羅開發(fā) 余睿

(武漢大學(xué),物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,武漢 430072)

利用凝聚態(tài)物理中緊束縛哈密頓量與集中參數(shù)電子線路中基爾霍夫方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可以在電子線路中設(shè)計(jì)出種類豐富的拓?fù)湮飸B(tài).本文詳細(xì)介紹用電路實(shí)現(xiàn)一維SSH模型、三維結(jié)線半金屬模型和外爾半金屬模型的設(shè)計(jì)方案.在上述拓?fù)潆娐分锌商綔y(cè)到端點(diǎn)態(tài)、表面鼓膜態(tài)、表面費(fèi)米弧等體拓?fù)湫再|(zhì)對(duì)應(yīng)的界面態(tài).由于電子線路對(duì)應(yīng)的緊束縛哈密頓量中的躍遷項(xiàng)具有豐富的調(diào)控自由度,如強(qiáng)度、距離、維度等,容易推廣到非厄密系統(tǒng)以及四維或更高維度的系統(tǒng),使得人們能在電路中設(shè)計(jì)和驗(yàn)證傳統(tǒng)凝聚態(tài)體系中難以實(shí)現(xiàn)或無法實(shí)現(xiàn)的新物態(tài).此外,電子線路具備器件功能多樣、制備工藝成熟可靠等優(yōu)勢(shì),為探索新奇物態(tài)提供了一個(gè)便利的實(shí)驗(yàn)平臺(tái).

1 引 言

利用拓?fù)涞母拍顚?duì)物理系統(tǒng)中的物態(tài)進(jìn)行分類[1—3]在近十多年來取得了巨大成就.整數(shù)、分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)、量子自旋霍爾效應(yīng)、量子反常霍爾效應(yīng)、狄拉克半金屬、外爾半金屬和拓?fù)浣Y(jié)線半金屬等拓?fù)鋺B(tài)極大地促進(jìn)了人們對(duì)電子材料物性的理解[4—15].由于拓?fù)鋺B(tài)的出現(xiàn)主要取決于能帶結(jié)構(gòu)中的貝里曲率,于是拓?fù)淠軒д摫谎杆偻茝V到冷原子體系[16—21]、光子[22—28]、聲子[29—34]和機(jī)械系統(tǒng)[35—46]等經(jīng)典體系.

近期,在經(jīng)典線性電子線路中[47—60]研究人員設(shè)計(jì)出了多種拓?fù)鋺B(tài),包括:基于時(shí)間反演對(duì)稱的Hofstadter模型[47,48]和Kane-Mele模型[61]的二維拓?fù)潆娐?一維和二維SSH拓?fù)潆娐穂49,59];存在外爾點(diǎn)的三維拓?fù)潆娐穂51,52];借助負(fù)電阻引入等效磁場(chǎng)后具有手性邊界態(tài)的二維陳拓?fù)潆娐穂62,63];模擬高階拓?fù)浣菓B(tài)[64,65];拓?fù)浒驳律^緣態(tài)[66]和馬約拉納零能模[67]的電路.這些電路的主要構(gòu)成單元是理想電容和電感,器件的連接方式和參數(shù)決定了系統(tǒng)的對(duì)稱性和物理性質(zhì).上述工作采用的分析方法大多是電路理論中常用的電勢(shì)運(yùn)動(dòng)方程[47,48]或拉普拉斯矩陣方程[51],與我們研究電子結(jié)構(gòu)拓?fù)鋺B(tài)時(shí)熟悉的哈密頓量有一定距離.為便于在哈密頓力學(xué)的框架下對(duì)電路系統(tǒng)的拓?fù)鋺B(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)和分析,我們介紹描述集中參數(shù)電子線路的基本方程-基爾霍夫方程與凝聚態(tài)物理中緊束縛哈密頓量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系[68],從而將電子線路的問題轉(zhuǎn)化成研究單粒子系統(tǒng)緊束縛哈密頓量的問題.本文主要介紹一維SSH電路系統(tǒng)、三維結(jié)線和外爾電路系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案[52].基于此,我們可以將凝聚態(tài)材料中已有的拓?fù)鋺B(tài)推廣到電路系統(tǒng),也可以設(shè)計(jì)出傳統(tǒng)體系中難以實(shí)現(xiàn)的一些新奇拓?fù)鋺B(tài),比如非厄密拓?fù)鋺B(tài),四維或更高維度的拓?fù)鋺B(tài)等.

2 從基爾霍夫電流方程到緊束縛哈密頓量

集中參數(shù)電路中電流和電壓的變化規(guī)律由基爾霍夫電流和電壓定律刻畫.前者源于載流子的電荷守恒定律,后者源于能量守恒定律.對(duì)電路網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)α=1,2,···,N,任意兩節(jié)點(diǎn)α和β間導(dǎo)納記為yαβ.節(jié)點(diǎn)α上的電勢(shì)記為vα(取地面為零勢(shì)能參考點(diǎn)),流入該節(jié)點(diǎn)的凈電流記為Iα.對(duì)節(jié)點(diǎn)α,從與之相連的節(jié)點(diǎn)α′流入的電流記為Iαα′(α′=α).歐姆定律給出Iαα′=(vα′-vα)yαα′,對(duì)所有支路求和得到y(tǒng)αα′=Iα.重復(fù)此過程,可得電路中所有節(jié)點(diǎn)上電壓和流入電流之間的關(guān)系式LV=I,其中V=(v1,v2,···,vN)T為節(jié)點(diǎn)電壓矢量,I=(I1,I2,···,IN)T為節(jié)點(diǎn)電流矢量.矩陣L包含了電路網(wǎng)絡(luò)中的所有器件連接信息[69].

考慮一種簡(jiǎn)單情況:電路由一系列接地的LC諧振回路構(gòu)成,LC諧振回路之間由電容器連接(見圖1).后面我們會(huì)看到電路采取這種連接方式形成諧振頻率色散的機(jī)制和晶體中電子形成能帶的物理圖像非常相似.在交流信號(hào)下電容C和電感L的導(dǎo)納分別為yC=jωC,yL=1/(jωL),其中為虛數(shù)單位,ω為電路的諧振頻率.如果線路不外接任何源和漏(實(shí)驗(yàn)上可以通過為電路輸入脈沖信號(hào)而后撤去電源來實(shí)現(xiàn)),則電流矢量I=0,矩陣方程LV=0化簡(jiǎn)移項(xiàng)后可寫成

上式與定態(tài)薛定諤方程H|ψ〉=E|ψ〉形式一致.這里諧振頻率1/ω2L為本征值,節(jié)點(diǎn)電壓矢量V為本征矢量,Y可看成哈密頓量矩陣.Y中的非對(duì)角元yαβ=-Cαβ可理解為準(zhǔn)粒子在節(jié)點(diǎn)α和β之間的躍遷強(qiáng)度,正比于電容值;對(duì)角元yα為準(zhǔn)粒子在軌道α上的在位能.由此,Y矩陣可類比為凝聚態(tài)物理中常見的緊束縛哈密頓量.求解此本征值方程,可得電路諧振頻率構(gòu)成的頻譜.回想電子能帶的形成過程:對(duì)于孤立原子,其中的電子具有離散能級(jí).隨著原子間距減小并逐漸形成晶體,電子可以在相鄰原子間躍遷,孤立原子的離散能級(jí)展寬成固體中的電子能帶.在電路中,孤立的LC諧振回路具有特定的諧振頻率可類比于原子上的電子能級(jí),當(dāng)這些回路通過電容器C連接后,電容值的大小決定LC諧振回路間的耦合強(qiáng)度.當(dāng)耦合足夠強(qiáng)時(shí),所有LC回路的諧振頻率會(huì)形成由諧振頻率構(gòu)成的能帶.因此,通過調(diào)節(jié)LC諧振回路的連接方式及強(qiáng)度,我們可以調(diào)控諧振頻率色散,使其發(fā)生頻帶的反帶或簡(jiǎn)并,實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣^緣態(tài)或者拓?fù)浒虢饘賾B(tài).這正是我們?cè)陔娮泳€路中模擬SSH模型、結(jié)線和外爾態(tài)的物理基礎(chǔ).

圖1 一維SSH電路.原胞(藍(lán)色虛線框)內(nèi)有A和B兩個(gè)不等價(jià)節(jié)點(diǎn),經(jīng)并聯(lián)的電感L和電容 C0 接 地.原胞內(nèi)節(jié)點(diǎn)由電容C1相連,原胞間節(jié)點(diǎn)由電容 C2 相連Fig.1.The 1 D LC chain,in which a unit cell containing two inequivalent nodes A and B labeled by a dashed blue box.Each node A or B is grounded through a parallel connected inductor L and capacitor C0.All nodes are connected by C 1 and C 2 alternatively.

3 一維SSH電路中的拓?fù)鋺B(tài)

3.1 一維SSH電路的模型哈密頓量

Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型是最簡(jiǎn)單的一維拓?fù)淠Ｐ?在冷原子[70]、光子晶體[71]、聲子晶體[72,73]和機(jī)械系統(tǒng)[36]中均有詳細(xì)的理論和實(shí)驗(yàn)研究.在電子線路里,已有工作從系統(tǒng)阻抗頻譜[51]的角度對(duì)一維LC鏈的拓?fù)涠它c(diǎn)態(tài)進(jìn)行了考察.這里我們采用哈密頓矩陣的形式對(duì)這個(gè)典型的拓?fù)潴w系進(jìn)行重新刻畫和分析,展示這一方法的有效性和直觀性.

圖1為電路SSH鏈的示意圖.原胞內(nèi)包含兩個(gè)不等價(jià)節(jié)點(diǎn)A和B,通過LC回路接地 (電感L,電容 C0).取原胞間距a為單位長(zhǎng)度.原胞內(nèi)的AB節(jié)點(diǎn)通過電容器 C1連接,原胞間的A-B節(jié)點(diǎn)通過電容器 C2連接.對(duì)于第n個(gè)原胞,根據(jù)基爾霍夫定律可寫出流入原胞A,B節(jié)點(diǎn)的凈電流分別為:

線路無源和漏接入時(shí) IA(n)=IB(n)=0,兩端同時(shí)除以 j ω 得到

其中 μ ≡C0+C1+C2.聯(lián)立所有原胞內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的方程可得到形如 Y V=(ω2L)-1V 的矩陣方程,從Y中,可以提取出緊束縛模型中的躍遷項(xiàng)和在位能項(xiàng):

其中R表示躍遷矢量.考慮到系統(tǒng)具有平移對(duì)稱性,通過傅里葉變換(m,n=A,B)可得動(dòng)量空間中的布洛赫哈密頓矩陣,

其中σ+=(σ1+iσ2)/2,σ0為單位陣,σ1,2,3為 泡利矩陣.這正是凝聚態(tài)物理中為人熟知的SSH哈密頓量,其色散關(guān)系為Ek=μ±|h+|=μ±

圖2 (a) 上: 電容 C1 從 0 逐漸增加至超過 C2,頻譜中兩個(gè)端點(diǎn)態(tài) (紅線) 在能 C1 =C2 處消失,表明系統(tǒng)發(fā)生了拓?fù)湎嘧?下:系統(tǒng)纏繞數(shù)從1到0的躍變與端點(diǎn)態(tài)的消失臨界值一致.C1/C2=0.5 時(shí) 系統(tǒng)的等效極化矢量在 dx -dy 平面上隨動(dòng)量參數(shù)k從0連續(xù)變到2π時(shí)繞原點(diǎn)一周.紅圈對(duì)應(yīng)纏繞數(shù)為1;C1/C2=1.5 時(shí) (dx,dy)繞原點(diǎn)0圈.黑色圈對(duì)應(yīng)纏繞數(shù)為0.(b)取C1/C2=0.8,端點(diǎn)態(tài)(綠色和紫色)以及一個(gè)隨機(jī)挑選的體態(tài)(灰色)對(duì)應(yīng)的電勢(shì)分布VFig.2.(a) Upper: increase the parameter of C1 from zero to exceed C 2,the end states (red) converge into the bulk states,indicating the topological transition.Bottom: the transition of winding number is consistent with the appearance and absence of end states.The effective polarization vector (dx,dy) winds the original a round when the momentum varies continuously from 0 to2π for C1=0.5 (left),while zero round for C1=1.5 (right).(b) The electric potential distributions of two end states (green and puple) and a randomly selected bulk state (grey).

3.2 系統(tǒng)的拓?fù)鋽?shù)

由于 HSSH中 μ σ0項(xiàng)不改變系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì),在下面的討論中均將其忽略.系統(tǒng)具有手征對(duì)稱性,其拓?fù)洳蛔兞坑衫p繞數(shù)來描述:

其中Θ(x)是Heaviside階梯函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí)Θ(x)=1,而x＜0時(shí)Θ (x)=0.上述結(jié)果可以通過贗自旋σ=(σx,σy)在贗磁場(chǎng)d(k)=(dx(k),dy(k))(dx=(h++h-)/2,dy=i(h+-h-)/2 )中的極化來理解((見圖2)).贗磁場(chǎng) d (k)隨參數(shù)k的演化會(huì)導(dǎo)致贗自旋相應(yīng)發(fā)生旋轉(zhuǎn),繞原點(diǎn) d=0 的圈數(shù)對(duì)應(yīng)纏繞數(shù)W.我們還可以用Zak相位來表征系統(tǒng)是否處于拓?fù)浞瞧接箲B(tài),其 中是貝里聯(lián)絡(luò),是一維SSH模型頻譜中低頻支對(duì)應(yīng)的布洛赫電勢(shì)分布函數(shù).由此可得系統(tǒng)的Zak相位為

與纏繞數(shù)的計(jì)算一致.實(shí)驗(yàn)上,纏繞數(shù)和Zak相位可以通過觀測(cè)拓?fù)浔闷諿74]和表面阻抗[72]等物理量來測(cè)量.

3.3 受拓?fù)浔Ｗo(hù)的端點(diǎn)態(tài)

從上面的討論已經(jīng)知道,|C1|＜|C2| 時(shí)系統(tǒng)處于纏繞數(shù)為1的拓?fù)浞瞧接箲B(tài),存在受手征對(duì)稱性保護(hù)的零能解.對(duì)于含 N原胞的 SSH鏈,H=記其零能模則方程H|0〉=0 給出如下系數(shù)間的關(guān)系式:

和邊界條件

由 C1=0 可 推出 b1=aN=0,說明對(duì)有限長(zhǎng)度的SSH鏈,(8)式只有平庸解.但系統(tǒng)趨于熱力學(xué)極限 N → ∞ 時(shí),可以給出a1,bN為非零有限值的兩個(gè)非平庸解.通過測(cè)量A或B格點(diǎn)上邊界態(tài)從端點(diǎn)往體內(nèi)的電勢(shì)分布衰減指數(shù),可以與理論值 - C1/C2進(jìn)行對(duì)比.

4 三維電路中的拓?fù)浣Y(jié)線和外爾態(tài)

4.1 拓?fù)浣Y(jié)線態(tài)

在電子系統(tǒng)中,結(jié)線態(tài)[75]可以視為其它拓?fù)鋺B(tài)的母態(tài).通過改變系統(tǒng)參數(shù),如自旋軌道耦合強(qiáng)度和應(yīng)力等,結(jié)線態(tài)可以演化成外爾態(tài)、狄拉克半金屬態(tài)或拓?fù)浣^緣態(tài)等.在電路中,我們首先考慮實(shí)現(xiàn)拓?fù)浣Y(jié)線態(tài),然后通過調(diào)控對(duì)稱性,實(shí)現(xiàn)外爾態(tài).

對(duì)于無自旋系統(tǒng),一般有三種方案可以設(shè)計(jì)出拓?fù)浣Y(jié)線態(tài): 1) 時(shí)間反演加空間反演[76,77];2) 鏡面對(duì)稱性[78,79];3) 包含螺旋軸或滑移面的非簡(jiǎn)單空間對(duì)稱群[80—82].由于無洛倫茲力和科里奧利力的系統(tǒng)中天然存在時(shí)間反演對(duì)稱性,而且系統(tǒng)空間對(duì)稱性越高相應(yīng)地會(huì)對(duì)電路網(wǎng)絡(luò)中的器件參數(shù)值的選取給出更嚴(yán)苛的要求,因此我們采用上述第一種方案.考慮無自旋的兩能級(jí)系統(tǒng),k參數(shù)空間中哈密頓量的一般形式為時(shí)間反演算符為T=K,即復(fù)共軛算符.空間反演算符I可表示為σ0或σ3,取決于兩個(gè)基函數(shù)宇稱相同或相反.當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)具有時(shí)間反演和空間反演對(duì)稱性時(shí),哈密頓量將受到如下約束:

時(shí)間反演要求d1,3(k)為偶函數(shù),而d2(k)為奇函數(shù).當(dāng)I=σ0時(shí),空間反演不產(chǎn)生約束,而I=σ3時(shí),空間反演對(duì)稱性要求d1,2(k)為奇函數(shù),d3(k)為偶函數(shù).綜合上述約束方程得到d1(k)=0,d2(k)為奇函數(shù),d3(k)為偶函數(shù).結(jié)線態(tài)的出現(xiàn)要求d1(k)=d2(k)=d3(k)=0.在三維k空間中求解兩個(gè)約束方程,可以得到無窮多個(gè)解,剛好是我們尋找的結(jié)線態(tài).例如這兩個(gè)函數(shù)同時(shí)為零的解是k空間中平面與二次曲面的交線,此交線即為結(jié)線型能譜簡(jiǎn)并點(diǎn).下面我們按照這個(gè)思路在電路中設(shè)計(jì)結(jié)線態(tài).

我們從二維六角蜂窩電路出發(fā),圖3(a)所示,a-b平面內(nèi)所有A和B節(jié)點(diǎn)通過電容C1,2,3連接(這里取三種電容值相等).每個(gè)節(jié)點(diǎn)A (B)由并聯(lián)的電感LA(LB)和電容CGA(CGB)接地.按照上一節(jié)介紹的方法,這些二維電路系統(tǒng)的基爾霍夫電流方程可寫成與石墨烯哈密頓量完全一致的形式.類似于石墨烯的特征能帶,二維六角蜂窩電路的共振頻譜在第一布里淵區(qū)內(nèi)存在兩個(gè)閉合點(diǎn).沿c方向堆疊,層間無耦合時(shí)二維布里淵區(qū)中的頻譜交點(diǎn)將在三維布里淵區(qū)內(nèi)形成圖3(a)中小圖所示的兩條直線型結(jié)線.如果將最近鄰層間的A和B節(jié)點(diǎn)用電容 C4連接(圖3(b)),調(diào)節(jié) C4的容值并不破壞系統(tǒng)的空間反演對(duì)稱性,但直線狀的結(jié)線可逐漸彎曲至閉合成為我們感興趣的結(jié)環(huán).如果用 CA(CB)連接層間的A-A(B-B)節(jié)點(diǎn)(圖3(c)),選擇參數(shù)CA=CB和CGA=CGB,此時(shí)空間反演對(duì)稱性將被破缺,結(jié)線型交叉有可能退化成離散的外爾點(diǎn).上述電路的等效緊束縛哈密頓矩陣為[52]:

圖3 三維LC電路示意圖.(a) 單層LC蜂窩電路沿c方向上無連接的堆疊起來,每個(gè)原胞內(nèi)的兩個(gè)不等價(jià)節(jié)點(diǎn)A和B在層內(nèi)由 C1 ,2,3連接.每個(gè)節(jié)點(diǎn)A (B)都通過并聯(lián)的 LA (LB) 和CGA(CGB) 回路接地.a,b和c表示格矢.小圖: 單層LC電路頻譜中包含兩個(gè)簡(jiǎn)并點(diǎn),沿著 kc 方向擴(kuò)展將在布里淵區(qū)中形成兩條直線狀的結(jié)線(紅線).(b) 電容 C4 連接最近鄰層間的節(jié)點(diǎn)A和B,結(jié)線在給定合適的 C4時(shí)將彎曲成閉合環(huán)形.(c) 電容 CA (CB) 連 接最近鄰層間的A-A(B-B)節(jié)點(diǎn)對(duì),CA=CB 且 CGA=CGB 時(shí)空間反演對(duì)稱破缺,環(huán)狀結(jié)線可能退化成離散的外爾點(diǎn).此外,LC網(wǎng)絡(luò)可以變形成(d),簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)裝置的同時(shí)保證頻譜不變Fig.3.Schematic setup of the 3 D LC circuit lattice.(a) LC honeycomb layers stacked along c-direction without any interlayer connection.Two inequivalent nodes A and B within a unit cell,linked by capacitors C 1,2,3.Each node A(B) is grounded through the parallel connected inductor LA (LB ) and capacitor C GA (C GB ).a,b,and c denote lattice vectors.Inset: spectra of a single layer LC lattice includes two band-crossing points,extended uniformly along kc-direction and form two straight nodal lines (red) in the BZ.(b) Connecting nodes A and B between the nearest neighbor-layers with C4.The straight lines could be curved to a closed ring given appropriate C4.(c) Connect node-pairs A-A(B-B) between the nearest neighbor-layers with CA (CB ),to break space inversion symmetry by setting CA=CB and CGA=CGB,and the nodal ring may be degenerated to discrete Weyl points.The LC network can be deformed into (d),which is convenient to construct circuit elements in experiments while spectrum invariant.

體邊對(duì)應(yīng)要求非平庸的結(jié)線對(duì)應(yīng)著表面態(tài)的存在,沿(001)方向投影能帶的結(jié)環(huán)內(nèi)部會(huì)出現(xiàn)圖4(b)中色散極小的鼓膜態(tài).將三維布洛赫哈密頓矩陣參數(shù)化為等效的一維系統(tǒng) H (ka,kb),沿kc方向進(jìn)行積分即得到 ka-kb面上的貝里相位為頻譜中低頻支的布洛赫電勢(shì)分布函數(shù).積分路徑位于結(jié)線內(nèi)部時(shí)得到拓?fù)浞瞧接沟呢惱锵辔沪?否則是平庸的相位0.

圖4 (a) 結(jié)線(紅色)及其在(001),(010)和(100)面上的投影(灰色).此時(shí)參數(shù)取為C1=1mF,C2=2mF,C3=1mF,C4=0.833mF,CGA=CGB=1mF 和LA=LB=1mH.(b) 沿 Γ-M-A-Y-B-M-Γ路徑的頻譜,其中A和B是(a)中結(jié)線與kc=0平面的交點(diǎn).上: (001) 方向的體態(tài) (灰色)及表面態(tài) (紅線),以及周期邊界條件下的能帶 (紫色).下: 積分路徑在結(jié)線內(nèi)部(外部)的貝里相位 θ k ‖ 等于拓?fù)浞瞧接沟?π(平庸的0)Fig.4.(a) Nodal line (red) and its projections (grey) on the (001),(010),and (100) planes.The parameters are set as C1=1mF,C2=2mF,C3=1mF,C4=0.833mF,CGA=CGB=1mF,and LA=LB=1mH.(b) Bands along Γ-M-A-Y-B-MΓ,where A and B are two points with kc=0 on the nodal line as labeled in (a).Upper: the bulk bands(grey) with the drumheadlike surface states nestled inside the projection of the nodal ring (red) on the (001) surface and the two bands (purple) in periodic boundary condition.Bottom: the Berry phase θ k ‖ equals π(0) inside (outside) the nodal ring.

圖5 (a)布里淵區(qū)中的四個(gè)外爾點(diǎn)及它們?cè)?001),(010)和(100)方向的投影.取CA=0.2mF,CB=0.01mF 和CGA=0.77mF,其它參數(shù)均與圖4中相同.外爾點(diǎn)是由 d1 ,2(k)=0 決 定的結(jié)線與 d3 (k)=0 決定的兩平面的交點(diǎn),它們的手性用藍(lán)色五角星(χ=+1 ) 和紅色圓點(diǎn)(χ=-1 )標(biāo)記.(b) 左上: 在 (001) 表面上,費(fèi)米弧連接了手性相反外爾點(diǎn)的投影點(diǎn).右上:開邊界時(shí)路徑AB上(亮青色虛線)的無能隙表面態(tài),綠色虛線標(biāo)記外爾點(diǎn)所在頻率.左下: 垂直于 k a 的 各平面上的陳數(shù).沿ka方向移動(dòng),經(jīng)過正(負(fù))手性外爾點(diǎn)時(shí)平面上的陳數(shù)會(huì)增加1(減少1)Fig.5.(a) Four Weyl points in the Brillouin zone and their projections on (001),(010) and (100) direction.CA=0.2mF,CB=0.01mF,and CGA=0.77mF are used in the calculations.The other parameters are the same as Fig.4.The Weyl points are the intersection points between the nodal ring determined by d1 ,2(k)=0 and the two planes determined by d3 (k)=0.The chirality are indicated as blue stars (red points) for χ=+1 (- 1 ).(b) upper left: on the (001) surface,Fermi arcs connect the projections of the bulk Weyl nodes carrying opposite chiralities onto the surface.Upper right: the gapless surface band in theA-B path.Dashed green line denotes the frequency where Weyl points lie.Bottom left: the Chern numbers for planes perpendicular to ka.Moving along k a,the Chern number increases (decreases) when the plane passing through the Weyl points with+1(—1) chirality.

4.2 拓?fù)渫鉅枒B(tài)

取電容值CA=CB,CGA=CGB可以破缺空間反演對(duì)稱性從而使結(jié)線態(tài)相變到外爾態(tài).此時(shí)d3(k)不再恒為零,能隙閉合條件需要進(jìn)一步要求coskc=1+(CGA-CGB)/2(CA-CB).選取電容參數(shù)使得等式右邊小于1,d3(k)=0在三維布里淵區(qū)中給出兩個(gè)垂直于kc的平面,當(dāng)這兩個(gè)平面與d1,2(k)=0給出的結(jié)線相交時(shí)便得到圖5(a)中的4個(gè)交點(diǎn),這正是我們尋找的外爾點(diǎn).由于時(shí)間反演對(duì)稱性會(huì)把一個(gè)位于k的外爾點(diǎn)映射到手性相同但位于-k的外爾點(diǎn),而整個(gè)系統(tǒng)的外爾點(diǎn)手性之和恒為零.于是這四個(gè)外爾點(diǎn)的手性必然有2個(gè)為正,另2個(gè)為負(fù),即這類具有時(shí)間反演對(duì)稱性的系統(tǒng)中外爾點(diǎn)的最小數(shù)目為4.如圖5(b)所示將ka作為參數(shù),可得一系列由kb-kc張成的二維面,由這些二維面上陳數(shù)的變化可判斷出外爾點(diǎn)的手性.在遠(yuǎn)離外爾點(diǎn)處二維面上的能帶具有能隙,若存在非零陳數(shù),則開邊界時(shí)能隙中會(huì)出現(xiàn)非平庸的手征表面態(tài).因此,和電子系統(tǒng)中的外爾半金屬類似,電路系統(tǒng)中手性相反的兩個(gè)外爾點(diǎn)在表面的投影也會(huì)被表面費(fèi)米弧連接起來.

在上面的討論中,我們考慮的是理想電容和電感.實(shí)際中的電子元件受到制造工藝等因素影響,其真實(shí)參數(shù)在標(biāo)注值的基礎(chǔ)上都存在一定范圍的誤差,需要進(jìn)一步考慮參數(shù)誤差對(duì)前面兩類拓?fù)鋺B(tài)的影響.由于結(jié)線態(tài)需要空間反演對(duì)稱性保護(hù),在大量器件都存在誤差的前提下要保持此對(duì)稱過于困難,因而一般是不穩(wěn)定的.而外爾態(tài)只要求系統(tǒng)的平移對(duì)稱性以保持動(dòng)量空間的存在,不需要其他對(duì)稱性,可以期待外爾點(diǎn)能抵抗一定程度的器件參數(shù)誤差.

下面我們對(duì)上述電路進(jìn)行器件誤差分析.考慮一個(gè) 3 ×3×3 的超胞.其中電容參數(shù)在精確值基礎(chǔ)上附加一定幅度的隨機(jī)誤差,即哈密頓矩陣中的化學(xué)勢(shì)和躍遷項(xiàng)被附加隨機(jī)數(shù).誤差幅度從0開始以精確參數(shù)值的5%為步長(zhǎng)逐漸增加到100%,每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)隨機(jī)選取均勻分布的誤差重復(fù)100次并計(jì)算第 N/2 條 和第 N/2+1 條能帶的頻率差.如圖6所示,誤差強(qiáng)度小于30%時(shí)外爾點(diǎn)依然存在.

圖6 3×3×3超胞的能隙隨誤差幅度的變化,其中N是能帶條數(shù).參數(shù)同圖5理想情形.每種誤差幅度隨機(jī)重復(fù)計(jì)算100次.數(shù)值計(jì)算中誤差幅度不超過30%時(shí)外爾點(diǎn)仍然存在.小圖為電容誤差幅度為 ± 20% 時(shí)兩個(gè)外爾點(diǎn)所在路徑的色散Fig.6.The band gap,as a function of the tolerance values for a 3 ×3×3 super cell,where N is the number of total bands.The parameters are the same as Fig.5 in ideal case.Each range of tolerance is calculated 100 times.Numerical results show that Weyl points survive for ranges less than the critical value 30%.Inset: the bands along the k-path crossing two Weyl points with 20% range of tolerance on the capacitors.

5 小結(jié)與展望

本文介紹了一類基爾霍夫方程可映射為緊束縛哈密頓量的LC網(wǎng)絡(luò),將經(jīng)典電子線路與單粒子的量子問題聯(lián)系起來.我們以SSH模型為例,展示了如何在電路中實(shí)現(xiàn)一維拓?fù)鋺B(tài).通過堆疊二維蜂窩LC網(wǎng)絡(luò),我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)在不同參數(shù)下分別具有拓?fù)浣Y(jié)線態(tài)和外爾點(diǎn)的三維LC網(wǎng)絡(luò),調(diào)控電容能夠?qū)崿F(xiàn)兩者之間的拓?fù)湎嘧?在此電路網(wǎng)格中,可以觀測(cè)到結(jié)線態(tài)對(duì)應(yīng)的表面鼓膜態(tài)和外爾態(tài)對(duì)應(yīng)的表面費(fèi)米弧,

從上述例子可見,電路模型哈密頓量中躍遷項(xiàng)的設(shè)計(jì)自由度極大,躍遷強(qiáng)度、方向、距離等均能通過連接電容器件來調(diào)控,借以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)凝聚態(tài)體系中不易制備的新奇物態(tài),例如最近得到廣泛關(guān)注的非厄密拓?fù)鋺B(tài).非厄密物理的典型特性之一是參數(shù)空間中的非厄密能帶閉合點(diǎn)[83],同時(shí)伴隨著體費(fèi)米弧[84]和反常邊界態(tài)[85]等行為.非厄密系統(tǒng)的物理性質(zhì)強(qiáng)烈依賴于邊界條件[86—88],而在通常的量子體系和人工超材料體系中難以在周期邊界條件和開放邊界條件之間自由切換.但對(duì)于集中參數(shù)電子線路,可以非常方便的調(diào)控部分線路的開或斷來改變邊界條件.此外,在系統(tǒng)中添加運(yùn)算放大器或電阻等有源/耗器件后,很容易為電路網(wǎng)絡(luò)引入非厄密效應(yīng).通過引入不對(duì)稱躍遷項(xiàng)[53,89],基于本文討論的蜂窩電路,可以展示多種以非厄密簡(jiǎn)并點(diǎn)為端點(diǎn)或邊界的體費(fèi)米弧和體鼓膜態(tài),該系統(tǒng)中體邊對(duì)應(yīng)的破缺和恢復(fù)也有望通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到驗(yàn)證.

電子線路作為一個(gè)宏觀穩(wěn)定易操控的物理平臺(tái),其潛力遠(yuǎn)不止于用來模擬其它量子或經(jīng)典系統(tǒng)中已被實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的物態(tài).考慮到集中參數(shù)電路中元件的相互連接幾乎不受空間維度和器件數(shù)量的限制,按照類似的思路不難設(shè)計(jì)出對(duì)應(yīng)于準(zhǔn)晶[90]和非晶[91]哈密頓量的電路網(wǎng)絡(luò).通過更復(fù)雜的連接,還可以設(shè)計(jì)四維拓?fù)浣^緣態(tài)[56]和更多其他系統(tǒng)中難以研究的高維拓?fù)鋺B(tài).