付文龍， 譚佳文， 王 凱

(1.三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2.三峽大學(xué) 梯級水電站運行與控制湖北省重點實驗室，湖北 宜昌 443002)

軸承作為各種旋轉(zhuǎn)機械運行時的重要部件，其健康狀況將直接影響設(shè)備的正常運行。但由于運行工況的復(fù)雜性和其本身的結(jié)構(gòu)特點，軸承也是故障易發(fā)部位。因此，對軸承開展故障診斷研究具有重要的理論意義與實際價值，也受到相關(guān)研究人員的廣泛關(guān)注[1-2]。軸承故障診斷的本質(zhì)為一模式識別問題，即通過故障特征樣本實現(xiàn)故障模式的判別。然而，實際運行時的振動信號常具有較強的非線性與非平穩(wěn)性，制約了故障特征的有效提取。為此，學(xué)者們先后將小波變換(Wavelet Transform, WT)[3]、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)[4]、變分模態(tài)分解 (Variational Mode Decomposition，VMD)等時頻分析方法用于處理此類時變非平穩(wěn)信號，并取得了較好的應(yīng)用效果。其中，VMD[5]作為一種新的自適應(yīng)準正交信號處理方法，通過遞歸地求解變分問題將時變非平穩(wěn)信號分解為一系列有限帶寬的模態(tài)分量，實現(xiàn)了各信號分量頻率的分離，避免了WT的泛化性不足和EMD的模態(tài)混疊等問題[6]。散布熵是Rostaghi等[7]2016年提出的一種衡量時間序列不規(guī)則性的新指標，具備較好的非線性故障特征表征能力，且具有計算速度快和兼顧幅值間關(guān)系等優(yōu)點[8]。基于上述分析，本文融合兩者的優(yōu)勢，在VMD信號分解的基礎(chǔ)上，引入散布熵指標以表征故障特征。此外，設(shè)備實際運行中，往往存在大量故障類型未知的未標記樣本，如能有效應(yīng)用，其中蘊含的有效信息將有助于診斷決策。為此，本文采用半監(jiān)督模糊C均值(Fuzzy C Means，F(xiàn)CM)聚類[9]實現(xiàn)對部分標記的故障樣本的知識挖掘。

支持向量數(shù)據(jù)描述(Support Vector Data Description，SVDD)是Tax等[10]基于支持向量機理論，提出的一種單分類模式識別方法。其通過在樣本特征空間構(gòu)建超球數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)對測試樣本的分類，具有較強的泛化能力。Zhu等[11]將SVDD推廣到多分類分析，并以待識別樣本到各超球的絕對距離作為決策依據(jù)。袁勝發(fā)等[12]提出基于相對距離決策的SVDD并用于轉(zhuǎn)軸碰摩位置的識別，取得了一定的效果。為提升SVDD模型識別精度，研究引入k近鄰準則[13]，提出一種改進決策的SVDD模型，并將其用于半監(jiān)督FCM所得聚類簇進行建模。進一步，采用灰狼算法優(yōu)化SVDD模型參數(shù)，提出基于自適應(yīng)變異的參數(shù)尋優(yōu)策略。最后將基于最優(yōu)參數(shù)訓(xùn)練的改進決策SVDD模型用于測試樣本的故障模式識別。通過試驗分析和對比結(jié)果表明所提方法具有較好的診斷性能。

1 變分模態(tài)分解(VMD)

對于給定振動信號φ，VMD通過求解約束變分問題將給定信號分解為一組模態(tài)分量，每個分量具有一定的中心頻率和有限帶寬。

(1)

式中：K為分量個數(shù)；mk為所得第k個分量；wk為對應(yīng)的中心頻率。

通過引入Lagrange乘子和懲罰項，進行交替方向乘子分析，可實現(xiàn)對mk，wk與β的交替迭代尋優(yōu)(詳細參見Dragomiretskiy等的研究)，迭代公式為

(2)

(3)

(4)

對于給定求解精度ε，滿足式(5)時停止迭代。

(5)

2 散布熵理論(DE)

對于一個長度為N的時間序列x=[x1,x2, …,xN]，散布熵首先將x歸一化，這里使用標準正態(tài)累積分布函數(shù)

(6)

式中：i=1, 2, …,N；σ與μ分別為正態(tài)分布的方差和期望。于是時間序列x被歸一化為y=[y1,y2, …,yN]，yi∈(0, 1)。進一步將y映射到c個類別(1～c)

(7)

對zc進行相空間重構(gòu)，嵌入向量可表示為

(8)

計算πv0v1…vm-1的相對頻數(shù)p(πv0v1…vm-1)

(9)

根據(jù)信息熵理論定義散布熵為

(10)

DE值越大，時間序列的不規(guī)則性越高；相反，DE值越小，不規(guī)則性越低。

3 半監(jiān)督FCM聚類(SSFCM)

聚類分析時，通常有部分數(shù)據(jù)的標簽是已知的，可為聚類過程以及后續(xù)相關(guān)分析提供較好的指導(dǎo)。其中，Pedrycz提出的半監(jiān)督模糊C均值聚類是基于模糊C均值的一種半監(jiān)督聚類方法。假定待聚類的樣本為S=[s1,s2,…,sn]，聚類數(shù)為c(2≤c≤n)，則半監(jiān)督FCM聚類(Semi-Supervised Fuzzy C Means，SSFCM)的目標函數(shù)為

(11)

式中：Uc×n=[uij]，uij為第j個樣本屬于第i個聚類的模糊隸屬度；V=[v1,v2,…,vn]T為聚類中心矩陣；Fc×n=[fij]，fij為標簽已知樣本的隸屬度；bj為區(qū)別標簽已知樣本和標簽未知樣本的二值標志；dij=‖sj-vi‖為第j個樣本與第i個聚類中心的歐幾里得距離；w(w≥1)為權(quán)重參數(shù)；γ(γ≥0)為平衡因子，起到平衡公式中監(jiān)督與非監(jiān)督機制的作用。

通過引入Lagrange乘子，半監(jiān)督FCM聚類對應(yīng)的優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為如下的約束最小問題

(12)

式中：λj為Lagrange乘子，i=1, 2, …,c，j=1, 2, …,n。模糊隸屬度uij和聚類中心vi可通過下式迭代得到

(13)

(14)

4 改進灰狼優(yōu)化的SVDD

4.1 支持向量數(shù)據(jù)描述(SVDD)

SVDD是Tax等提出的單分類模式識別方法，其通過推求包含給定數(shù)據(jù)集的超球，并使其具有最小半徑，實現(xiàn)數(shù)據(jù)集的最優(yōu)描述，對應(yīng)優(yōu)化問題為

s.t.‖xi-a‖2≤R2+ξi,ξi≥0,i=1,2,…,n

(15)

式中：{xi,i=1,2,…,n}為給定數(shù)據(jù)集；a為超球的球心；R為半徑；ξi為松弛變量；C為懲罰因子。

引入Lagrange函數(shù)，可得其對偶問題為

(16)

式中：αi為Lagrange乘子。

對于非線性問題，采用核變換，式(16)可轉(zhuǎn)化為

(17)

(18)

式中：xp為支持向量。任意樣本g距超球球心的計算公式為

(19)

4.2 改進決策規(guī)則(ISVDD)

在模式識別中，SVDD通常與相對距離方法結(jié)合，用以判斷待識別樣本的類型，在進行單類別的模式識別時，該決策方式具有一定的精度。然而，在處理多分類問題時，待識別樣本可能位于多個超球的重疊區(qū)域或所有超球之外，如圖1所示，此時基于相對距離的決策方式將難以準確識別樣本類型。為此本文提出基于支持向量數(shù)據(jù)描述與k近鄰(k-Nearest Neighbor，KNN)方法的改進決策規(guī)則(ISVDD)。

KNN方法由于其易于理解與使用的特點，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于模式識別領(lǐng)域。KNN的基本思想是度量樣本與其相鄰樣本的差異，通常使用歐幾里得或曼哈頓距離進行計算。若p，q均為h維樣本，KNN可以表示為

歐幾里得距離

(20)

曼哈頓距離

(21)

式中：pi，pi分別為p與q的第i維。

利用半監(jiān)督聚類標記的訓(xùn)練樣本可以建立不同故障類型的SVDD模型，并得到超球面半徑Rs與支持向量SVs，進而判斷待識別樣本的類型。ISVDD的具體步驟如下：

步驟1根據(jù)式(17)、式(18)對不同類型的故障建立SVDD模型；

步驟2根據(jù)式(19)計算待識別樣本與超球球心的距離D；

步驟3比較D與各超球半徑R的大小，若待識別樣本僅在一個超球內(nèi)，轉(zhuǎn)步驟6，否則進行下一步；

步驟4設(shè)置KNN參數(shù)k，在SVs中找出待識別樣本的k個近鄰樣本；

步驟5根據(jù)大多數(shù)近鄰樣本的類型判定待識別樣本的故障類型；

步驟6識別結(jié)束。

ISVDD具體步驟的流程圖如圖2。

圖1 樣本與超球位置關(guān)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of positional relationship between samples and hyperspheres

圖2 ISVDD流程圖Fig.2 The flowchart of ISVDD

4.3 自適應(yīng)變異灰狼參數(shù)優(yōu)化(AMGWO)

為提升SVDD故障識別精度，研究采用自適應(yīng)變異灰狼算法進行參數(shù)優(yōu)化。在原始灰狼算法(Grey Wolf Optimizer,GWO)中(詳細參見文獻[14])，由于其本身的參數(shù)控制及更新規(guī)則均為線性變化，所以在迭代后期易陷入局部最優(yōu)，進而影響優(yōu)化效果。本文針對上述問題提出一種自適應(yīng)變異策略，通過引入自適應(yīng)規(guī)則和變異算子提高灰狼算法的收斂精度。

分析原始灰狼算法可知，隨著迭代次數(shù)變化，其收斂因子a由2線性遞減至0，這種等步長的參數(shù)變化將會限制收斂效果。本文引入如下非線性二次凸函數(shù)來指導(dǎo)a的遞減過程[15]

(22)

式中：l與lmax分別為當前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)。

將99.8%的冰醋酸與80%～85%的回收醋酸充分混合成95%左右的原料酸；原料酸經(jīng)預(yù)熱進入管式反應(yīng)器，在磷酸氫二銨的催化作用下，在700～750℃條件下進行裂解脫水，醋酸裂解生成一分子的水和一分子的乙烯酮，高溫的裂解氣經(jīng)換熱器迅速降溫后分離掉反應(yīng)生成的水和未裂解的乙酸，整個裂解脫水反應(yīng)均在真空條件下完成；被分離后的氣體經(jīng)真空泵送入吸收塔，吸收塔采用雙乙烯酮作為循環(huán)液來吸收氣體，吸收飽和的液體進入聚合槽聚合生成雙乙烯酮；雙乙烯酮采出后經(jīng)薄膜蒸發(fā)提純得到雙乙烯酮成品。其生產(chǎn)過程中涉及的主要化學(xué)反應(yīng)有：

由式(22)可知，收斂因子a能夠隨著迭代次數(shù)進行自適應(yīng)的非線性變化，有效調(diào)節(jié)灰狼算法的全局和局部搜索能力。此外，在灰狼算法的更新策略中，下一代種群的位置由α，β和δ狼位置的平均值決定，但簡單的平均并不能反映三匹狼重要性的差異，為此，本文提出如下自適應(yīng)權(quán)重更新策略

(23)

式中：w與fitness分別為α，β和δ狼的權(quán)重和適應(yīng)度值；X為三匹狼當前的位置。下一代種群的位置由三匹狼的適應(yīng)度值加權(quán)決定。

此外，在灰狼算法迭代后期，種群的多樣性逐漸匱乏。為此，研究引入變異算子來豐富種群多樣性[16]，使算法不易陷入局部最優(yōu)。含有變異算子的α狼更新公式為

(24)

式中：n=1, 2, …，G與T(T

5 基于AMGWO與改進決策SVDD的半監(jiān)督故障診斷方法

本文提出的基于AMGWO與改進決策SVDD的軸承半監(jiān)督故障診斷方法主要步驟如下：

步驟1采用中心頻率觀察法確定VMD分解模態(tài)參數(shù)K；

步驟2利用VMD將原始樣本分解為一系列本征模態(tài)函數(shù)IMFs；

步驟4對訓(xùn)練樣本進行半監(jiān)督FCM聚類，得到一系列聚類簇；

步驟5對各聚類簇進行改進決策SVDD建模，并基于所提AMGWO方法對參數(shù)C，σ進行尋優(yōu)；

步驟6利用最優(yōu)參數(shù)訓(xùn)練得到最優(yōu)ISVDD模型；

步驟7將訓(xùn)練好的最優(yōu)ISVDD模型用于測試樣本的故障模式識別。

本文提出的故障診斷方法流程如圖3所示。

圖3 SSFCM-AMGWO-ISVDD故障診斷流程圖Fig.3 The flowchart of SSFCM-AMGWO-ISVDD fault diagnosis method

6 試驗分析

本文使用凱斯西儲大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心的振動信號作為試驗數(shù)據(jù)[17]，以驅(qū)動端收集的振動信號作為研究對象，采樣頻率為12 000 Hz，在2 hp的額定負載下轉(zhuǎn)速為1 750 r/min。為充分驗證所提方法的有效性，本文選用9種類型的故障樣本，包含故障尺寸分別為0.017 78 cm，0.035 56 cm，0.053 34 cm的內(nèi)圈故障、滾動體故障和外圈故障，即每種故障有3種故障尺寸。每種故障類型的振動信號包含59個樣本，每個樣本含有2 048個采樣點。試驗數(shù)據(jù)相關(guān)描述如表1所示。

表1 試驗數(shù)據(jù)描述Tab.1 Description of the experimental data

為驗證所提SSFCM-AMGWO-ISVDD方法的優(yōu)越性，試驗在各階段采用對比的方式進行，具體如下：在聚類階段采用非監(jiān)督的FCM聚類進行對比，在參數(shù)優(yōu)化階段采用粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization,PSO)、GWO進行對比，而在決策階段采用基于相對距離決策方式的SVDD進行比較。對比試驗的參數(shù)均以與本文所提方法相同的方式進行設(shè)置。

試驗首先將每種故障類型的樣本分解為一系列IMFs，VMD分解的模態(tài)數(shù)K需要預(yù)先使用中心頻率觀察方法確定。如果K值過大，則相鄰IMF的中心頻率過近，會出現(xiàn)模態(tài)混疊；相反，當K過小，難以實現(xiàn)信號的有效分解。選取不同K時的各IMF中心頻率見表2和圖4。其中，當K為5時前兩個中心頻率已相對接近，即可認為發(fā)生了過分解[18-19]，因此模態(tài)數(shù)最終設(shè)定為4。

得到所有樣本的IMFs后，計算其DE值以提取故障特征并構(gòu)造故障特征向量。試驗中嵌入維數(shù)m、時延τ與映射類別數(shù)c分別取3、1和6。表3列出了不同故障樣本(L1～L9)的前兩個DE向量。

表2 不同K值下的歸一化中心頻率Tab.2 Center frequencies with different K value

圖4 不同K值下中心頻率在迭代過程中的變化Fig.4 The variation of central frequency with iteration on different K values

從不同故障類型的特征向量中隨機選取30個組成訓(xùn)練集，其余29個組成測試集。在訓(xùn)練集中，再次隨機選取50%的樣本作為已標記樣本指導(dǎo)SSFCM的聚類過程。SSFCM的加權(quán)參數(shù)w設(shè)定為2，而平衡系數(shù)α根據(jù)已標記樣本的比率設(shè)定為1/0.5。圖5為聚類后訓(xùn)練樣本的二維投影，投影數(shù)據(jù)由樣本經(jīng)過主元分析得到。如圖5所示，訓(xùn)練樣本在已標記樣本的監(jiān)督下聚集為9個簇，并分布在每個簇的中心附近。等高線表示具有相同的聚類值。

表3 不同故障樣本的散布熵值Tab.3 Dispersion entropy values of different fault samples

圖5 訓(xùn)練樣本聚類后的二維投影圖Fig.5 2D projection of the training samples

在AMGWO優(yōu)化SVDD的懲罰因子C和核參數(shù)σ階段，個體數(shù)與迭代次數(shù)分別取30和100?？紤]到SVDD理論中優(yōu)化問題的約束條件，C與σ的搜索范圍分別取[1/n, 1]和[2-10, 210]，其中n為目標對象的數(shù)量。KNN系數(shù)k取3。試驗根據(jù)5折交叉驗證的平均準確率確定最優(yōu)C，σ組合。AMGWO優(yōu)化算法的收斂過程如圖6所示，隨著迭代次數(shù)的增加，個體平均適應(yīng)度值趨于穩(wěn)定并繼續(xù)增加，即個體已接近全局最優(yōu)解，陰影部分顯示了10次獨立試驗中收斂曲線的分布情況。不同優(yōu)化算法的對比如圖7所示，圖中收斂曲線由10次試驗的平均值得到，由圖可知，PSO的收斂曲線波動幅度較大，平均適應(yīng)度值在迭代50次后便難以繼續(xù)提高；GWO的收斂效果較好并明顯優(yōu)于PSO；AMGWO在起始階段便最先收斂到了較高的水平，在迭代后期則體現(xiàn)出了更好的增長趨勢。

圖6 AMGWO優(yōu)化算法的收斂過程曲線Fig.6 Convergence procedure of AMGWO optimization algorithm

圖7 不同優(yōu)化算法的收斂曲線對比Fig.7 Comparison of convergence procedure for different methods

試驗最后利用最佳C，σ組合和已標記的訓(xùn)練集訓(xùn)練ISVDD模型，隨后應(yīng)用于測試樣本的識別。診斷結(jié)果取10次試驗的平均值，并列出了每個結(jié)果的偏差范圍作為結(jié)果評估的參考。本文采用4種指標來評估診斷結(jié)果，即調(diào)整蘭德指數(shù)(ARI)、歸一化互信息(NMI)、F值(F)與準確率(ACC)，ARI評價范圍為[-1, 1],其余均為[0, 1]，指標越接近1表示分類性能越優(yōu)異。表4和圖8顯示了不同方法的故障診斷結(jié)果。從表4可知，本文所提SSFCM-AMGWO-ISVDD方法在所有指標中均達到了最高值，即ARI-0.895 0，NMI-0.910 4，F(xiàn)-0.950 5和ACC-0.950 2。具體而言：與FCM-AMGWO-ISVDD的比較表明半監(jiān)督的SSFCM比非監(jiān)督的FCM具有更好的聚類效果，達到了充分挖掘未標記樣本所蘊含信息的目的；與SSFCM-PSO-ISVDD，SSFCM-GWO-ISVDD的比較表明所提改進灰狼優(yōu)化算法的有效提升了模式識別算法的性能；而與SSFCM-AMGWO-SVDD的比較驗證了改進決策SVDD的優(yōu)越性。診斷結(jié)果的盒圖如圖9所示，由圖可知，與其他診斷方法相比，所提SSFCM-AMGWO-ISVDD方法的評估值更高并具有更好的穩(wěn)定性。

表4 不同方法的故障診斷結(jié)果Tab.4 Fault diagnosis results with different methods

圖8 不同方法評價指標值的對比Fig.8 Comparison of evaluation values for different methods

注：x軸刻度分別為1-FCM-AMGWO-ISVDD；2-SSFCM-PSO-ISVDD；3-SSFCM-GWO-ISVDD；4-SSFCM-AMGWO-SVDD；5-SSFCM-AMGWO-ISVDD圖9 不同方法評價指標值的盒圖Fig.9 Boxplots of evaluation values for different methods

7 結(jié) 論

為實現(xiàn)滾動軸承各類故障的準確診斷，提升其運行穩(wěn)定性，本文提出一種基于VMD散布熵與改進灰狼優(yōu)化SVDD的軸承半監(jiān)督故障診斷方法，并以試驗驗證了所提方法的有效性和優(yōu)越性，得到的結(jié)論如下：

(1)通過中心頻率觀察法確定VMD模態(tài)參數(shù)K能夠?qū)崿F(xiàn)原始信號的最優(yōu)分解，減弱信號的非平穩(wěn)性帶來的干擾。

(2)散布熵能夠從分解得到的各模態(tài)中有效提取故障特征，從而構(gòu)造不同故障類型的特征向量。

(3)半監(jiān)督FCM利用部分標記的樣本作為監(jiān)督，指導(dǎo)樣本的聚類過程，充分挖掘了樣本蘊含的信息。

(4)提出的自適應(yīng)變異灰狼優(yōu)化算法促進了最優(yōu)參數(shù)的選擇，并具有一定的收斂性；而改進決策SVDD則對不確定區(qū)域樣本達到了較好的識別效果。

(5)對比試驗表明，所提方法具有更優(yōu)異的診斷性能，可為滾動軸承的故障診斷提供一定依據(jù)。