王 軍， 申永軍， 楊紹普， 溫少芳， 王美琪

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043； 2.石家莊鐵道大學 交通運輸學院，石家莊 050043)

近年來非線性科學研究發(fā)展迅速，其中的非光滑動力系統(tǒng)作為非線性動力系統(tǒng)的一部分，更是研究熱點之一。非光滑運動廣泛存在于諸多振動系統(tǒng)中，如車輛懸掛系統(tǒng)、緩沖器、振動篩、振動輸送機等由于間隙的存在，均存在非光滑動力學行為，會對系統(tǒng)的動態(tài)特性產(chǎn)生不良的影響，甚至給車輛或機器帶來嚴重的安全隱患。已有許多國內(nèi)外學者投入到了非光滑動力學研究中，其中分段光滑系統(tǒng)的研究也取得了一些進展。衛(wèi)曉娟等[1]分析了單自由度分段光滑系統(tǒng)由n-1周期運動經(jīng)周期倍化分岔通向混沌的行為，接著對系統(tǒng)混沌運動的控制做出了研究。張正娣等[2]研究了非光滑Duffing振子隨慢變參數(shù)變化的不同平衡點和相應(yīng)的分岔行為，揭示了該類非光滑系統(tǒng)中不同簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機理。張思進等[3]針對齒輪系統(tǒng)的分段線性模型，運用Melnikov理論研究了齒輪系統(tǒng)異宿軌道的全局分岔條件以及系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性。Li等[4]得到了分段光滑系統(tǒng)的次諧軌道的Melnikov函數(shù)。Huang等[5]得到了具有負剛度的受控分段光滑系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和穩(wěn)定性條件，并研究了該系統(tǒng)出現(xiàn)的對稱破裂分岔和混沌運動。已有研究表明，選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)可以對原有動力學系統(tǒng)的性能進行提升，比如可以避免振幅的跳躍、改變系統(tǒng)的分岔行為以提高系統(tǒng)工作的穩(wěn)定性[6-9]。

對于黏彈性材料如車輛懸掛系統(tǒng)中的元器件磁流變阻尼器、油壓減震器等，若單純地考慮其彈性特性或阻尼特性而建立的模型并不能完全反映材料本質(zhì)。和整數(shù)階相比，分數(shù)階模型能夠更好地描述材料的黏彈性，更能準確地描述一些物理變化過程和非線性特性。其實，整數(shù)階微積分僅是分數(shù)階的一個特例，是一種理想化的形式。因此，以分數(shù)階微積分模型來優(yōu)化傳統(tǒng)的整數(shù)階模型會更加準確，更能反映系統(tǒng)的本構(gòu)關(guān)系。相關(guān)研究也表明采用分數(shù)階微積分建立的模型更準確，更能描述實際系統(tǒng)的動態(tài)特性。如孫會來等[10]引入分數(shù)階導(dǎo)數(shù)建立了油氣懸架的模型，并通過數(shù)值及實驗驗證了分數(shù)階模型比整數(shù)階模型能更精確地描述油氣懸架的特性。Lewandowski等[11]采用分數(shù)階模型對黏彈性阻尼器進行了描述，通過理論分析了該類阻尼器的設(shè)計敏感性，并舉例進行了驗證。李占龍等[12]提出了基于FKV本構(gòu)的黏彈性懸架分數(shù)階減振模型，并用數(shù)值方法得到了這種黏彈性懸架響應(yīng)具有全局相關(guān)性和記憶性。吳杰等[13]以橡膠隔振器為研究對象，給出了隔振器的分數(shù)階動力學模型，并與傳統(tǒng)模型進行了對比分析，結(jié)果表明含有分數(shù)導(dǎo)數(shù)的模型能夠較好地預(yù)測橡膠隔振器的動態(tài)特性。

在振動力學方面，正是由于分數(shù)階模型表現(xiàn)出來的這些良好的特性，使得更多的學者致力于分數(shù)階模型的振動特性研究。Shen等[14-16]采用平均方法研究了不同分數(shù)階微分振子的動力學行為，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分項不僅起線性阻尼的作用，還可以等效為線性剛度。Xu等[17]結(jié)合L-P方法和多尺度方法提出一種新的方法求解分數(shù)階Duffing振子的二階近似解，并采用蒙特卡洛方法分析了該系統(tǒng)的動力學特性。Chen等[18]采用隨機平均法對一個分數(shù)階微分振子的統(tǒng)計響應(yīng)做出了研究，得到了一些統(tǒng)計指標如條件可靠性函數(shù)和條件概率密度函數(shù)等。Xiao等[19]采用諧波平衡法建立了分數(shù)階Vander Pol 振子周期解的近似表達式。對于求解一次近似解的多種分析方法來說，平均法是一種處理分段系統(tǒng)更為成熟、更為直觀的方法，故本文采用該方法對分數(shù)階和分段光滑系統(tǒng)進行研究。

但是目前對于分段光滑分數(shù)階系統(tǒng)的研究還比較少，而且多采用數(shù)值方法進行研究，在現(xiàn)有的文獻中，Wu等[20]采用數(shù)值方法研究了一個分數(shù)階分段線性系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)了不動點、周期運動和混沌運動等豐富的動力學行為，提出了基于分數(shù)階滑模控制的混沌同步控制策略。Lu[21]對含分數(shù)階的分段線性蔡氏電路的混沌行為進行了分析，發(fā)現(xiàn)奇次分數(shù)階蔡氏電路發(fā)生混沌的最小階次是2.7，非齊次分數(shù)階蔡氏電路發(fā)生混沌現(xiàn)象的最小階次為2.8。

通過以上文獻可以看出，現(xiàn)有研究多偏重于單獨的分段光滑系統(tǒng)或單獨含分數(shù)階微分項系統(tǒng)的動力學理論研究，關(guān)于分數(shù)階和分段光滑耦合作用下系統(tǒng)動力學特性的研究還很少。在含有分數(shù)階的分段光滑系統(tǒng)中，由于分數(shù)階和分段光滑系統(tǒng)非線性的雙重影響，其動力學行為的理論分析變得更加復(fù)雜，對于系統(tǒng)的周期解及其穩(wěn)定性和系統(tǒng)參數(shù)對動力學性能的影響等很多問題還需要深入的研究。

本文以含間隙的分數(shù)階分段光滑碰撞振子為研究對象，將其簡化為一對稱的分段光滑模型，采用平均法獲得系統(tǒng)的周期解，并對其幅頻曲線的穩(wěn)定性和跳躍現(xiàn)象進行研究，其次分析分段參數(shù)和分數(shù)階參數(shù)對系統(tǒng)振動性能及穩(wěn)定性的影響，最后對分岔方程進行奇異性分析，得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集和分岔圖。

1 系統(tǒng)動力學模型及近似解

圖1為含對稱間隙的分數(shù)階彈性碰撞振子，當振幅小于間隙δ時，只有主彈簧-阻尼系統(tǒng)起作用，系統(tǒng)作線性振動；當振幅大于間隙δ時，振子和副彈簧-阻尼系統(tǒng)反復(fù)接觸后又分離，系統(tǒng)呈現(xiàn)非線性振動，系統(tǒng)的動力學方程可寫為

式中:m為振子質(zhì)量;k1f1(x)，c1f2(x)分別為分段光滑的彈簧力和阻尼力；KDp[x(t)]為分數(shù)階微分項;F為激振力，其中，

(2)

(3)

引入?yún)?shù)

原式(1)可變?yōu)?/p>

(5)

式(4)可變?yōu)?/p>

2μ1f2(x)-K1Dp[x(t)]]

(6)

設(shè)式(6)的解為

(7)

式中:φ=ωt+θ，則根據(jù)平均法可以得到

(8)

式中:δ=acosφ0。

(9)

圖1 單自由度分數(shù)階分段光滑系統(tǒng)Fig.1 A single-degree-of-freedom piecewise smooth system with fractional-order derivative

式(8)第一部分P1的積分代表系統(tǒng)光滑的部分，第二部分P2的積分代表了系統(tǒng)非光滑的部分，第三部分P3的積分是分數(shù)階項的積分，這里采用分數(shù)階的Caputo定義對分數(shù)階微分項進行計算，形式為

(10)

這里Γ(z) 是Gamma函數(shù)滿足Γ(z+1)=zΓ(z)。可求得

(11)

其中，

(12)

式(12)代入原參數(shù)整理得到

(13)

(14a)

(14b)

C(a)，K(a)分別為系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼，由式(14)可知，等效剛度和阻尼均是由三部分組成。第一部分k1和c1分別為系統(tǒng)的主剛度和阻尼；第二部分k2H(a)和c2H(a)項分別為分段剛度和分段阻尼對系統(tǒng)的等效值，當a≤δ時，這部分為零，當a>δ時，這部分值的大小取決于分段剛度k2和分段阻尼c2，同時由于H(a)是振幅a的函數(shù)，且含參數(shù)δ，因此它的大小也受分段間隙δ和系統(tǒng)振幅a的影響；第三部分為分數(shù)階部分，顯然，分數(shù)階部分的大小取決于分數(shù)階系數(shù)K1和階次p。

2 數(shù)值仿真

選取系統(tǒng)參數(shù)m=10，c1=1，c2=2，F(xiàn)=3，k1=10，k2=15，δ=0.5，K1=0.1，p=0.5，根據(jù)式(13)畫出幅頻曲線，圖2中用實線表示。

圖2 近似解和數(shù)值解對比圖Fig.2 Comparison of the solutions by analytical and numerical methods

為了驗證近似解的正確性，這里采用了文獻[22-23]里介紹的冪級數(shù)法進行數(shù)值研究，該數(shù)值方法的近似公式采用

(15)

(16)

3 穩(wěn)態(tài)解及穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性分析

對于分段光滑的非線性系統(tǒng)，本文重點研究的是振子受迫振動的穩(wěn)態(tài)周期響應(yīng)，因此令

消除變量θ，求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)周期解的幅頻響應(yīng)方程為

(17)

當a≤δ時系統(tǒng)為線性頻響特性，因此只考慮a>δ的情況。

(18)

(19)

由式(19)得到特征方程為

(20)

通過R，Q可以判斷周期解的穩(wěn)定性，由于阻尼均為正，R?0，所以，特征值不可能出現(xiàn)一對純虛根，不會發(fā)生霍普夫分岔，我們只討論R>0的情況，為了方便觀察，畫出Q=0的曲線，用虛線表示。

(1)Q?于0，幅頻曲線和Q=0的曲線沒有交點。即幅頻曲線上的所有點均滿足Q>0，如圖3所示，此時沒有出現(xiàn)多解現(xiàn)象，周期解是穩(wěn)定的。

(2) 隨著非線性的逐漸加強，幅頻曲線和Q=0曲線出現(xiàn)了交點，當只有一個交點時，處于跳躍的臨界狀態(tài)，當非線性繼續(xù)加強，出現(xiàn)兩個交點時，如圖4所示，幅頻曲線和曲線Q=0在A，B處相交，周期解的穩(wěn)定性在交點處發(fā)生了變化，出現(xiàn)了鞍結(jié)分岔現(xiàn)象(交點A，B在幅頻曲線處有垂直切線)，A，B點即為穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)的分界點。在Q=0曲線以外，幅頻曲線上的點均滿足Q>0，為穩(wěn)定的周期解，而在Q=0曲線以內(nèi)，幅頻曲線上的點使得Q<0，因此為不穩(wěn)定的周期解。

注：m=10；c1=1；c2=0.5；F=3；k1=10；k2=5； δ=0.7；K1=0.1；p=0.5圖3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的幅頻曲線和不穩(wěn)定區(qū)域(無交點)修改Fig.3 The amplitude-frequency curve and its stability region for the steady-state solution (no intersection)

注：m=10;c1=1;c2=0.5;F=3;k1=10；k2=7； δ=0.7；K1=0.1；p=0.5圖4 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的幅頻曲線和不穩(wěn)定區(qū)域(有交點)Fig.3 The amplitude-frequency curve and its stability region for the steady-state solution (have intersections)

跳躍現(xiàn)象的產(chǎn)生正是由于存在著這種不穩(wěn)定區(qū)域。出現(xiàn)跳躍時系統(tǒng)參數(shù)需滿足幅頻曲線相對于縱軸的斜率存在為零的點，即

(21)

對于分段光滑系統(tǒng)，在分段點δ處也可能出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，當幅頻曲線對a的偏導(dǎo)在分段點δ處等于零時，B點和δ點重合，如圖5所示，即在δ處發(fā)生了鞍結(jié)分岔，系統(tǒng)參數(shù)需要滿足以下的關(guān)系

P=2{ω2C2(δ)+[mω2-K(δ)]2}+

δHΔa(δ){ω2c2+2k2[mω2-K(δ)]}=0

(22)

注：m=10；c1=1；c2=0.5；F=3；k1=10；k2=30； δ=0.7；K1=0.1;p=0.5圖5 分段點發(fā)生鞍結(jié)分岔Fig.5 Saddle node bifurcation at the segmentation point

而當曲線Q=0和幅頻曲線相交于分段δ處，且P不等于零時，這時只有A點為鞍結(jié)分岔點，B點則為非光滑系統(tǒng)特有的擦邊分岔[24]，由于系統(tǒng)的幅頻曲線是由a<δ的線性部分和a≥δ部分的非線性曲線拼接而成的，因此在分段點處形成了尖角。如圖6所示。

注：m=10;c1=1;c2=0.5;F=3;k1=10;k2=30; δ=0.7;K1=0.1;p=0.5圖6 分段點發(fā)生擦邊分岔Fig.6 Grazing bifurcation at the segmentation point

4 參數(shù)分析

通過Q，R可以判別周期解的穩(wěn)定性，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線在不穩(wěn)定區(qū)域會發(fā)生跳躍，這種跳躍現(xiàn)象的產(chǎn)生正是由于存在不穩(wěn)定區(qū)域，因此，設(shè)計系統(tǒng)時，應(yīng)當避免這種不穩(wěn)定區(qū)域的出現(xiàn)，或者減小不穩(wěn)定區(qū)域。以下討論系統(tǒng)參數(shù)對不穩(wěn)定區(qū)域和系統(tǒng)動力學特性的影響。由于系統(tǒng)參數(shù)較多，假設(shè)其它參數(shù)不變，首先分析分段剛度及分段阻尼對系統(tǒng)穩(wěn)定性和動力學的影響。

圖7為分段剛度變化時系統(tǒng)的幅頻曲線和穩(wěn)定性曲線Q。當k2=5時，曲線Q和幅頻曲線沒有交點，幅頻曲線沒有出現(xiàn)多解現(xiàn)象，此時幅頻曲線是漸進穩(wěn)定的，k2=7時，判定條件Q曲線的范圍加大，即不穩(wěn)定區(qū)域增大，被Q曲線圍起來的部分即為周期解的不穩(wěn)定區(qū)間，其余處于Q曲線外部的部分是漸進穩(wěn)定的，交點為穩(wěn)定點，而非漸進穩(wěn)定點，當k2進一步加大到9時，Q曲線的范圍也進一步增大，不穩(wěn)定區(qū)域變得更大，同時，不穩(wěn)定周期解的范圍也加大。另一方面，隨著非線性剛度k2的增大，共振區(qū)域也發(fā)生變化，系統(tǒng)共振頻率明顯加大，振幅峰值逐漸減小，振幅滯后現(xiàn)象愈發(fā)明顯，系統(tǒng)的非線性隨著彈簧剛度k2的增大而加強。

注：m=10;c1=1;c2=0.5;F=3;k1=10;k2=5,7,9; δ=0.7;K1=0.1;p=0.5圖7 分段剛度對幅頻曲線及其不穩(wěn)定區(qū)域的影響Fig.7 Effects of the piecewise stiffness k2 on the amplitude-frequency curves and their unstable regions

圖8為分段阻尼c2分別取1，3，5，7時，系統(tǒng)幅頻曲線的變化圖，從圖中我們可以看出，隨著分段阻尼c2的增大，系統(tǒng)的非線性特性并沒有大的變化，共振區(qū)的頻率范圍也幾乎沒有變化，但是系統(tǒng)的振動幅值明顯減小，共振頻率隨著分段阻尼c2的增大也逐漸減小，從圖3還可以看出，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域隨著c2的增大也逐漸減小，達到一定值時，系統(tǒng)頻響曲線不再發(fā)生跳躍現(xiàn)象，不穩(wěn)定區(qū)域消失。因此，可以通過加大分段阻尼c2來抑制系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域的產(chǎn)生。

注：m=10;c1=1;c2=0.5,1,1.5,2;F=3;k1=10; k2=7;δ=0.7;K1=0.1;p=0.5圖8 分段阻尼對幅頻曲線及其不穩(wěn)態(tài)區(qū)域的影響Fig.8 Effects of the piecewise damping c2 on the amplitude-frequency curves and their unstable regions

其次，分析分數(shù)階系數(shù)K1和階次p對系統(tǒng)振動和穩(wěn)定區(qū)域的影響。保持其它參數(shù)不變，分數(shù)階系數(shù)K1分別取0.1，0.5，0.9時，系統(tǒng)幅頻曲線及穩(wěn)定性判別曲線如圖9所示。顯然，當K1逐漸增大時，系統(tǒng)的非線性特性逐漸增強，且由式(14)可知，隨著K1的增大，系統(tǒng)的等效剛度逐漸增大，因此系統(tǒng)的共振幅值逐漸減小，同時，由于阻尼也隨著K1的增大而逐漸增大，導(dǎo)致系統(tǒng)共振頻率隨之逐漸增大，然而，共振區(qū)的頻率范圍卻隨著K1的增大而逐漸縮小。同樣由圖9可以看出，幅頻曲線的不穩(wěn)定性區(qū)域隨著K1逐漸增大而逐漸減小。

注：m=10；c1=1；c2=0.5；F=3；k1=10；k2=7；δ=0.7； K1=0.1,0.5,0.9；p=0.5圖9 分數(shù)階系數(shù)對幅頻曲線及其不穩(wěn)態(tài)區(qū)域的影響Fig.9 Effects of fractional-order coefficient K1 on the amplitude-frequency curves and their unstable regions

當分數(shù)階階次p分別選取0.1，0.5和0.9 時，周期解的振幅曲線和穩(wěn)定區(qū)域判別曲線如圖10所示。隨著分數(shù)階階次p的增大，系統(tǒng)的非線性特性略有減弱，并由式(14)可知，系統(tǒng)的等效阻尼逐漸增大，因此導(dǎo)致系統(tǒng)共振振幅逐漸減小，同時等效剛度隨著p的增大而減小，引起系統(tǒng)共振頻率也逐漸減小。另一方面，隨著分數(shù)階階次p的增大，系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域也在逐漸減小。因此，分數(shù)階系數(shù)K1和階次p對系統(tǒng)的共振振幅、共振頻率以及不穩(wěn)定區(qū)域均有影響。

注：m=10;c1=1;c2=0.5;F=3;k1=10;k2=7;δ=0.7; K1=0.1;p=0.1,0.5,0.9圖10 分數(shù)階階次幅頻曲線及其不穩(wěn)態(tài)區(qū)域的影響Fig.10 Effects of the fractional-order order p on the amplitude-frequency curves and their unstable regions

最后分析分段間隙對系統(tǒng)振動特性的影響。保持其它參數(shù)不變，分段間隙分別取δ=0.3，0.6和0.9時系統(tǒng)的幅頻曲線及其相應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)域如圖11所示。隨著分段間隙的增大，系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域位置變化明顯，δ=0.3時對應(yīng)的幅頻曲線和穩(wěn)定判別曲線沒有交點，周期解是穩(wěn)定的。隨著δ的加大，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸加大，周期解也出現(xiàn)不穩(wěn)定性區(qū)域，并隨之擴大。另一方面，系統(tǒng)共振區(qū)域的頻帶變窄，共振頻率逐漸變小，共振振幅隨著分段間隙的增大明顯加大，但是當間隙過大，超過系統(tǒng)的共振峰值時，系統(tǒng)的非線性區(qū)域會消失，呈現(xiàn)出完全的線性特性。

注：m=10;c1=1;c2=1;F=3;k1=10;k2=7; δ=0.3,0.6,0.9;K1=0.1;p=0.5圖11 分段間隙對幅頻曲線及其不穩(wěn)態(tài)區(qū)域的影響Fig.11 Effects of the clearance δ on the amplitude-frequency curves and their unstable regions

5 奇異性分析

為了更全面地了解分數(shù)階分段系統(tǒng)主共振的頻響特性，以下應(yīng)用奇異性理論分析主共振的分岔，找出系統(tǒng)參數(shù)變化對該分數(shù)階分段系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響規(guī)律。把幅頻響應(yīng)方程在δ點進行泰勒展開，略去高次項后可以得到

b4a4+b3a3+b2a2+b1a+b0=0

(23)

其中，

b3=-2a0c2π(2+π)(c1+c2+(c1+c2-m)ω2+

y4+d2y2+d1y+μ=0

(24)

其中,

y4+d2y2+d1y+μ=0是范式y(tǒng)4+μ=0的普適開折，有兩個開折參數(shù)d1和d2，根據(jù)奇異性理論，以下對此普適開折的持久性進行分析。

分岔點集：B=Φ;

雙極限點集：D=Φ；

系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集為：∑=B∪H∪D

系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集及分岔圖如圖12所示?？梢钥闯?，轉(zhuǎn)遷集把二維開折參數(shù)d1,d2組成的左半平面(由于d2≤0)分成了兩個區(qū)域Ⅰ,Ⅱ，每個區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)的分岔是持久的，在分界線上，系統(tǒng)的分岔是不持久的。兩個區(qū)域內(nèi)分別得到了如圖所示的Ⅰ1,Ⅰ2,Ⅰ3,Ⅱ1和Ⅱ2五種不同的分岔曲線，系統(tǒng)在不同區(qū)域的分岔曲線代表了系統(tǒng)在這些區(qū)域產(chǎn)生的不同的動力學行為，可以看出，在同一區(qū)域內(nèi)得到的分岔圖都是拓撲等價的，不同區(qū)域得到的分岔圖是拓撲不等價的。系統(tǒng)呈現(xiàn)出的不同的分岔行為代表了系統(tǒng)在不同的參數(shù)作用下的動力學行為，通過改變系統(tǒng)的參數(shù)，可以改變系統(tǒng)的動力學行為，這可為合理選擇系統(tǒng)參數(shù)提供理論參考。

圖12 系統(tǒng)轉(zhuǎn)遷集及分岔圖(z=b3/4b4)Fig.12 The transion sets and bifurcation plots(z=b3/4b4)

6 結(jié) 論

本文建立了單自由度分數(shù)階分段光滑振子的力學模型，采用非線性求解方法得到了系統(tǒng)的周期解及其穩(wěn)定性判別條件，并研究了周期解出現(xiàn)的跳躍現(xiàn)象及可能出現(xiàn)鞍結(jié)分岔和擦邊分岔；其次分析了系統(tǒng)參數(shù)對周期解及其穩(wěn)定性的影響，結(jié)論如下：

(1)分段剛度和分段間隙對系統(tǒng)的非線性影響較大，分段阻尼對系統(tǒng)的非線性沒有影響，而分數(shù)階系數(shù)和階次對系統(tǒng)的非線性影響較小。

(2)分段剛度和分段間隙的增大會加大周期解的不穩(wěn)定區(qū)域，而加大分段阻尼、分數(shù)階系數(shù)和階次則會抑制系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域的產(chǎn)生。

(3)分段剛度和阻尼、分數(shù)階系數(shù)和階次的增大均會抑制系統(tǒng)共振振幅，而分段間隙的增大則會使共振振幅增大；分段剛度和分數(shù)階系數(shù)的增大會使系統(tǒng)共振頻率增大，而分段阻尼和間隙、分數(shù)階階次的增大則會減小系統(tǒng)共振頻率。

最后用奇異性理論對主共振的幅頻響應(yīng)方程進行分析，得到了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)遷集和該振動系統(tǒng)所有的分岔拓撲，系統(tǒng)在不同的參數(shù)作用下呈現(xiàn)出的不同的分岔行為，代表了系統(tǒng)在不同參數(shù)區(qū)間的動力學行為，改變系統(tǒng)參數(shù)，可以改變系統(tǒng)的動力學行為，這可為合理選擇系統(tǒng)參數(shù)提供理論參考。