)通道在實(shí)際物理結(jié)構(gòu)上一般包括D/A轉(zhuǎn)換器、功率放大器、作動(dòng)器等環(huán)節(jié)，也就是控制信號(hào)到作動(dòng)器產(chǎn)生響應(yīng)輸出位移的傳遞函數(shù)。本文采用附加隨機(jī)噪聲法對(duì)次級(jí)通道進(jìn)行離線辨識(shí)，圖4 所示為采用Simulink 搭建的辨識(shí)模型，在仿真中，作動(dòng)器響應(yīng)輸出位移為與期望信號(hào)d(n)相抵消的反振動(dòng)信號(hào)，通過(guò)多次仿真，設(shè)濾波器階數(shù)為16階、步長(zhǎng)因子為0.001，濾波器各權(quán)值的辨識(shí)結(jié)果如圖5所示。

圖4 次級(jí)通道辨識(shí)模型

圖5 權(quán)值迭代過(guò)程

從圖5 可以看出，雖然辨識(shí)結(jié)果收斂較慢，但各權(quán)值最終趨于穩(wěn)定，且離線辨識(shí)不需要像在線辨識(shí)一樣對(duì)權(quán)值進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，只需對(duì)權(quán)值精確辨識(shí)即可，因此該辨識(shí)結(jié)果可以接受。

4.2 時(shí)域響應(yīng)對(duì)比分析

為了驗(yàn)證算法的有效性，在MATLAB/Simulink中對(duì)被動(dòng)模型、傳統(tǒng)FxLMS 以及WPFxLMS 和WP-MFxLMS算法進(jìn)行了仿真，仿真模型參數(shù)如表2 所示。結(jié)合圖2和圖3，參考輸入信號(hào)X(n)為人體坐姿輸出加速度X¨0，期望信號(hào)d(n)為車(chē)身振動(dòng)加速度Z¨0，對(duì)于WPFxLMS 和WP-MFxLMS算法，通過(guò)對(duì)不同的分解層數(shù)和小波包基進(jìn)行仿真后，決定采用dmey小波基進(jìn)行3層分解重構(gòu)。濾波器階數(shù)分別取50、100、200，步長(zhǎng)因子μ分別取0.001和0.000 1，取人體頭部加速度作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，得到的時(shí)域響應(yīng)對(duì)比結(jié)果如圖6～圖8 所示，對(duì)圖示數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到表3所示的乘坐舒適性能指標(biāo)參數(shù)對(duì)比結(jié)果。

表2 模型仿真參數(shù)

由圖6～圖8及表3可以看出，在濾波器階數(shù)相同的條件下，當(dāng)μ=0.001時(shí)，F(xiàn)xLMS和WPFxLMS算法均發(fā)散，直到μ=0.000 1時(shí)這兩種算法才開(kāi)始收斂。而本文提出的WP-MFxLMS 算法在3種步長(zhǎng)下均收斂，這表明算法具有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且隨著步長(zhǎng)因子的減小，算法的控制效果逐漸提升，這表明減小步長(zhǎng)因子會(huì)減小算法的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 頭部加速度時(shí)域?qū)Ρ龋∟=50）

圖7 頭部加速度時(shí)域?qū)Ρ龋∟=100）

當(dāng)μ=0.001 時(shí)，隨著濾波器階數(shù)的增加，F(xiàn)xLMS 和WPFxLMS 算法有收斂的趨勢(shì)；當(dāng)μ=0.000 1 時(shí)，隨著濾波器階數(shù)的增加，算法的控制效果逐漸提升，這表明增加濾波器階數(shù)可以改善算法的控制效果。

在收斂的條件下，與傳統(tǒng)被動(dòng)控制相比，采用振動(dòng)主動(dòng)控制算法后，頭部加速度均有明顯改善，大幅提高了乘客的乘坐舒適性。從控制效果看，在相同步長(zhǎng)和濾波器階數(shù)的條件下，WP-MFxLMS算法的控制效果均優(yōu)于FxLMS 和WPFxLMS，且該算法可以以較低的濾波器階數(shù)達(dá)到與FxLMS 和WPFxLMS 相同甚至更好的控制效果，這也在一定程度上降低了計(jì)算復(fù)雜度。

圖8 頭部加速度時(shí)域?qū)Ρ龋∟=200）

表3 乘坐舒適性能指標(biāo)參數(shù)值比較

4.3 頻域響應(yīng)對(duì)比分析

雖然從時(shí)域分析圖可以看出算法的控制效果，為了進(jìn)一步驗(yàn)證WP-MFxLMS 算法的有效性，對(duì)圖6b、圖7b、圖8b的加速度時(shí)域信號(hào)進(jìn)行頻域分析，得到對(duì)應(yīng)的加速度功率譜密度如圖9所示。

由圖9可知，路面不平度隨機(jī)激勵(lì)引起的人體共振頻率主要集中在0～20 Hz的低頻段，約在2 Hz左右出現(xiàn)1階共振頻率，約在6 Hz 左右出現(xiàn)2階共振頻率。在保證收斂的條件下，采用振動(dòng)主動(dòng)控制可以降低頭部加速度共振峰值，以圖9a 為例，使用WP-MFxLMS 算法后在一階共振頻率處約衰減了6 dB，在二階共振頻率處約衰減了5 dB，在3種算法中控制效果最好。

圖9 頭部加速度功率譜密度（μ=0.000 1）

5 結(jié)論

a.采用ISO 5982：2001(E)推薦的人體坐姿模型建立的路面-車(chē)輛-座椅動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確反映人體的振動(dòng)特征，適用于車(chē)輛乘坐舒適性的仿真與分析。

b.與FxLMS 和WPFxLMS 相比，改進(jìn)的WP-MFx-LMS 雖然增加了計(jì)算復(fù)雜度，但仿真結(jié)果表明，該算法可以以較低的濾波階數(shù)達(dá)到理想的控制效果，這也在一定程度上降低了計(jì)算復(fù)雜度。

c.改進(jìn)后的WP-MFxLMS 具有較好的收斂性和穩(wěn)定性，且濾波器階數(shù)會(huì)影響算法的控制效果和計(jì)算復(fù)雜度，因此在選取濾波器階數(shù)時(shí)要綜合考慮這兩種因素。

d.在算法收斂的條件下，采用振動(dòng)主動(dòng)控制可以降低人體頭部的加速度共振峰值，提高乘坐舒適性；人體產(chǎn)生共振的頻率主要集中在20 Hz以下的低頻，在進(jìn)行汽車(chē)設(shè)計(jì)時(shí)可以調(diào)節(jié)懸架阻尼以避開(kāi)人體敏感區(qū)。