韓志強(qiáng)，李群明～3，張緒燁

（1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083；2.中南大學(xué)輕合金研究院，長(zhǎng)沙 410083；3.中南大學(xué)高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083）

0 引言

中子譜儀樣品臺(tái)是中子應(yīng)力譜儀的重要部件之一[1]，主要由X、Y向平移運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，Z向垂直升降機(jī)構(gòu)和繞Z軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)組成，可實(shí)現(xiàn)四個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)（如圖1所示），其運(yùn)動(dòng)精度要求在30um以內(nèi)，回轉(zhuǎn)軸幾何誤差是四軸中子譜儀樣品臺(tái)誤差來源的主要因素之一，相對(duì)于直線軸誤差，回轉(zhuǎn)軸幾何誤差對(duì)平臺(tái)的精度影響更大[2]，因此對(duì)中子譜儀樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)誤差辨識(shí)意義重大。三軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)21項(xiàng)幾何誤差的辨識(shí)方法已比較完善，包括采用激光干涉儀的九線法[3]，12線法[4]，然而對(duì)于回轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識(shí)的研究大多是集中在五軸數(shù)控機(jī)床的回轉(zhuǎn)軸上，國(guó)內(nèi)外普遍采用3D探頭[5]、球桿儀[6]，其中基于球桿儀的回轉(zhuǎn)軸誤差辨識(shí)方法較多，Tsutsumi等[7]采用三軸同步運(yùn)動(dòng)將球桿儀分別置于旋轉(zhuǎn)軸的軸向、徑向和切向三個(gè)位置進(jìn)行回轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識(shí)，Lee等[8]用球桿儀辨識(shí)回轉(zhuǎn)軸的垂直誤差和位置誤差，對(duì)誤差精度進(jìn)行不確定性分析，這些方法為中子譜儀樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸的幾何誤差辨識(shí)提供了一定參考，但是目前回轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)誤差辨識(shí)方法均需要將測(cè)量?jī)x器安裝在被測(cè)回轉(zhuǎn)軸軸心上[9]，受人工裝配影響較大，增加了測(cè)量準(zhǔn)備的時(shí)間。因此本文提出一種基于激光掃描臂的中子譜儀樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識(shí)方案，可有效的避免回轉(zhuǎn)軸中心定位問題，保證精度的同時(shí)能快速辨識(shí)出回轉(zhuǎn)軸各項(xiàng)誤差，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了誤差辨識(shí)模型的準(zhǔn)確性。

圖1 中子譜儀樣品臺(tái)

1 回轉(zhuǎn)軸誤差辨識(shí)模型

圖2 四項(xiàng)位置誤差

圖3 六項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差

根據(jù)回轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)誤差特征可將沿回轉(zhuǎn)軸軸向的誤差稱為定位誤差、繞回轉(zhuǎn)軸的誤差稱為滾轉(zhuǎn)誤差，沿其他兩軸的誤差稱為定位誤差繞其他兩軸的誤差稱為顛轉(zhuǎn)誤差和偏轉(zhuǎn)誤差

1.1 樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸基準(zhǔn)坐標(biāo)系內(nèi)各點(diǎn)的總誤差辨識(shí)模型

在中子譜儀樣品臺(tái)初始位置基準(zhǔn)坐標(biāo)系的X軸線上安裝一個(gè)高度為h的標(biāo)準(zhǔn)球，以構(gòu)造探測(cè)點(diǎn)。設(shè)回轉(zhuǎn)軸的初始坐標(biāo)系{M}與中子譜儀樣品臺(tái)基準(zhǔn)坐標(biāo)系{S}重合，坐標(biāo)系原點(diǎn)在樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)中心，{S}為定坐標(biāo)系，{M}為固連在中子譜儀樣品臺(tái)上的動(dòng)坐標(biāo)系，ci（i=l，…，n，）為中子譜儀樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸的角位移。c1=0為初始零位，并以一定角度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，利用激光掃描臂（如圖6所示）探測(cè)每個(gè)角度位置上的標(biāo)準(zhǔn)球球面坐標(biāo)（如圖4所示），并用最小二乘法擬合得到標(biāo)準(zhǔn)球的球心坐標(biāo)Pi。設(shè)初始零位的標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)值，坐標(biāo)系{M}到坐標(biāo)系{S}的理想變換矩陣為T(ci)，由多體系統(tǒng)理論[18]和坐標(biāo)的齊次變換原理可計(jì)算得到球心Pi經(jīng)過的理論坐標(biāo)點(diǎn)為P'i。

式中：

由于回轉(zhuǎn)軸存在誤差，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的實(shí)際球心坐標(biāo)為Pi與理論球心坐標(biāo)P'i兩者并不重合，并且存在偏差量Pei。偏差量Pei為中子譜儀樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸的各項(xiàng)誤差的綜合表現(xiàn)[2]。

圖4 激光掃描臂探測(cè)

1.2 四項(xiàng)位置誤差辨識(shí)模型

回轉(zhuǎn)軸四項(xiàng)位置誤差是與回轉(zhuǎn)角度無關(guān)的常數(shù)項(xiàng)[19]，因此對(duì)其進(jìn)行先辨識(shí)。首先計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)球旋轉(zhuǎn)一周測(cè)得的實(shí)際球心坐標(biāo)與理論球心坐標(biāo)的偏差量，并且認(rèn)為是由4項(xiàng)位置誤差引起的，由于回轉(zhuǎn)軸的四項(xiàng)位置誤差值都很小，根據(jù)小角度理論，可得：

式中：

則位置誤差辨識(shí)模型為：

根據(jù)上式，采用最小二乘法即可辨識(shí)出回轉(zhuǎn)軸的4項(xiàng)位置誤差。

1.3 六項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)模型

由式(3)可知偏差量Pei為中子譜儀樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸的各項(xiàng)誤差的綜合表現(xiàn)，六項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差量Plei為Pei去除四項(xiàng)位置誤差后的誤差項(xiàng)，計(jì)算如式(7)所示：

中子譜儀樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，那么沿Z向的軸向跳動(dòng)誤差一般地與Z軸定位誤差，Z軸的顛轉(zhuǎn)誤差和Z軸的偏轉(zhuǎn)誤差有關(guān)，如果測(cè)量回轉(zhuǎn)軸中心位置的軸向跳動(dòng)誤差，則Z軸的定位誤差就等于此時(shí)測(cè)量的軸向的跳動(dòng)誤差值，所以Z軸的定位誤差可以直接測(cè)量回轉(zhuǎn)軸中心位置的軸向跳動(dòng)誤差來直接得出，傳統(tǒng)的回轉(zhuǎn)軸誤差辨識(shí)方案中普遍采用這種方法，但是回轉(zhuǎn)軸中心難以探測(cè)且將探測(cè)體精確的移動(dòng)到回轉(zhuǎn)中心比較困難，實(shí)驗(yàn)過程也比較復(fù)雜，難以得到驗(yàn)證，因此對(duì)基于Z軸軸向跳動(dòng)定位誤差辨識(shí)模型改進(jìn)，改進(jìn)的方案是將被探測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)球偏置回轉(zhuǎn)軸心一定距離，使其不與回轉(zhuǎn)軸中心重合，直接用Z軸的定位誤差，顛轉(zhuǎn)誤差，偏轉(zhuǎn)誤差進(jìn)行建模。

所以：

圖5 Z軸定位誤差辨識(shí)

圖6 激光掃描臂

六項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)模型中的其余各項(xiàng)誤差辨識(shí)方法主要參見文獻(xiàn)[4]。

1.4 回轉(zhuǎn)軸誤差預(yù)測(cè)模型

回轉(zhuǎn)軸誤差是由回轉(zhuǎn)軸的預(yù)測(cè)空間坐標(biāo)值減去理論空間坐標(biāo)值得出：

其中：

2 樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸誤差辨識(shí)方案

激光掃描臂是由?？怂箍禍y(cè)量技術(shù)有限公司設(shè)計(jì)生產(chǎn)，可以測(cè)量空間坐標(biāo)、掃描樣品三維模型、逆向等功能，點(diǎn)的重復(fù)定位精度為0.027mm。獲取標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)時(shí)用激光掃描臂探測(cè)球面五點(diǎn)坐標(biāo)，探測(cè)點(diǎn)布局如圖7所示，這五點(diǎn)為三個(gè)軸向上的極值點(diǎn)，在回轉(zhuǎn)軸的不同角度下，測(cè)頭均以固定的方向接觸標(biāo)準(zhǔn)球，可減小測(cè)頭探測(cè)誤差的影響[2]。

圖7 標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)點(diǎn)布局

圖8 傳統(tǒng)的測(cè)量方法

傳統(tǒng)的回轉(zhuǎn)軸誤差辨識(shí)方案借助高精度測(cè)微儀[4]，將標(biāo)準(zhǔn)芯棒安裝在回轉(zhuǎn)臺(tái)中心，徑向測(cè)量點(diǎn)所在測(cè)量平面的間距為100mm，第一平面離轉(zhuǎn)臺(tái)的最小間距100mm（如圖8所示）。由于這種測(cè)量方法存在一定的安裝誤差，標(biāo)準(zhǔn)芯棒不能精確的安裝在回轉(zhuǎn)臺(tái)中心，并且旋轉(zhuǎn)芯棒與中子譜儀樣品臺(tái)平面也不能保證完全垂直，對(duì)于實(shí)驗(yàn)精度要求高的實(shí)驗(yàn)存在一定不合理性。本文提出的新的回轉(zhuǎn)軸誤差辨識(shí)方案步驟如下：

1）首先用3-2-1法通過激光掃描臂建立中子譜儀樣品臺(tái)在初始位置上的回轉(zhuǎn)軸基準(zhǔn)坐標(biāo)系（如圖9所示）。

2）把高精度標(biāo)準(zhǔn)球固定在中子譜儀樣品臺(tái)初始位置X軸上，以經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)球球心水平面為第一平面，通過激光掃描臂探測(cè)并擬合出標(biāo)準(zhǔn)球球心，以10度為單位旋轉(zhuǎn)樣品臺(tái)，探測(cè)并擬合出每個(gè)位置上標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)，將樣品臺(tái)旋轉(zhuǎn)一周得到36個(gè)點(diǎn)的球心空間坐標(biāo)，作為第一組數(shù)據(jù)。

3）將樣品臺(tái)上升一定距離d（如圖10所示）確定經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)球球心水平面為第二平面，再次重復(fù)步驟二得到第二平面上36個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球球心在基準(zhǔn)坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)，作為第二組數(shù)據(jù)，并將坐標(biāo)值代入式(6)可辨識(shí)出四項(xiàng)位置誤差。

4）再次將樣品臺(tái)任意升降一定距離，使樣品臺(tái)平面不與第一、二平面重合，重復(fù)步驟二得到一組新的標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)，作為第三組數(shù)據(jù)，用于后續(xù)實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)對(duì)比。

5）將標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)總偏差量扣除四項(xiàng)位置誤差便得到回轉(zhuǎn)軸六項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差的總誤差，將其帶入到運(yùn)動(dòng)誤差模型便可辨識(shí)出回轉(zhuǎn)軸的6項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差。

圖9 建立基準(zhǔn)坐標(biāo)系

圖10 兩平面和標(biāo)準(zhǔn)球初始位置

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

在樣品臺(tái)上建立樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸基準(zhǔn)坐標(biāo)系（如圖12所示）。在樣品臺(tái)初始位置X軸上任意位置安裝一個(gè)由支架支撐的標(biāo)準(zhǔn)球，利用激光掃描臂對(duì)標(biāo)準(zhǔn)球進(jìn)行接觸式探測(cè)，且以10度為單位旋轉(zhuǎn)樣品臺(tái)，每旋轉(zhuǎn)一次探測(cè)一次標(biāo)準(zhǔn)球，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球至少探測(cè)五點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)一周后得到36個(gè)標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)。第一平標(biāo)準(zhǔn)球初始坐標(biāo)位置（71.015，-0.017，178.984）（如圖11(a)所示），重復(fù)以上步驟三次，計(jì)算三組數(shù)據(jù)的平均值以得到更精確的球心坐標(biāo)。將樣品臺(tái)上升100mm（如圖11(b)所示），得到第二平面位置標(biāo)準(zhǔn)球初始坐標(biāo)（71.027，-0.028，279.03）。旋轉(zhuǎn)樣品臺(tái)并擬合出第二平面每個(gè)角度標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)，每個(gè)位置同樣重復(fù)三次求平均值，在polyworks中顯示其空間關(guān)系（如圖13所示）。

圖11 兩探測(cè)平面位置

圖12 回轉(zhuǎn)軸基準(zhǔn)坐標(biāo)系

圖13 polyworks顯示界面

將回轉(zhuǎn)軸第二平面標(biāo)準(zhǔn)球球心坐標(biāo)值與理論坐標(biāo)值代入到式(6)中可計(jì)算得到四項(xiàng)位置誤差：

將總偏差量去除四項(xiàng)位置誤差，由式(7)計(jì)算可得到六項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差引起的偏差，再將計(jì)算得到的偏差量帶入到運(yùn)動(dòng)誤差辨識(shí)模型，可分別得到六項(xiàng)運(yùn)動(dòng)誤差在各個(gè)角度的誤差值，然后通過MATLAB繪制各項(xiàng)誤差的二維圖并進(jìn)行曲線擬合，如圖14～圖19所示。

圖14 X軸的定位誤差

圖15 Y軸的定位誤差

圖16 Z軸的定位誤差

圖17 X軸的偏轉(zhuǎn)誤差

圖18 Y軸的顛轉(zhuǎn)誤差

圖19 Z軸的滾轉(zhuǎn)誤差

通過MATLAB中cftool工具箱對(duì)各項(xiàng)誤差分別采用8階多項(xiàng)式擬合、正弦函數(shù)擬合，對(duì)比兩種擬合曲線后發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)擬合曲線的每個(gè)點(diǎn)的逼近程度更高，且確定系數(shù)（R-square）更接近1，則擬合效果更好，因此對(duì)各項(xiàng)誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行正弦函數(shù)擬合，由各項(xiàng)誤差擬合公式可建立回轉(zhuǎn)軸誤差預(yù)測(cè)模型，用于預(yù)測(cè)回轉(zhuǎn)軸任意空間點(diǎn)的誤差值。各項(xiàng)誤差擬合公式如式(17)～式(22)所示。

4 模型驗(yàn)與誤差預(yù)測(cè)

通過擬合出的各項(xiàng)誤差公式可對(duì)樣品臺(tái)基準(zhǔn)坐標(biāo)系內(nèi)各點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行誤差預(yù)測(cè)，從而得到中子譜儀樣品臺(tái)上任意一點(diǎn)的誤差預(yù)測(cè)值。對(duì)實(shí)際探測(cè)的第三組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證。圖20為實(shí)際探測(cè)誤差與預(yù)測(cè)誤差對(duì)比，圖中縱坐標(biāo)為總的誤差值。

圖20 誤差預(yù)測(cè)

圖21 殘差值

由圖20可知預(yù)測(cè)誤差與實(shí)際探測(cè)誤差走勢(shì)基本一致，圖21為預(yù)測(cè)誤差與實(shí)際誤差的殘差，從圖中可以看出所有點(diǎn)殘差值近80%都在10um以內(nèi)，可知誤差辨識(shí)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，誤差模型可靠。

5 結(jié)論

本文提出了一種中子譜儀樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸幾何誤差的辨識(shí)方案。運(yùn)用齊次變換理論，小角度理論和空間幾何關(guān)系建立樣品臺(tái)回轉(zhuǎn)軸誤差辨識(shí)模型。標(biāo)準(zhǔn)球可以任意放置于樣品臺(tái)基準(zhǔn)坐標(biāo)系X軸上，避免了傳統(tǒng)辨識(shí)方案中的標(biāo)準(zhǔn)芯棒與圓心不重合誤差和標(biāo)準(zhǔn)芯棒與樣品臺(tái)不垂直的誤差，降低了實(shí)驗(yàn)難度，能更加快速的辨識(shí)出回轉(zhuǎn)軸各項(xiàng)誤差。實(shí)驗(yàn)方案操作簡(jiǎn)單，同時(shí)測(cè)量精度較高，通過實(shí)驗(yàn)?zāi)軠?zhǔn)確辨識(shí)出各項(xiàng)誤差，采用正弦函數(shù)擬合出各項(xiàng)誤差與運(yùn)動(dòng)角度的關(guān)系，從而可以對(duì)樣品臺(tái)基準(zhǔn)坐標(biāo)系內(nèi)任意位置的誤差進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，且預(yù)測(cè)點(diǎn)80%的殘差值在0.01mm內(nèi)，驗(yàn)證了誤差辨識(shí)模型的準(zhǔn)確性，該誤差辨識(shí)測(cè)量方案快速高效，同時(shí)為回轉(zhuǎn)軸誤差補(bǔ)償提供所需要的誤差數(shù)據(jù)。