楊希

利用空間向量解決立體幾何問題在高考中主要有三類：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角。從這三個角度出發(fā)，我們來談?wù)務(wù)郫B問題、動態(tài)問題、探索性問題如何與其交匯，形成創(chuàng)新熱點題型。

創(chuàng)新角度一，折疊背景下探究異面直線所成的角

兩異面直線所成角的范圍是θ∈（0，π/2]，兩向量的夾角a的范圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角;當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角。

例1 將正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，則異面直線AD與BC所成的角為（ ）。

A.π/6

B. π/4

C.π/3

D.π/2

創(chuàng)新角度點評：通常情況下，我們都是在現(xiàn)成的空間幾何體內(nèi)求解異面直線所成的角，這就為我們尋找異面直線所成的角創(chuàng)造了現(xiàn)成的觀察平臺。如果幾何圖形需要折疊，而折疊后所得到的是一個空間幾何體，這就需要我們用全新的眼光去定奪一個“新生事物”，判斷是否有暗礁與險灘，我們需要小心為事。

創(chuàng)新角度二、動態(tài)狀態(tài)下已知線面角求線段的長度

（l）設(shè)直線l的方向向量為a，平面a的法向量為n，直線l與平面a所成的角為θ，則sinθ=[cos（a，n）]=|a·n|/|a|·|n|。

（2）利用向量法求線面角的方法：

①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影，直線的方向向量，將問題轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）。

②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角。

（3）利用平面的法向量求線面角的兩個注意點：

①求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（鈍角時取其補角），取其余角即為所求。

創(chuàng)新角度點評：我們平時所見的絕大多數(shù)求解線面角問題，都是直接求直線的方向向量與平面的法向量，然后套用公式確定直線與平面所成的角。如果已知直線與平面所成的角（或角的三角函數(shù)值）去求解某條線段的長，那么線面角所在的幾何體就是一個“動態(tài)”的，是需要我們?nèi)ァ罢{(diào)整”的，這里的“動態(tài)”與“調(diào)整”指的就是可以去尋找方程，確定所求線段長度。

創(chuàng)新角度三.二面角與探索性問題

（1）利用向量計算二面角大小的常用方法：

①找法向量：分別求出二面角的兩個半平面的法向量，然后通過兩個半平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小。

②找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小。

（2）利用法向量求二面角時的兩個注意點：

①對于某些平面的法向量要注意是隱含在已知條件中，不用單獨求。

②注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進行，以防結(jié)論錯誤。

（3）利用空間向量解決探索性問題的這類題型，其考查形式主要是已知二面角的大小逆向探索求解“點”的存在問題。若所探求的“點”存在，則一般情況下是存在于線段的等分點，如二等分點、三等分點等。

創(chuàng)新角度點評：探索性問題一直以來就是一個熱點問題，而把探索性問題與二面角相結(jié)合就更是高考的熱點考查角度。一定要明確這類問題的解答思路，比如，該題的探索解決途徑體現(xiàn)在將點E的是否存在轉(zhuǎn)換為法向量n1=（2m，m-4，2）是否存在，而法向量，n1=（2m，m- 4，2）是否存在又體現(xiàn)于其中的m是否有解。

（責任編輯 王福華）