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解析幾何在高中數(shù)學(xué)中有十分重要的地位，無論是在高考題還是競賽題中都有很大的比重，尤其是圓錐曲線題每年高考必考。其題型多，變化大，計(jì)算量大，區(qū)分度較高，導(dǎo)致很多學(xué)生在考試中失分較多。它充分考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。筆者最近做完2019年全國Ⅱ卷理科的21題，發(fā)現(xiàn)該題無論是計(jì)算量還是思維量對學(xué)生都有很高的要求，相較于前幾年的全國Ⅱ卷高考解析幾何題難度有了很大的提高，所以對其第(2)問的解法進(jìn)行了研究探析，以期開拓視野。

題目已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C。

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線。

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點(diǎn)G。(i)證明：△PQG是直角三角形；(ii)求△PQG面積的最大值。

解：(1)

(2)(i)方法1：設(shè)P(x1，y1)，G(x2，y2)， 則Q(-x1，-y1)，E(-x1，0)。設(shè)過PQ的直線方程為y=kx，則P(x1，kx1)，所 以，則過GE的直線方程為由消去y得故x2，-x1為方程的兩根，則所以y2=所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為所 以kPG=即kPQ·kPG=-1，所以PQ⊥PG，則△PQG為直角三角形。

圖1

評注：接近官方解答，通過設(shè)過原點(diǎn)的直線y=kx，將P，Q，G三點(diǎn)的坐標(biāo)用關(guān)于k和x1的式子表示出來，這里筆者沒有將x1也用k表示，因?yàn)闀?huì)加大計(jì)算量，而x1最終會(huì)約掉。然后將PQ，PG的斜率用關(guān)于k的式子表示，利用斜率之積為-1可得出結(jié)論。此法符合學(xué)生思維，但是在計(jì)算坐標(biāo)時(shí)容易出錯(cuò)。

方法2：設(shè)過Q(x1，y1)，G(x2，y2)的直線方程為y=kx+m，則P(-x1，-y1)。由直線與x軸的交點(diǎn)為E，所以，即聯(lián)立消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0，由韋達(dá)定理知，

評注：此法是筆者第一次看到此題后最先想到的方法，因?yàn)樵谄綍r(shí)的復(fù)習(xí)備考中會(huì)遇到“過圓錐曲線上一已知點(diǎn)做兩條互相垂直的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求這確定兩點(diǎn)的直線過定點(diǎn)”的問題。所以很自然地想到設(shè)過Q，G的直線與橢圓聯(lián)立，然后得出韋達(dá)定理。要證明垂直，可以利用向量找出關(guān)于x1，x2的表達(dá)式，進(jìn)而將韋達(dá)定理代入得到關(guān)于k和m的關(guān)系式但是通分后發(fā)現(xiàn)其分子無法合并為0。這樣又不得不再去想辦法尋找關(guān)于k和m的關(guān)系，最終由代回橢圓方程，找到關(guān)系式m2+8m2k2-4k=0，這恰好就是目標(biāo)式子的分子。此法計(jì)算量和思維量更大，考場上估計(jì)也有同學(xué)會(huì)使用這種方法，最終陷入了死胡同里而無法得分。所以，慣性思維有時(shí)會(huì)影響解題!

方法 3：設(shè)P(x1，y1)，G(x2，y2)，則Q(-x1，-y1)，E(-x1，0)，由P，G在橢圓上，則有兩式相減可得，化簡整理得，即又因?yàn)閗GQ=kEQ=，所以，即得kPQkPG=-1，所以PQ⊥PG，則△PQG為直角三角形。

評注：此法在考場上應(yīng)用為最佳，計(jì)算量和思維量都較前兩種方法小，但是同學(xué)們可能不一定能想到，因?yàn)橥瑢W(xué)們受慣性思維的影響，大多會(huì)去設(shè)直線與曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理等常規(guī)操作。較少會(huì)想到利用我們熟知的“點(diǎn)差法”，設(shè)而不求，整體運(yùn)算。同時(shí)三角形PQG有一條邊過原點(diǎn)，也滿足我們所熟知的“橢圓第三定義”，該定義在教材中以例題的形式呈現(xiàn)?？梢?，同學(xué)們在高三的備考復(fù)習(xí)中對教材的把握是很關(guān)鍵的，畢竟高考的命題源于教材而高于教材。

(ii)略。