尹 靜

(牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)，黑龍江 牡丹江 157000)

一、高等幾何與初等幾何的關(guān)系

高等幾何是高校數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一，它的課程主要內(nèi)容包括有仿射幾何、射影幾何等。近年來(lái),有越來(lái)越多的人開始關(guān)注高等幾何的知識(shí)是不是可以用來(lái)解決初等幾何的一些問(wèn)題，而且已經(jīng)取得了一些好的經(jīng)驗(yàn)。

高等幾何與初等幾何之間有著十分密切的聯(lián)系。在高等幾何背景下可以映射出很多初等幾何題。研究這些問(wèn)題可以幫助我們將高等幾何的理論在初等幾何中進(jìn)行合理而巧妙的應(yīng)用，從而使人們不僅在學(xué)習(xí)高等幾何的過(guò)程中學(xué)會(huì)用更高深的理論去認(rèn)識(shí)初等幾何，還能夠用更新、更好的方法來(lái)解決初等幾何的應(yīng)用問(wèn)題。

二、高等幾何知識(shí)對(duì)初等幾何學(xué)習(xí)的指導(dǎo)意義

個(gè)人認(rèn)為高等幾何知識(shí)對(duì)初等幾何學(xué)習(xí)的影響并不是要提供具體的公式和解題方法，而是要從其自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)出發(fā)，來(lái)類比分析初等幾何的問(wèn)題。相對(duì)于初等幾何而言，高等幾何有著許多的特有知識(shí)結(jié)構(gòu)，例如正交變換，仿射變換，射影變換等等。我們都知道幾何問(wèn)題的學(xué)習(xí)，僅僅知道初等幾何和解析幾何的那些基礎(chǔ)知識(shí)是不完善的，因?yàn)樗鼈儫o(wú)論是在知識(shí)結(jié)構(gòu)上、處理問(wèn)題的方法上還是在幾何問(wèn)題的本質(zhì)思想上都有一定的局限性。而高等幾何的學(xué)習(xí)恰好可以彌補(bǔ)這個(gè)空缺，它對(duì)于養(yǎng)成學(xué)生的幾何素養(yǎng)，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的能力都有著很重要的作用。對(duì)于學(xué)生想更深入地了解初等幾何和解析幾何之間的聯(lián)系也有著重要的意義。如此,在高等幾何的學(xué)習(xí)中,不僅要掌握課本中的內(nèi)容還要追溯一下大學(xué)課本中的知識(shí)與初高中已學(xué)過(guò)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到在學(xué)習(xí)現(xiàn)有的幾何知識(shí)之外還有著更為廣闊、更為神奇的幾何世界，以此來(lái)激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情，還能促使學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)于初等幾何理論與實(shí)際應(yīng)用等多方面的探究意識(shí)。

三、高等幾何在解決初等幾何問(wèn)題中的初步應(yīng)用

高等幾何知識(shí)在初等幾何問(wèn)題中的應(yīng)用較多，它為解決一些問(wèn)題帶來(lái)了很多方便。高等幾何的主要內(nèi)容包括仿射幾何、射影幾何。這里我們主要來(lái)研究一下仿射知識(shí)在解決初等幾何問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

仿射變換是高等幾何中比較常見的一種基本變換形式，這里我們要探討的仿射變換性質(zhì)在初等幾何中的應(yīng)用其目的在于可以使教師從高等幾何學(xué)的理論知識(shí)作用下引導(dǎo)學(xué)生處理初等幾何問(wèn)題,從而豐富解題的思路,提高解題能力，節(jié)省解題的時(shí)間。下面給出幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例。

1.可以證明共線的兩條線段相等或成定值比

證明 如圖1,作仿射變換T1,使得ABCD對(duì)應(yīng)正方形A′B′C′D′,

則由仿射性質(zhì)可知:

點(diǎn)E、F、G分別對(duì)應(yīng)E′、F′、G′。

在正方形A′B′C′D′中,取D′C′的中點(diǎn)P′,

過(guò)B′、D′、P′作E′F′的平行線,分別交A′C′于點(diǎn)H′、M′、N′.

圖1

2.可以證明有關(guān)兩直線平行

例2 在ΔABC的中線AD上任取一點(diǎn)P,連接BP、CP,并延長(zhǎng)BP交AC于E,延CP交AB于F,求證:EF∥BC.

圖2

證明 如圖2,作仿射變換T2,使得ΔABC對(duì)應(yīng)正ΔA′B′C′,

由仿射性質(zhì)可知:

點(diǎn)D、P、E、F相應(yīng)地對(duì)應(yīng)D′、P′、E′、F′,

且A′D′為ΔA′B′C′的中線。

在正ΔA′B′C′中,A′D′也是B′C′邊上的高,

且B′、P′、E′與C′、P′、F′關(guān)于AD對(duì)稱,

E′、F′到B′C′的距離相等,則E′F′∥B′C′.

由于平行性是仿射性質(zhì),因此,在ΔABC中,EF∥BC.

3.可以證明有關(guān)面積相等或成定值比

證明 如圖3，作仿射變換T3,使得ABCD對(duì)應(yīng)正方形A′B′C′D′,

由仿射性質(zhì)可知:E、F分別對(duì)應(yīng)E′、F′,且E′F′∥A′C′.

正方形A′B′C′D′中,易證ΔA′E′D′=ΔC′F′D′.

由于面積比是仿射不變量,

從以上的三個(gè)例子我們不難看出,高等幾何雖然是大學(xué)中數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的課程,但它卻是幾何問(wèn)題的理論基礎(chǔ),對(duì)于初等幾何的教學(xué)與應(yīng)用有著非常重要的理論引領(lǐng)作用，利用它往往可以非常容易地解決一些初等幾何的方法難于解決的問(wèn)題。例如初等幾何中求面積的問(wèn)題用它來(lái)解決就會(huì)很便捷，所以作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師與時(shí)俱進(jìn)地掌握一下這種思想和方法也是很有必要的。

仿射變換的主旨思想是通過(guò)類比的的方法，利用變換性質(zhì)把一般圖形變?yōu)樘厥鈭D形，然后就可以利用特殊性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題了。例如我們可以把平行四邊形仿射變?yōu)檎叫位蜷L(zhǎng)方形來(lái)解決問(wèn)題，我們可以把梯形仿射變?yōu)榈妊菪位蛑苯翘菪蝸?lái)處理。如果我們可以證明它在特殊的圖形中是成立的，那么根據(jù)仿射變換，這個(gè)問(wèn)題在相應(yīng)地一般圖形中就也是成立的。這與高中數(shù)學(xué)中邏輯推理中的類比推理思想是一致的。這樣一些初等幾何問(wèn)題就很容易解決了。在一些問(wèn)題中利用高等幾何知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題確實(shí)很簡(jiǎn)單，但是它的應(yīng)用也有自己的局限性，對(duì)于考點(diǎn)要求比較特殊。

如今新高考、新教改正如火如荼地進(jìn)行著，初高中知識(shí)與大學(xué)知識(shí)的聯(lián)系也越來(lái)越緊密，相信高等幾何知識(shí)在初等幾何問(wèn)題中的應(yīng)用也會(huì)越來(lái)越多，其發(fā)展趨勢(shì)也會(huì)越來(lái)越成熟。