李洪濤

三角形內(nèi)角和定理是青島版《數(shù)學(xué)》教材八年級上冊第5章“幾何證明初步”第5節(jié)的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了平角、平行線的性質(zhì)和判定的基礎(chǔ)上，進一步探索定理的證明。學(xué)生既需要綜合運用已有的知識，又需要學(xué)習(xí)掌握首次引入添加輔助線的方法。

本節(jié)課要幫助學(xué)生掌握定理的證明、添加輔助線的方法并能靈活運用，培養(yǎng)邏輯思維和符號語言表達能力，提高動手操作、自主探索、合作學(xué)習(xí)的能力。幫助學(xué)生經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同方法的推理證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和創(chuàng)造思維，體驗解決問題的成就感，體會數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和推理的意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價值。

一、點動角度，導(dǎo)入新課

活動一：如圖1，在△ABC的AB邊上分別取D、E兩點，連接線段CD、CE。（1）觀察△ABC、

△ADC、△AEC的內(nèi)角，∠A是它們的什么角？（2）發(fā)現(xiàn)它們的另兩組內(nèi)角的變化規(guī)律是∠ACB→∠ACD→∠ACE變小，而∠ABC→∠ADC→∠AEC變大，為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象？

活動二：利用幾何畫板演示一個三角形從2個角變化的情形到3個角都變化的情形，幫助學(xué)生進一步感知三角形的內(nèi)角和是多少度。

設(shè)計意圖：活動中教師通過點動、角變的設(shè)計，使得學(xué)生對空間觀念做定向關(guān)注：位置關(guān)系的變化。引發(fā)三角形內(nèi)角量變的特征是，有角變大，必須有角變小。從而啟發(fā)“三角形內(nèi)角和是一個定值”。

二、實驗操作，證明定理

設(shè)問：三角形三個內(nèi)角的和是多少度？你是怎樣知道的？

教學(xué)中一般在學(xué)生初步感知到它們的內(nèi)角和是180°的基礎(chǔ)上，再用實驗操作的方法加以驗證。學(xué)生在小學(xué)認(rèn)識三角形內(nèi)角和時，所了解的驗證方法一般有如下三種，為此引導(dǎo)學(xué)生進行以下三個實驗。

實驗一 用量角器量出三個內(nèi)角的度數(shù)，然后求和驗證。

測量計算是學(xué)生比較熟悉的探究思路，教師在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上用幾何畫板演示。

設(shè)計意圖：該實驗使學(xué)生認(rèn)識到受測量中精確度以及測量誤差的影響，通過測量得到的三個內(nèi)角的和很可能會出現(xiàn)不等于180°的情形。即便是利用“幾何畫板”度量、計算，貌似可以得到準(zhǔn)確值，但事實上軟件系統(tǒng)在近似運算中掩藏了測量的誤差，誤差可能依然存在。

實驗二 沿三角形的一條中位線上下對折，然后把另兩個角左右對折，折出一個平角加以驗證，如圖2。

學(xué)生探究交流：如圖3，把∠A向下折，折時注意平行，使∠A的頂點落在它的對邊上，即形成∠1。再折∠B、∠C，使∠B、∠C的頂點都與∠1 的頂點重合，即形成∠2、∠3。發(fā)現(xiàn)∠1、∠2、∠3恰好組成一個平角，即∠1+∠2+∠3=180°，由此得到三角形的內(nèi)角和是180°。

設(shè)計意圖：學(xué)生輕松一折就初步驗證了三角形三個內(nèi)角可以拼在一起形成一個平角，體驗解決問題的成就感和動手的樂趣。

實驗三 把三個角剪下來拼成一個平角加以驗證。

在學(xué)生探究各種拼法后，教師進行動畫演示。 想一想 我們拼角的目的是什么？（改變角的位置。）

如果不移動角，我們還可以通過什么方法來改變角的位置？（添加輔助線。）

學(xué)生活動：小組討論，通過拼圖方案，添加輔助線構(gòu)建圖形，證明定理。

比一比，哪個小組的方法多？證明過程引導(dǎo)學(xué)生書寫或口頭表達。

設(shè)計意圖：通過小組討論交流，每個學(xué)生都成為課堂的參與者，變傳統(tǒng)教學(xué)中的被動接受為主動探索，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造性。鼓勵學(xué)生傾聽他人的方法和思路，從中受益，培養(yǎng)合作探究精神。多讓學(xué)生發(fā)言，有意識地培養(yǎng)語言表達能力和邏輯思維能力。

設(shè)問：以上方法都是通過作平行線構(gòu)造出相等的同位角或內(nèi)錯角，把三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化到同一個頂點處，再證明它們的和構(gòu)成一個平角。除此之外還有其他不同的思路和方法嗎？

學(xué)生活動：小組討論，歸納總結(jié)。

三角形內(nèi)角和是180°，由“和”“180°”你能聯(lián)想到什么？

師生歸納：通過兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得到如下添加輔助線的方法（如圖4）。

設(shè)計意圖：以上每一種添線方法的邏輯推理由學(xué)生進行交流，然后寫出證明過程。此處的添加輔助線的方法與前面的添加方法進行對比思考，體會數(shù)學(xué)思想的奧妙。無論是實驗中三角形的剪拼還是在幾何圖形中添加的輔助線，其實質(zhì)都是將分散的三個相關(guān)元素即三個內(nèi)角有效地聚集在一起。而不同輔助線的作法的出發(fā)點以及作輔助線的目的都是實現(xiàn)相關(guān)元素的有效聚集。

師：認(rèn)真觀察教科書第171頁的圖5-6，回顧此證明方法，你還能有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：（1）圖中∠ACD是△ABC的一個外角，從三角形內(nèi)角和定理的證明過程中容易發(fā)現(xiàn)它正是∠A、∠B兩個角的和。

（2）∠ACD=∠A+∠B，在這個等式中，如果去掉∠B則有∠ACD>∠A，如果去掉∠A則有∠ACD>∠B。

（3）由此可得：

推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;

推論2： 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角。

設(shè)計意圖：推論的獲得主要有兩種辦法：一種是與圖形的其他元素、條件相結(jié)合推導(dǎo)出一些新的結(jié)論，即推論。教科書的這部分內(nèi)容即是如此，它將三角形的內(nèi)角與外角結(jié)合起來，推導(dǎo)得到三角形外角的兩條性質(zhì)。另一種是將條件強化，即增加一些新的限制條件，研究特殊圖形的性質(zhì)，例如后續(xù)課中的“直角三角形兩銳角互余”。由于學(xué)生是首次接觸推論，所以務(wù)必使學(xué)生感受到“推論”到底是怎么回事。推論蘊含在原定理思維之中？推論是原定理的一種簡單變形？推論是原定理的副產(chǎn)品？啟發(fā)學(xué)生在自己的學(xué)習(xí)實踐中，當(dāng)解決了一個問題后要再回顧一下，再想一想，養(yǎng)成“回頭看”的好習(xí)慣，從而提高學(xué)習(xí)的效率。

三、運用新知，提升能力

例1 如圖5，已知AB∥CD，求證：

∠AMN +∠MNF +∠NFC=360°。

師：這個問題我們以前是如何解決的？

生：如圖6，過點N，作NE∥AB，即可證明。

師：我們能否用今天學(xué)到的新知識解決這個老問題？

生：如圖7，連接MF，即可證明。

設(shè)計意圖：學(xué)生意識到每當(dāng)知識更新后，解決問題的途徑及方法也隨之豐富了，不同方法的運用，能相互促進，強化學(xué)習(xí)。學(xué)生對學(xué)到的知識能仔細揣摩，真正理解其含義，把知識靈活運用到解決問題中去，由淺入深地達到熟能生巧的目的。

例2 如圖8，已知直線AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE =150°，求∠C的度數(shù)。

設(shè)計意圖：強化學(xué)生熟練運用定理的能力，增強學(xué)以致用的信心和樂趣。

四、感悟收獲，鞏固訓(xùn)練

1.這節(jié)課你學(xué)到了什么？你收獲了什么？

2.獨立完成教科書第172頁的練習(xí)1、2兩題。

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生踴躍發(fā)言，談各自對這節(jié)課的感受和體會;對學(xué)生還有困惑的地方，教師及時給予解惑。

五、教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)中，三角形的剪拼，證明定理時如何添加輔助線的探討，往往耗時較多，因此課前必須周密地計劃好，在課堂上爭取有條理有層次地引導(dǎo)學(xué)生有序推進。

操作探究得到的結(jié)論，一般只是一種合情推理基礎(chǔ)上的猜想，其中包含有一定程度近似運算的思想。譬如“剪拼”中發(fā)現(xiàn)三個內(nèi)角拼成一個平角，這里“拼成一個平角”更多依靠的是操作者在觀察基礎(chǔ)上的近似判斷。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到這種“動手操作”是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用手段之一。但教學(xué)的重點不在如何剪拼上，而是如何從“剪拼”前后圖形變化中發(fā)現(xiàn)隱藏的一般性規(guī)律，并將這個規(guī)律用數(shù)學(xué)符號語言或文字?jǐn)⑹霰硎龀上鄬毜摹耙话憬Y(jié)論”。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到這一點，學(xué)生才能充分理解推理證明的必要性。

課堂上，教師的“導(dǎo)”立足于學(xué)生的“學(xué)”，學(xué)生通過動手操作和合作交流，主動參與到知識形成的思維中，將抽象的邏輯證明和直觀探索聯(lián)系起來，成功實現(xiàn)了從合情推理到演繹推理的轉(zhuǎn)變，堅持了學(xué)生是主體、教師是主導(dǎo)的教學(xué)理念。

課堂教學(xué)可以充分利用幾何畫板輔助的作用，將知識形象化、動態(tài)化?！办o”中生“動”，“動”中求“靜”，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。例如，在課堂活動二中，利用課件演示，三角形的BC邊不動，把頂點A“壓”向BC，∠A越來越大，使其趨近于180°，而∠B與∠C的和越來越小，趨近0°，如圖9;三角形的BC邊不動，把頂點A“拉離”BC，∠A越來越小，使其趨近于0°，而∠B與∠C的和越來越大，它們的和越來越接近180°（圖略）。這樣學(xué)生便能容易“看到”結(jié)論，如此教學(xué)也順便給學(xué)生“種上”了數(shù)學(xué)極限的思想。

（作者單位：山東省肥城市龍山中學(xué)）