王子 張丹妹 任捷

(同濟大學(xué)物理科學(xué)與工程學(xué)院,聲子學(xué)與熱能科學(xué)中心,上海市特殊人工微結(jié)構(gòu)材料與技術(shù)重點實驗室,上海 200092)

聲子是晶格集體振動模式二次量子化之后的準粒子激元.在聲子的框架下,可以對固體中的力學(xué)、彈性波以及熱現(xiàn)象進行統(tǒng)一描述.隨著對固體系統(tǒng)認識的提高,聲子成為補充和替代電子、光子的另一種操控固體器件的重要手段.其中,對聲子體系中彈性波和熱傳導(dǎo)的調(diào)控在理論和應(yīng)用上都具有非常巨大的價值.彈性波作為信息載體具有構(gòu)建新型芯片元件的潛力,而調(diào)控以聲子為能量載體的熱則可以實現(xiàn)能量轉(zhuǎn)化與器件優(yōu)化.該領(lǐng)域近些年來發(fā)展迅猛,大量聲子熱二極管、彈性和熱學(xué)超材料、熱抽運等新奇材料與器件已經(jīng)被科學(xué)家們預(yù)測并實現(xiàn).這些發(fā)展進一步得益于“拓撲”與“非互易性”概念在聲子系統(tǒng)器件上的探究和應(yīng)用.本文綜述了聲子體系中的拓撲和非互易性相關(guān)現(xiàn)象,介紹部分最新研究成果并對發(fā)展趨勢進行初步展望.主要討論彈性波和熱傳導(dǎo)中的拓撲和非互易性,其中重點回顧了利用含時驅(qū)動實現(xiàn)的彈性波與熱流的非互易傳輸現(xiàn)象.這種動態(tài)調(diào)控手段的可調(diào)節(jié)性很大,可廣泛應(yīng)用于各尺度多組分的聲子彈性波與熱輸運體系之中.

1 引 言

對能量和信息的掌控是支撐現(xiàn)代社會的兩大基石.集成化電路已經(jīng)在信息處理方面做出了巨大貢獻.但隨著摩爾定律的失效,單純對電子的操控已經(jīng)不能滿足人們發(fā)展的需求.這時,光子和聲子的地位就凸顯了出來.在固體器件中,聲子的作用則更加明顯.近年來,聲子學(xué)作為新的研究領(lǐng)域已經(jīng)取得了巨大的發(fā)展.類比電子學(xué),人們已經(jīng)實現(xiàn)了聲子的二極管、晶體管、邏輯門等器件[1,2].而這些僅僅為一些初步結(jié)果,還有很多問題沒有得到解決,尚需要進一步的研究以用于實際的器件.首先,聲子作為一種中性準粒子,它并沒有電荷,不直接受電場磁場的控制.所以對聲子進一步的操控需要引入新的物理機理.另外,值得注意的是,在微觀和介觀聲子體系,結(jié)構(gòu)無序、非平衡以及熱漲落十分普遍,而它們對聲子輸運行為影響極大.因而,如何設(shè)計聲子體系,使其在這些隨機性存在時仍可高效工作,就成了一個重要問題.

拓撲的概念在這個時候就起到了關(guān)鍵作用.拓撲在物理上的應(yīng)用早期集中在對量子場論的非平凡激元進行分類上.后來在凝聚態(tài)領(lǐng)域,Thouless等[3]在研究量子霍爾效應(yīng)時引入了電子能帶拓撲的概念,并使用TKNN(Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs)拓撲不變量來解釋量子霍爾效應(yīng)中霍爾電導(dǎo)所表現(xiàn)出的量子化和魯棒性.TKNN不變量是電子基態(tài)波函數(shù)在倒空間里的整體幾何相位[4].隨后,Haldane[5]指出,量子霍爾效應(yīng)不局限于有外加磁場的體系,可以通過引入人工規(guī)范勢來實現(xiàn)反常量子霍爾效應(yīng).這些效應(yīng)依賴于時間反演對稱的破缺.近年來,大量關(guān)于拓撲絕緣體的研究還提出時間反演對稱體系中的量子自旋霍爾效應(yīng)[6],以及用不同模式構(gòu)造贗自旋從而產(chǎn)生的量子谷霍爾效應(yīng)[7,8].這樣,人們可以利用(贗)自旋這個空間以外的自由度來操控凝聚態(tài)體系.在以上所有這些效應(yīng)中,拓撲非平凡體系具有受到體帶拓撲保護的邊界態(tài),它對無序和漲落都具有極強的魯棒性.

受到早期電子系統(tǒng)和后來光子系統(tǒng)中拓撲概念的啟發(fā),波動聲學(xué)體系中的拓撲也很快被提出來.這方面較早受到關(guān)注的是空氣聲和水聲之中的拓撲現(xiàn)象[9,10],這是由于這些體系中對聲波的操控較為簡單.其中,通過引入環(huán)流或者引入時間驅(qū)動以打破時間反演對稱,可以實現(xiàn)聲波的量子霍爾效應(yīng)[11,12].而即便不打破時間反演對稱性,引入贗自旋的自旋軌道鎖定也可以實現(xiàn)聲波的量子自旋霍爾效應(yīng)[13,14].這些體系都實現(xiàn)了單向且對邊界無序具有強魯棒性的聲學(xué)邊界態(tài).然而,固體中彈性波的拓撲現(xiàn)象在后來受到更多的關(guān)注.這里主要有兩個原因;其一,相比空氣聲和水聲,固體中的彈性波對應(yīng)到連續(xù)極限下的長波聲子,具有內(nèi)稟的不同偏振方向,這大大增加了它的調(diào)控手段;另外,隨著人們對可集成化芯片尺度器件的追求越來越高,固體彈性波聲子器件顯得更有魅力—它波動的頻率更高,攜帶的信息量大,而且承載它的固體器件易小型化.本文對波動聲子的討論主要局限于彈性波聲子范圍.

器件設(shè)計中另一個重要的概念是非互易性.非互易性效應(yīng)通常指沿著一個方向或者沿它的相反的方向傳輸時一個物理量具有不同的輸運性質(zhì),這可以表現(xiàn)為相位或者幅值不同.非互易器件可以使人們對波和熱進行整流和隔離.前面提到,拓撲非平凡的系統(tǒng)在邊界上具有受拓撲保護的邊界態(tài),而這樣的邊界態(tài)往往是單向輸運的.這便是由拓撲性質(zhì)產(chǎn)生的邊界非互易性,并且這種非互易性具有很高的魯棒性,對于小器件的穩(wěn)定工作具有非常重要的作用.除此之外,非互易性還有非拓撲保護的其他來源,例如含時驅(qū)動帶來的能帶傾斜[15,16]等,后面會進行具體介紹.

不同于波動聲子體系中聲子的彈道輸運,在熱傳導(dǎo)中聲子可能會體現(xiàn)出擴散輸運的性質(zhì).另外,熱傳導(dǎo)中的能量輸運是眾多模式聲子的共同作用的結(jié)果.這使得在熱傳導(dǎo)系統(tǒng)中,對熱聲子操控的難度相比波動聲子大了許多,操控波動聲子的很多方法不能直接應(yīng)用到熱傳導(dǎo)之中.然而,本文要給出的一個信息是,通過含時驅(qū)動,可以跨越不同的尺度對熱傳導(dǎo)中的聲子進行所需要的調(diào)控[17-20].這其中,熱非互易和熱抽運是兩個重要例子.

需要說明的是,本文的一個關(guān)注點是近期聲子系統(tǒng)中拓撲性質(zhì)和非互易現(xiàn)象相結(jié)合的研究工作,主要介紹聲子系統(tǒng)中彈性波和熱傳導(dǎo)的一些有趣現(xiàn)象,其中強調(diào)了含時驅(qū)動系統(tǒng)部分.由于關(guān)于聲子系統(tǒng)拓撲與非互易的研究眾多,文中的廣度和深度受到諸多限制,更多的討論可以參考相關(guān)綜述文獻[21—24].例如,關(guān)于拓撲聲學(xué)的內(nèi)容,請參考文獻[22,23];關(guān)于拓撲聲子的內(nèi)容,請參考文獻[21,24]等.

2 總 述

由于文中強調(diào)的拓撲、非互易性和含時驅(qū)動等概念并不局限于聲子系統(tǒng),具有一般的理論框架,需要對其進行一般性的總述.它們在聲子系統(tǒng)中的具體體現(xiàn)會在后文中詳細介紹.

2.1 拓撲與非互易的一般性概念

在線性周期性系統(tǒng)中,能帶的拓撲性質(zhì)是一種整體性質(zhì).系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)可以由一個拓撲不變量來描述.此拓撲不變量因受到拓撲保護而在大多數(shù)微小擾動下保持不變.拓撲不變量通過體邊對應(yīng)和邊界態(tài)的數(shù)目相聯(lián)系.根據(jù)拓撲不變量的不同,可以把系統(tǒng)分為不同的拓撲等價類.不同拓撲等價類的系統(tǒng)無法經(jīng)由連續(xù)的絕熱變換聯(lián)系起來,它們之間的相互轉(zhuǎn)換必然經(jīng)由拓撲相變.

系統(tǒng)能帶上的Berry聯(lián)絡(luò)可以由其布洛赫函數(shù)得出:

將由其得到的Berry曲率B=?k×A(k)在整個布里淵區(qū)內(nèi)積分,就可以得到單個能帶的陳數(shù);

陳數(shù)是量子霍爾效應(yīng)體系中的拓撲不變量.此外,一維系統(tǒng)的Berry聯(lián)絡(luò)在整個布里淵區(qū)積分后給出一維的拓撲示性數(shù),即Zak相位[25].

在量子自旋霍爾效應(yīng)中,時間反演對稱未破缺,相反自旋的陳數(shù)互為相反數(shù),因而

總的陳數(shù)為零.然而其自旋Chern數(shù)

可以不為零.體系具有非平凡拓撲,邊界上存在有自旋依賴的單向傳輸通道.

材料或器件近期另一個得到廣泛關(guān)注的性質(zhì)是其(非)互易性[26].非互易是指一個器件沿兩個方向進行能量傳輸時表現(xiàn)不相同的現(xiàn)象.對于波動體系來說,非互易包括幅值和相位的非互易.法拉第效應(yīng)就是一個眾所周知的具有非互易性的例子[27],利用它可以得到法拉第光隔離器[28].非互易性之所以重要,是因為人們可以應(yīng)用它來獨立調(diào)控不同方向上能量和物質(zhì)流的大小,實現(xiàn)整流和隔離.為了應(yīng)用(非)互易性,需要研究說明哪些物理機制可以導(dǎo)致(非)互易性.

嚴格講,實際上人們關(guān)注的互易性主要包括兩種.其一是洛倫茲互易[29],另一個是昂薩格互易[30].洛倫茲互易性是指[31],在一個兩端口線性無損耗系統(tǒng)中,若調(diào)換這兩個出入射的端口,它們之間通過介質(zhì)耦合的性質(zhì)不發(fā)生任何變化.數(shù)學(xué)上來看,即系統(tǒng)對波的散射矩陣是一個對稱陣.有兩種方式可以打破洛倫茲互易性;1)在線性系統(tǒng)里,打破時間反演對稱,如法拉第效應(yīng);2)引入非線性,使得系統(tǒng)參數(shù)(比如介電常數(shù)和磁導(dǎo)率)依賴于場強,從而變得依賴于入射路徑.昂薩格互易性是昂薩格在研究近平衡態(tài)系統(tǒng)線性響應(yīng)系數(shù)之間關(guān)系時發(fā)現(xiàn)的[32,33].假設(shè)近平衡態(tài)系統(tǒng)具有微觀可逆性和細致平衡,若它的各分量流和各個熱力學(xué)勢之間的線性響應(yīng)關(guān)系記為

式中B是磁場大小.則昂薩格互易性可以寫為

磁場方向的反轉(zhuǎn)是為了保證微觀可逆性.昂薩格互易性考慮的是系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì).若要打破昂薩格互易性,就要使系統(tǒng)進入非線性響應(yīng)的范圍.這個結(jié)論對于聲子與熱的非互易性研究具有重要指導(dǎo)意義.值得注意的是,在引入磁場(或人工規(guī)范場)后,即便系統(tǒng)滿足昂薩格互易Lij(B)=Lji(-B),其在洛倫茲意義上,已經(jīng)是非互易了：Lij(B)=Lji(B).所以為實現(xiàn)更徹底的非互易性,需要使系統(tǒng)遠離平衡態(tài),打破細致平衡,從而實現(xiàn)昂薩格意義上的非互易性,得到Lij(B)=Lji(-B).

2.2 拓撲與非互易的聯(lián)系

拓撲概念與非互易現(xiàn)象不是相互獨立的,而是相互關(guān)聯(lián)的.一方面,雖然非互易輸運有很多種實現(xiàn)方法,但利用拓撲邊界態(tài)的手性特征,就可以通過多端口系統(tǒng)實現(xiàn)其中兩端口間的邊界非互易傳輸[34].此時的非互易傳輸實際上是一種邊界的單向傳輸,其單向通道受到拓撲保護,且無背散射.拓撲與非互易性的另一點聯(lián)系體現(xiàn)在幾何相的理論框架中.幾何相可以定義于任意的參數(shù)空間中.對于周期結(jié)構(gòu),它在倒空間中的非平凡性質(zhì)會導(dǎo)致非平凡的拓撲能帶.而在其他參數(shù)空間中的非平凡的幾何相和曲率結(jié)構(gòu)也可以通過絕熱驅(qū)動體現(xiàn)出來,非互易性熱傳輸和熱抽運就是這里的一個重要例子.此現(xiàn)象在量子分子節(jié)、自旋-玻色模型以及經(jīng)典系統(tǒng)中都存在[17,35,36].

2.3 含時驅(qū)動帶來的物理效應(yīng)

含時驅(qū)動能給原本靜態(tài)的系統(tǒng)帶來更多的可操控維度,從而帶來新穎的性質(zhì).含時驅(qū)動引起的物理效應(yīng)主要體現(xiàn)在如下幾個方面.首先,絕熱的參數(shù)含時驅(qū)動能使系統(tǒng)在參數(shù)空間中的幾何性質(zhì)在動力學(xué)中體現(xiàn)出來,具體來說,會使系統(tǒng)的相位或者輸運物理量的生成函數(shù),在動力學(xué)貢獻外,獲得一個額外的幾何相貢獻[17,35,36].另外,通過周期性外場驅(qū)動,可通過Floquet等效哈密頓量修正能帶形狀和能帶拓撲.能帶中的Floquet拓撲態(tài)會在輸運等過程中體現(xiàn)出來[37,38].除此之外,近期含時驅(qū)動帶來的合成維度和合成規(guī)范場也得到了廣泛關(guān)注[39,40].含時驅(qū)動帶來的合成維度可以擴大系統(tǒng)的可控制范圍,而合成規(guī)范場則帶來了方便控制載流子或波運動的新方法.

3 固體彈性波的拓撲與非互易

聲子晶體通過把大量力學(xué)功能基元周期性排列起來,實現(xiàn)特定聲子波束調(diào)控功能的器件.聲子晶體的能帶可以描述一個復(fù)雜力學(xué)體材料中功能基元在平衡位置附近振動的波動傳播行為.然而材料體能帶對波輸運性質(zhì)的描述并不完全,無法涵蓋實際有限大小體系邊界上的波動行為.與電子系統(tǒng)類似,材料能帶的拓撲性質(zhì)可以反映其有限系統(tǒng)中邊界上的波性質(zhì).在聲子晶體中引入拓撲的概念,易制備的宏觀器件可以實現(xiàn)對聲波進行高可靠性的調(diào)控.應(yīng)用聲子晶體,聲學(xué)系統(tǒng)[9-14,41]和力學(xué)系統(tǒng)[42]中的各種拓撲效應(yīng)已經(jīng)得到了大量研究.

然而固體中彈性波和氣體、液體等流體里的聲波性質(zhì)有所差別.其優(yōu)點在于,彈性波聲子具有流體聲波里不具備的橫波模式,模式更加豐富,頻率相對來說較高,能量密度更大.軟材料中相對流體聲波來說,彈性波更不容易受周圍環(huán)境的影響[43].對彈性波進行操控的固態(tài)器件也更容易小型化,可將對應(yīng)器件集成到固體芯片上[44-46].這對于未來基于聲子的信息處理和能量轉(zhuǎn)換是十分關(guān)鍵的.

圖1 (a)彈性波的內(nèi)稟自旋軌道鎖定[49];(b)彈性波的贗自旋軌道鎖定[50](由此都可以得到響應(yīng)模式的單向通道)Fig.1.(a) Spin-momentum locking in elastic wave systems[49];(b) pseudo-spin-orbital locking in elastic wave system[50] (One-direction channels are established).

圖2 (a)彈性波的谷拓撲絕緣體,它的每個邊界上都可以支持不同谷的邊界態(tài);(b)有限帶狀材料中彈性波體態(tài)和邊界態(tài)的能帶,其中色階表示(a)中不同的縱向坐標,藍色和紅色分別表示上下邊界[51];(c)拓撲相變過程中的能帶反轉(zhuǎn)[53];(d)受拓撲保護的邊界傳輸[51]Fig.2.(a) Valley topological insulator for elastic wave with different valleys supported on each edge;(b) bulk and edge band in a finite ribbon;the color bar implies the value of vertical coordinate,with pure blue (red) representing the upper (lower) edge[51];(c) the band inversion during the topological phase transition[53];(d) the topological edge state transmission is robust against disorder[51].

如何在實驗上實現(xiàn)具有非平凡拓撲的彈性波體系,而不同的體系各自具有什么樣特殊的功能,如何借鑒電子系統(tǒng)的拓撲分類對彈性波聲子進行拓撲分類,并且應(yīng)用對稱性給出對體系設(shè)計的指導(dǎo)[47],將是近些年這個領(lǐng)域內(nèi)眾多工作要回答的問題.

3.1 固體彈性波中的拓撲

使電子體系表現(xiàn)出量子霍爾效應(yīng),需要打破時間反演對稱性.無論是引入外加的強磁場,還是合成人工的規(guī)范勢,都是為了使電子的拓撲性質(zhì)受到時間反演破缺的保護.在這樣的體系中,邊界態(tài)具有單向性.無論電子的自旋朝向如何,它們在邊界上的輸運方向只取決于邊界自身.同樣的,在彈性波體系中要實現(xiàn)(類)量子霍爾效應(yīng),也需要實現(xiàn)時間反演破缺.而不同于電子,聲子不具有電荷,因而直接對其進行操作時人們不具有類似磁場這樣的能夠打破時間反演對稱的工具.這時,需要陀螺儀自由度或非慣性系等調(diào)制手段[34,48].

雖然打破彈性波體系的時間反演對稱可以帶來新穎且重要的拓撲現(xiàn)象,但無論是引入陀螺儀還是將系統(tǒng)放入非慣性系,在實際操作和應(yīng)用時都具有極大的難度.這限制了彈性波拓撲的設(shè)計應(yīng)用.類比拓撲絕緣體中的概念,即使不打破時間反演對稱,利用偏振這種額外自由度,系統(tǒng)也可以產(chǎn)生手性的邊界態(tài)[6,7].這就是所謂的量子自旋霍爾效應(yīng).研究工作指出,相比空氣和水中的聲波,固體中的彈性波具有內(nèi)稟的自旋角動量(圖1(a))[49].而利用其自旋構(gòu)造自旋軌道耦合,實現(xiàn)非平凡拓撲和自旋依賴的單向通道,是固體彈性波的獨有優(yōu)勢.另外,若不利用彈性波內(nèi)稟的自旋角動量,僅通過構(gòu)造彈性波的贗自旋軌道鎖定(圖1(b)),對應(yīng)的效應(yīng)也可以被觀測到[50].

另外,還有彈性波的量子谷霍爾效應(yīng)(圖2)[51-55].在這樣的體系中,時間反演對稱同樣沒有被打破,而是通過打破空間反演對稱性來打開原本體系狄拉克點處的能帶,實現(xiàn)受保護的拓撲絕緣體.它和量子霍爾效應(yīng)不同的是,體系每個空間邊界都存在互相抵消的偶數(shù)條通道,因而不存在凈能流;與量子自旋霍爾效應(yīng)不同的是,單個邊界上兩個傳輸方向相反的通道承載的是不同波矢的激元,而不是不同自旋的激元.若兩種波矢由能帶上巨大的谷分開,則可以較為容易地獨立激發(fā)出不同的態(tài).這些不同的態(tài)在單個邊界上具有單向傳播的特性.

圖3 (a)由有效負質(zhì)量和有效負模量系統(tǒng)連接而成的有限長系統(tǒng)以及其界面態(tài),中間為系統(tǒng)的透射譜,下面為帶隙處共振峰頻率下的振動模式;(b)不同參數(shù)情況下的系統(tǒng)色散關(guān)系以及較低兩條能帶的Zak 相位隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化[56]Fig.3.(a) Schematic spring-mass model of a finite 1D system connected by mass-negative and coupling-negative to achieve the topological interface state,the middle of the figure is the transmittance spectrum and the lower is the spatial profile of the eigenmodes of the interface state;(b) the dispersion relation of the system by changing the parameter of the system and the curve of the Zak phase for the lower two band with respect to the system parameter[56].

通常,在系統(tǒng)發(fā)生拓撲相變時,其邊界態(tài)和對應(yīng)的拓撲不變量發(fā)生轉(zhuǎn)變,在相變前后,系統(tǒng)的等效參數(shù)也會發(fā)生變化,從而會表現(xiàn)出不同的等效性質(zhì).如圖3所示,在一維原子鏈系統(tǒng)中,當引入一些在位勢以及手性耦合時,系統(tǒng)會顯示出不同的等效性質(zhì)—負的有效質(zhì)量和負的有效模量.當調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù),伴隨著系統(tǒng)性質(zhì)由負的有效質(zhì)量變?yōu)樨摰挠行Ａ?其拓撲性質(zhì)也會發(fā)生變化,拓撲不變量發(fā)生改變.具有有效負質(zhì)量的系統(tǒng)和具有有效負模量的系統(tǒng)屬于不同的拓撲相,當將二者連接的時候,會在界面處產(chǎn)生一個拓撲界面態(tài)[56].類似的現(xiàn)象在光子系統(tǒng)中也被提出[57].

圖4 (a)因時空調(diào)制,空間周期勢下的能帶(左)對稱性打破(右);(b)能帶隨時間變化中的體帶和邊界態(tài);體態(tài)和邊界態(tài)具有體邊對應(yīng)[16];(c)包含雜質(zhì)的受驅(qū)動系統(tǒng)夾在兩靜態(tài)系統(tǒng)(S和D)中間;(d)從S到D傳輸彈性波的透射率,M是雜質(zhì)大小,而v是含時行波驅(qū)動的移動方向,透射率的非互易性受到拓撲保護,不受可能存在的雜質(zhì)的影響[64]Fig.4.(a) Inversion of energy band is broken by spatiotemporal modulation;(b) edge states in temporally varying energy band;the edge-bulk correspondence is present[16];(c) the modulated middle part contains disorder and sandwiched between two static parts (S and D);(d) the transmission from S to D.M is the size of disorder,while v is the velocity of moving modulation.The non-reciprocity of the transmission is topologically protected from the disorder[64].

3.2 固體彈性波中的非互易

對于彈性波來說,要打破它的互易性,除了打破時間反演對稱,主要手段就是引入非線性和空間不對稱性.但即便如此,非線性和不對稱性一起,并不能充分保證非互易性[58].近年來,在眾多工作中,研究者會使用時空調(diào)制來打破時間反演對稱[15,59-63].這樣的手段適用于眾多體系,應(yīng)用范圍較廣.在聲子晶體中,控制彈性波傳播的主要為質(zhì)量密度、彈性系數(shù)這兩個參量.實驗上,在宏觀系統(tǒng)中,可以通過直接在各個格點上施加外力驅(qū)動改變彈性系數(shù),而在小尺度系統(tǒng)中,可以用光力效應(yīng)或者壓電材料,通過外界電磁波或者電壓驅(qū)動,來改變聲子晶體中的彈性系數(shù)[64].而這種方案實現(xiàn)的物理機制是,利用時空調(diào)制帶來的額外相位,改變先前只有周期性不含時勢場時晶體的能帶,使得能帶關(guān)于k→-k的反演不再對稱.能帶在一些頻率上只有單個固定符號的波矢存在.這時,施加一個在原先帶隙的頻率驅(qū)動,就可以激發(fā)得到這個頻率上的單向傳播的波.

Nassar等[15,16,60]的工作指出,時空調(diào)制帶來的非互易性被涵蓋在幾何相位的理論框架下[17].他們使用慢驅(qū)動下絕熱近似定理成立的條件,得出能帶傾斜大小是調(diào)制波形移動速率的整數(shù)倍的結(jié)論.而這樣的傾斜率是具有強魯棒性的.他們還計算了彈性波能帶的幾何相位和陳數(shù),并將陳數(shù)和能帶傾斜的大小聯(lián)系了起來.在這樣拓撲的框架下,體帶的傾斜率和單向無帶隙邊界態(tài)的數(shù)目可以通過體邊對應(yīng)相關(guān)聯(lián)(圖4(a)和圖4(b))[16].

由于含時驅(qū)動打破了時間反演對稱,而這是非平凡拓撲和非互易的共同條件.那么能不能應(yīng)用時空調(diào)制生成非平凡拓撲,從而利用由此產(chǎn)生的高魯棒性單向邊界態(tài),來實現(xiàn)完美的彈性波二極管呢？Swinteck等[64]在其工作中給出了確定性回答(圖4(c)和圖4(d)).他們對一維聲子晶體施加了一個邊界條件,然后將行波類時空調(diào)制施加在聲子晶體上.同時保證調(diào)制波長是晶體晶格常數(shù)的整數(shù)倍,且整個系統(tǒng)的調(diào)制波結(jié)數(shù)為整數(shù).這樣,在調(diào)制的超晶格中,能帶發(fā)生折疊.即便初始能帶拓撲平凡,通過含時驅(qū)動也可引入非平凡拓撲的能帶.而在這樣的能帶中,一些頻率上的波具有完美的單向性通道.這樣的單向輸運是受到拓撲保護的.含時調(diào)制下的非互易性可以抵抗原本一維系統(tǒng)中可能存在的雜質(zhì)缺陷而不受其影響.

4 聲子與熱的非互易與拓撲

在固體晶格中,用聲子來描述準粒子激元.在這樣的彈性體系中,包括邊界態(tài)在內(nèi)的能帶結(jié)構(gòu)可以反應(yīng)其中體塊與體邊上的波動傳播特性.其中,單個頻率聲子的非互易傳播通?？梢栽谀軒У膶ΨQ性上得到體現(xiàn).

與此相對,熱傳導(dǎo)過程是一個眾多模式聲子參與的過程.因而不同于對彈性波的調(diào)控,對熱的管理需要對帶寬范圍聲子同時施加影響.傳統(tǒng)實現(xiàn)的熱二極管的方法為:應(yīng)用非線性勢得到溫度依賴的聲子能譜,從而控制不同溫度下兩端的能譜交疊,進而實現(xiàn)熱的非互易傳輸[65].而使用這種方法制成的熱二極管通常只針對特定頻率范圍內(nèi)的聲子,因此只在一小段溫度區(qū)間和器件尺度有效[19].另外,在微納尺度的熱傳導(dǎo)中,即便忽略量子漲落,有限溫度和非平衡等因素帶來的漲落也對器件的工作具有重要影響.人們需要對熱流的漲落進行研究,并且給出抑制或者利用這些漲落的能量傳輸方案.

4.1 聲子與熱的拓撲

早期的聲子拓撲研究主要集中在對聲子霍爾效應(yīng)的理論解釋上.其中,聲子霍爾效應(yīng)指,在相互垂直的外加磁場和熱流的作用下,與兩者方向都相垂直的方向上,會出現(xiàn)一個附加的橫向溫度差[66,67].這個現(xiàn)象是在自旋-聲子耦合下,磁場對聲子的間接作用導(dǎo)致的.而研究工作表明,聲子霍爾效應(yīng)可以在體系聲子能帶的拓撲性質(zhì)中得到體現(xiàn)和解釋[68,69].

后續(xù)關(guān)于聲子拓撲的研究試圖在純簡諧聲子體系中得到類似的拓撲不平凡性質(zhì).其中,為實現(xiàn)聲子的量子霍爾效應(yīng),需要打破體系的時間反演對稱,這方面的手段主要有兩種;1)在聲子晶體的格點自由度上加入陀螺儀這樣的自由度[48]如圖5所示;2)將聲子晶體本身置于非慣性系之中[34],如圖6所示.

上述框架可以分析一個封閉聲子體系中特定模式的拓撲保護態(tài).但這樣的理論框架不適用于包含熱噪聲、熱庫在內(nèi)的開放熱傳導(dǎo)系統(tǒng),尤其是小尺度熱傳導(dǎo)器件.小尺度器件中各個物理量都處在永不停息的漲落之中.因而,描述一個熱傳導(dǎo)過程只使用平均熱流這個物理量是不夠的.Levitov等[70]在研究電子輸運過程時提出了全計數(shù)統(tǒng)計(full counting statistics)的概念.全計數(shù)統(tǒng)計在數(shù)學(xué)上可以納入生成函數(shù)論的范疇.如果我們得到一個輸運過程的全計數(shù)統(tǒng)計,那么只要關(guān)于它對輔助參數(shù)進行n次求導(dǎo),就可以得到輸運量的n階漲落矩.近二十年來,非平衡統(tǒng)計物理中的一個重要成果—漲落定理—就可以方便在全計數(shù)統(tǒng)計的框架下得到[71].小系統(tǒng)熱輸運中的性質(zhì)應(yīng)當在全計數(shù)統(tǒng)計的框架下進行研究.

對于一個處于非平衡態(tài)的系統(tǒng),若要對它進行調(diào)控,除了改變它所接的溫度,還可以對它內(nèi)部的參數(shù)進行含時驅(qū)動.這樣的驅(qū)動實際可以通過調(diào)控外加力場來實現(xiàn).與量子力學(xué)中的絕熱變換類似,若對非平衡系統(tǒng)進行一個緩慢的回路驅(qū)動,系統(tǒng)除了回到原先所處的態(tài)上,還會額外獲得路徑上所累積的幾何相的貢獻,且這樣的幾何相位不僅體現(xiàn)在平均熱流上,也體現(xiàn)在任意階的熱流漲落量上[17,35].應(yīng)用這樣的幾何相,可以對系統(tǒng)的輸運性質(zhì)進行調(diào)控,尤其是實現(xiàn)微納尺度的熱抽運和熱非互易輸運.

圖5 通過引入陀螺儀打破時間反演實現(xiàn)的非平凡拓撲 (a)聲子晶體的格點模型,其中黑色和紅色的線代表不同勁度系數(shù)的彈簧;(b)單個格點上的力學(xué)單元;(c)系統(tǒng)的能帶,能帶上所標的數(shù)字代表該帶的陳數(shù);(d)有限系統(tǒng)的能態(tài),紅線和藍線分別為上下邊界上的態(tài),可以看到,單個邊界上的態(tài)具有單向性[48]Fig.5.Non-trivial topology induced by broken time reversal symmetry with gyroscopic degrees of freedom: (a) Lattice model of the phononic crystal,in which the black and red lines represent springs of different stiffness;(b) the mechanical unit set on each site;(c) the bulk energy bands with corresponding Chern numbers;(d) eigenstates of a finite system,with uni-directional edge states denoted by red (black) curves.The edge states are uni-directional[48].

圖6 將聲子系統(tǒng)放入非慣性系引入的量子霍爾效應(yīng) (a)系統(tǒng)示意圖,聲子系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)類似對電子系統(tǒng)施加的磁場;(b)中間是準一維納米帶的能帶,左右兩圖分別為系統(tǒng)左右邊界上存在的傳輸模式;(c)利用邊界態(tài)單向性來調(diào)控頻率處于體帶帶隙內(nèi)的彈性波的傳輸,尤為重要的是,使用右邊的三端口器件,可以實現(xiàn)完美的彈性波非互易傳輸,這是應(yīng)用非平凡拓撲實現(xiàn)完美二極管的一個例子[34]Fig.6.Elastic wave quantum Hall effect of phononic systems in non-inertial reference frame: (a) Diagram of the system,with rotation acting like an effective magnetic field in electronic systems;(b) energy band of a nano-ribbon in the middle panel,with available left (right) edge states on the left (right) panel;(c) using the uni-directionality of edge states to manipulate the transmission in band gap.Remarkably,a perfect wave diode is obtained with the three-terminal system[34].

圖7[17,72]所示的例子中,非零的熱流是通過含時驅(qū)動兩端的熱庫的溫度產(chǎn)生的,而若驅(qū)動反轉(zhuǎn),熱流方向也會同樣改變.這是典型的熱抽運的例子.而在另外的系統(tǒng)中,即便兩邊溫度保持時刻相等的關(guān)系,也可以通過驅(qū)動中間系統(tǒng)和熱庫耦合以及它本身的參數(shù)實現(xiàn)熱流的定向輸運[35].由于熱抽運產(chǎn)生熱流的方向僅由驅(qū)動方向決定,這樣的熱流可以作為一個附加項,使得系統(tǒng)左右有溫差時的熱流具有非互易性.若擴大參數(shù)調(diào)控范圍到整個參數(shù)面,則可以證明,一次循環(huán)的熱抽運熱量值離散化且受到拓撲保護.

對于一些和外界有能量交換的開放系統(tǒng),可以把它們等效為一個非厄密的哈密頓量.在這類系統(tǒng)中,具有PT(parity-time)對稱的系統(tǒng)是十分有趣的.在這類系統(tǒng)的恰當參數(shù)范圍內(nèi)可能存在有EP(exceptional point)點這樣有趣的本征結(jié)構(gòu).在普通厄密系統(tǒng)的簡并點上,雖然本征值簡并,但本征矢仍是正交歸一的.而在EP點上,本征值與本征矢都合并(coalesce)到了一起.正如厄密系統(tǒng)的簡并點附近具有非平凡的拓撲結(jié)構(gòu),非厄密系統(tǒng)中EP點附近也同樣有類似的拓撲結(jié)構(gòu)[73,74].將系統(tǒng)繞著EP點附近參數(shù)驅(qū)動,驅(qū)動產(chǎn)生的能量流和許多驅(qū)動細節(jié)無關(guān),而與驅(qū)動的次數(shù)成正比,由此可以獲得受拓撲保護的非互易能量傳輸[72].另外,除了用來調(diào)控能量傳輸?shù)腜T對稱系統(tǒng),具有反PT對稱的本征耗散體系也具有十分有趣的性質(zhì),如此類系統(tǒng)可以在反PT對稱自發(fā)性破缺前后表現(xiàn)出完全不同的熱輸運行為[75].

圖7 (a),(b),(c)非線性分子結(jié)中的熱抽運,中間系統(tǒng)的躍遷速率和所接的溫度相關(guān),因而可以通過含時調(diào)制左右熱庫的溫度,實現(xiàn)熱流的定向輸運;(a)系統(tǒng)示意圖;(b)參數(shù)(左右兩端所接溫度)空間內(nèi)的Berry曲率;(c)在慢驅(qū)動極限下,平均熱流大小和驅(qū)動頻率成正比;因而每次回路驅(qū)動產(chǎn)生的輸運熱量大小相同,這種情況下熱流是純幾何量;[17] (d),(e)非厄密兩態(tài)光力系統(tǒng)等效哈密頓量在EP點附近的本征值;(f),(g)在t＜0時向系統(tǒng)饋入能量,在灰色區(qū)域?qū)ο到y(tǒng)進行絕熱含時驅(qū)動,其中(f)的驅(qū)動不繞過EP點,而(g)的驅(qū)動繞過EP點,是否繞過EP拓撲性地決定了兩模式之間的能量交換方向[72]Fig.7.(a),(b),(c) Heat pump effect in nonlinear quantum molecular junction.The state jumping rate of the junction is dependent on the temperature of two reservoirs,which can then be utilized to modulated temporally to achieve directional heat transfer.(a)The demonstrative diagram of the system;(b) berry curvature in the parameter (the temperature of reservoirs) space;(c) average heat transferring rate proportional to driving frequency,showing the pure geometric origin of pumped heat[17];(d),(e) the eigenvalues around EP of the two state system’s effective optomechanical non-Hermitian Hamiltonian;(f),(g) the transient behavior of system’s energy on the two of states.The adiabatic driving in (f) does not circle around EP while that in (g) does.Whether circling around EP determines the energy transfer direction topologically.[72].

4.2 聲子與熱的非互易

系統(tǒng)參數(shù)的時空調(diào)制,同樣可實現(xiàn)一類比較新穎的固體聲子非互易性.通過在聲子晶體中引入時空調(diào)制,可以調(diào)制系統(tǒng)能帶,實現(xiàn)非對稱的能帶結(jié)構(gòu),從而在一個頻率范圍內(nèi)得到非互易的傳輸通道,如圖8所示.

傳統(tǒng)的實現(xiàn)熱二極管一般是利用非線性勢和非對稱性,只在一小段溫度區(qū)間和器件尺度有效.而近期利用時空周期性調(diào)制實現(xiàn)的熱非互易則可以應(yīng)用在線性材料中.且可以依照器件的尺度對時空調(diào)制的周期進行對應(yīng)的調(diào)節(jié),從而可以遷移到多尺度的器件之中,如圖9所示.

圖8 (a)系統(tǒng)示意圖與驅(qū)動方式;(b)對彈簧勁度系數(shù)進行時空調(diào)制,實現(xiàn)的能帶非互易,驅(qū)動帶來附加的準能量和準動量使得能帶內(nèi)出現(xiàn)模式耦合,使能帶在滿足廣義Bragg條件的位置打開帶隙[76]Fig.8.(a) A schematic figure of the experimental system and the time modulation protocol;(b) the stiffness of springs is modulated spatiotemporally to achieve the non-reciprocal energy band.Periodical modulation brings mode coupling in the Bloch band,opening gaps in the position satisfying modified Bragg condition[76].

圖9 (a)靜態(tài)熱二極管的原理示意圖[1],關(guān)鍵在于,調(diào)控?zé)醾鲗?dǎo)相關(guān)主要模式聲子的能譜交疊;(b)含時驅(qū)動帶來的溫度分布非互易性,上下兩圖中驅(qū)動方向相反,而左右所接的溫度不變.其中Γ代表了時空調(diào)制移動速率,Γ=0即為無時間調(diào)制;非互易效果隨調(diào)制移動速度先變大再變小[19]Fig.9.(a) A schematic static thermal diode obtained by manipulation of the spectrum overlap between the two nonlinear parts[1];(b) non-reciprocal temperature distribution.The moving direction of the wave-like modulation is opposite between the upper and lower panels,while direction of temperature gradient is not altered.Gamma implies the velocity of modulation motion,which is zero when the modulation is independent of time.The degree of non-reciprocity first increases and then decreases when gamma monotonically grows[19].

類似的方法也可以在宏觀熱傳導(dǎo)中得到應(yīng)用.宏觀的聲子熱傳導(dǎo)現(xiàn)象由和擴散方程類似的熱傳導(dǎo)方程描述.其中,影響傳導(dǎo)方式的主要有熱導(dǎo)率和比熱容這兩個物理參量.通過同時在這兩個參數(shù)中引入行波式的時空調(diào)制,

式中,ρ和σ分別是熱容密度和熱導(dǎo)率;v0為驅(qū)動移動速度,可使原本均勻各向同性的介質(zhì)中涌現(xiàn)出非互易性熱輸運[19].這樣非互易性的實現(xiàn)需要對熱容密度和熱導(dǎo)率同時進行驅(qū)動.單一參數(shù)的驅(qū)動不能達到這樣的目的.另外,這樣的含時驅(qū)動甚至可以帶來熱抽運的效果,即系統(tǒng)兩端所接溫度一致時仍可由驅(qū)動得到不為零的熱流.換句話說,熱可由此從低溫抽運到高溫.

對微納尺度的聲子熱器件進行調(diào)制,其實驗上的實現(xiàn)手段是不容易的.由于對電子和光子的調(diào)控精度目前遠在對聲子直接調(diào)控精度之上,實驗上往往利用聲子和其他粒子的耦合來間接地調(diào)控聲子系統(tǒng).其中一個重要的例子就是光力學(xué)系統(tǒng).它通過控制照射的激光的強度和相位,相干性地控制力學(xué)器件,從而調(diào)控聲子的色散關(guān)系.聲子系統(tǒng)的非互易熱輸運已經(jīng)在光力系統(tǒng)的實驗中得到了實現(xiàn)[18,20].

5 總結(jié)與展望

針對固體聲子系統(tǒng)中彈性波和熱輸運的研究方興未艾.近年來人們關(guān)注該領(lǐng)域兩個主要內(nèi)容,其一是受保護的拓撲邊界態(tài),另一個是高魯棒性的非互易性.正如文中所討論的,這兩類性質(zhì)有時相互關(guān)聯(lián).例如可以通過多端口器件內(nèi)的非平凡拓撲來進行邊界上的單向非互易輸運,從而實現(xiàn)完美的波/熱二極管或隔離器[64].

與傳統(tǒng)的靜態(tài)方法不同,通過引入時空調(diào)制的手段打破時間反演對稱,也可以給系統(tǒng)帶來非平凡拓撲或非互易性.它大大增加了系統(tǒng)的可調(diào)維度和可引入的勢場種類,其適用性可以跨越大量不同尺度不同類型的聲子系統(tǒng).這也是這種方法在近些年受到大量研究的重要原因.含時驅(qū)動的幾何相效應(yīng)或Floquet效應(yīng),也可以用來實現(xiàn)完美的波/熱二極管或隔離器.Thouless抽運正是這方面的一個眾所周知的例子.

針對拓撲性質(zhì)的研究中,若將高階拓撲絕緣體[77]、拓撲相分類[47]及非線性拓撲絕緣體[78]等概念引入彈性波和聲子熱輸運體系中,這個方向一定會獲得更多新穎的結(jié)果.另外一個重要的問題是,如何進一步將拓撲概念引入開放耗散體系的能量輸運及其統(tǒng)計漲落研究中,使受拓撲保護的系統(tǒng)更好地工作而免受熱漲落、量子漲落和雜質(zhì)的影響.另外,如何進一步應(yīng)用拓撲性質(zhì)實現(xiàn)完美的非互易器件[64]也是一個值得繼續(xù)深入研究的問題.最后,考慮到近期人們對引入非厄密性拓撲系統(tǒng)的關(guān)注[79],探索非厄密拓撲聲子系統(tǒng)中新穎的波動和熱輸運性質(zhì)也是一個重要的研究方向.