許衛(wèi)鍇,寧金英,韓世超,余欣宇,祁武超
(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院,沈陽 110136)
聲子晶體[1]是在光子晶體的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,由不同彈性性質(zhì)的材料按結(jié)構(gòu)周期性復(fù)合在一起形成的人工復(fù)合材料。這種周期性結(jié)構(gòu)由于帶隙的存在及結(jié)構(gòu)的可操縱性,使其廣泛應(yīng)用于頻率濾波器、波導(dǎo)和振動保護裝置等方面[2,3]。近年來,對聲子晶體帶隙的拓撲優(yōu)化已成為該領(lǐng)域的研究熱點。Huang等[4]提出基于梯度變換的優(yōu)化方法,該方法以波數(shù)的余弦代替衰減系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)以分析彈性波在特定頻率范圍內(nèi)的衰減特性;Liu等[5]利用兩階段的遺傳算法來尋找二維方形晶格聲子晶體規(guī)定頻帶之間的最大相對帶隙;Lin等[6]提出一種用于獲得聲子晶體形狀拓撲優(yōu)化的靈敏度導(dǎo)數(shù)的時間伴隨方法,實現(xiàn)了有效的降噪結(jié)果;Dong等利用遺傳算法和NSGA-II分別研究了二維正方形固/固聲子晶體的無約束和有約束的單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計[7]以及多孔單相聲子晶體的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計[8],并獲得了較寬的相對帶隙;Li等[9]提出一種新的基于雙向進化的結(jié)構(gòu)優(yōu)化(BESO)方法和有限元分析的拓撲優(yōu)化方法,并獲得了新的聲子晶體拓撲構(gòu)型;Zhang等[10]提出一種獨立散射模型來評估材料的反平面剪切波衰減,并利用該模型設(shè)計了一種由平行排列的PMMA薄板組成的高質(zhì)量濾波器[11];He等[12]基于聲子晶體方向帶隙的拓撲優(yōu)化微結(jié)構(gòu)設(shè)計,實現(xiàn)了彈性波的單向傳輸特性;Xu等[13]研究了多相固態(tài)聲子晶體的拓撲優(yōu)化設(shè)計,并得到了更寬的最大化相對帶隙;劉堅等[14]將不確定模型引入局域共振聲子晶體,并采用Chebyshev展開法以帶隙最大化為目標(biāo)進行優(yōu)化,數(shù)值分析和優(yōu)化后的結(jié)果都表明帶隙有大幅度的拓寬。
聲子晶體作為一種復(fù)合介質(zhì),影響其帶隙特性的因素主要分為結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)兩類。結(jié)構(gòu)參數(shù)主要包括散射體的形狀、晶格形式、散射體填充率等,體現(xiàn)為聲子晶體的拓撲形式;另一方面,材料參數(shù)包括各組元材料的密度、彈性模量、聲阻抗以及波速等[1,15],同樣會對聲子晶體的帶隙特征產(chǎn)生影響。趙浩江等[16]分析了材料參數(shù)對薄板型聲子晶體的影響,得出散射體和基體材料的楊氏模量比和質(zhì)量密度比是影響薄板彎曲振動帶隙的關(guān)鍵材料參數(shù);張昭等[17]通過平面波展開法討論了薄板型聲子晶體的帶隙特性,并討論了散射體彈性模量比、密度比等對聲子晶體帶隙特性和減振的影響。趙元年等[18]利用有限元法研究了超晶格下材料參數(shù)對二維聲子晶體振動缺陷態(tài)的影響。Han等[19]通過選取4種組份材料,討論了材料參數(shù)對聲子晶體帶隙的影響,發(fā)現(xiàn)在改變材料參數(shù)時,得到的每兩個模型之間都有明顯差別。Li等[20]研究了材料參數(shù)對三相聲子晶體帶隙的影響,并討論了布拉格散射帶隙與局域共振帶隙的不同。
然而,目前對聲子晶體帶隙特征的研究與優(yōu)化多是從一種影響因素出發(fā),或者是討論特定材料組合的拓撲構(gòu)型,或者是固定構(gòu)型后討論材料參數(shù)的影響,并未考慮聲子晶體在兩個因素共同影響下的帶隙特征。本文基于混合變量的遺傳算法,研究同時考慮材料參數(shù)及拓撲構(gòu)型對固/固聲子晶體帶隙的影響,從而達到材料參數(shù)及拓撲構(gòu)型的一體化設(shè)計。
考慮由兩種各向同性彈性固體材料組成的正方晶格的二維聲子晶體,其彈性波動方程[21]為
(1)
式(1)中,λ和μ是Lame常數(shù),r為位置矢量,ρ、u和ω分別是密度、位移矢量和角頻率。▽表示梯度算子。
假設(shè)彈性波在xy平面內(nèi)傳播,則式(1)可以分解為平面混合模態(tài)和反平面剪切模式兩個方程
(2)
(3)
由Bloch定理,位移場可表示為
u(r)=ei(k·r)uk(r)
(4)
式(4)中uk(r)是與單胞結(jié)構(gòu)具有相同周期性的函數(shù),且k=(kx,ky)是限于第一布里淵區(qū)域的平面矢量。因此,單胞內(nèi)離散的特征值方程為
[K(k)-ω2M]U=0
(5)
式(5)中K,U,M分別表示剛度矩陣、位移矢量和質(zhì)量矩陣。利用有限元軟件COMSOL,可方便有效地求解該本征頻率問題,并得到聲子晶體的帶隙結(jié)果。
遺傳算法[22]是一種全局、隨機和通用的智能算法,被廣泛地應(yīng)用于各種連續(xù)體/離散體的拓撲優(yōu)化領(lǐng)域。與其他常用的拓撲優(yōu)化方法相比,遺傳算法不依賴于目標(biāo)函數(shù)的梯度及敏度,具有非常強的魯棒性,因此特別適合求解非常復(fù)雜的波動問題,并在聲子晶體的優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用[5,7-9]。
目前應(yīng)用遺傳算法進行的聲子晶體拓撲優(yōu)化更多地體現(xiàn)在拓撲構(gòu)型的設(shè)計上,即以二進制編碼0和1分別代表不同的材料,并通過編碼、解碼、選擇、交叉和變異等操作實現(xiàn)最優(yōu)值的求解。這種方法的優(yōu)點是編碼方式簡單、相對獨立,使得適應(yīng)度評價過程易于實現(xiàn)。然而,一般情況下0和1只能代表固定的材料,并沒有考慮材料參數(shù)對帶隙的影響。
事實上,材料參數(shù)對聲子晶體的帶隙特性也具有重要的影響[15-20]。為此,本文引入密度、彈性模量等材料參數(shù)作為連續(xù)設(shè)計變量,使得該優(yōu)化問題變?yōu)橥瑫r考慮離散拓撲(二進制變量)和材料參數(shù)(連續(xù)變量)的混合變量問題。求解此問題需要對變量進行重新編碼:染色體分為兩部分,第一部分仍然是代表材料分布的離散變量,第二部分則是將代表材料參數(shù)的連續(xù)變量進行轉(zhuǎn)化得到。
例如,假定給定參數(shù)區(qū)間為[a,b],可將二進制串與區(qū)間[a,b]內(nèi)的十進制數(shù)建立映射關(guān)系。首先,可用式(6)將二進制串(bnbn-1b0)2代表的二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)x′;其次,應(yīng)用式(7)將x′轉(zhuǎn)化為對應(yīng)區(qū)間[a,b]內(nèi)的實數(shù)。
(6)
(7)
式(7)中n+1為代表材料參數(shù)二進制串的長度。
鑒于前人的研究結(jié)果[15-20],不失一般性,可取散射體和基體的參數(shù)比值作為設(shè)計變量,分別討論使它們單獨變化及同時變化時對聲子晶體帶隙特性的影響。
圖1 二維正方晶格不可約布里淵區(qū)
本文選取四方對稱的聲子晶體進行優(yōu)化,其不可約布里淵區(qū)示意圖如圖1所示。晶胞尺寸為0.02 m。為簡單起見,選擇目前聲子晶體中常用的環(huán)氧樹脂作為基體材料,其材料參數(shù)為密度ρ=1 200 kg/m3,楊氏模量E=4.51 GPa,泊松比υ=0.42。為了與文獻[7]、[23]的結(jié)果進行對比,初始變量選擇鉛作為散射體,其材料參數(shù)為密度ρ=11 350 kg/m3,楊氏模量E=16 GPa,泊松比υ=0.42。為了減少計算成本,本文采用兩階段遺傳算法。在第一階段,晶胞首先被劃分為16×16的粗網(wǎng)格,得到的結(jié)果在第二階段被重新劃分為32×32的細網(wǎng)格并作為種子結(jié)構(gòu)參與第二階段的優(yōu)化。針對四方對稱的聲子晶體來說,只有1/8的區(qū)域需要進行0、1編碼,因此在第一階段和第二階段所對應(yīng)的用于材料分布編碼的染色體長度分別為36和136,而對應(yīng)于連續(xù)變量的染色體長度要依據(jù)所選變量的范圍和求解精度來確定,總體染色體的長度為二者之和。遺傳算法相關(guān)參數(shù)為:種群大小為30,交叉率為0.9,突變率的初始值設(shè)為0.1。為簡單起見,本文僅以平面內(nèi)混合波模態(tài)為例展開討論,并選取相對帶寬(帶隙寬度/帶隙中間頻率)為優(yōu)化目標(biāo),即
(8)
以散射體的密度作為連續(xù)變量進行優(yōu)化時,根據(jù)常見材料的密度值,選取密度范圍為1 135~19 500 kg/m3,其中密度的上限與金相同。優(yōu)化結(jié)果如圖2所示,其中能帶圖的縱坐標(biāo)采用歸一化頻率Ω=ωα/2πCt,Epoxy19 500 kg/m3。
從圖2中可以看出,優(yōu)化后的材料構(gòu)型與文獻[23]類似,為含4個圓角的近似方形的散射體。計算得到的最大相對帶寬為0.36,略低于文獻[7]、[23]的結(jié)果,這是由于我們的計算條件有限,所選取的離散單元數(shù)較少而引起的。另一方面,優(yōu)化后散射體密度為設(shè)置的密度范圍的上限,即19 500 kg/m3,同時帶隙位置有所降低,這表明散射體與基體的密度差越大越易產(chǎn)生較寬的低頻帶隙[16]。然而,當(dāng)彈性模量的差值未達到一定量級的時候,僅僅改變材料的密度并不能顯著提高聲子晶體的最大相對帶寬。例如,針對圖2的拓撲構(gòu)型,將散射體重新設(shè)置為鉛,計算得到的相對帶寬為0.3。
圖2 考慮密度變化時的優(yōu)化結(jié)果
當(dāng)以散射體的彈性模量作為連續(xù)變量進行優(yōu)化時,同樣根據(jù)常見材料的模量值,給定彈性模量范圍為4×109~3.45×1011Pa。其中4×109為所選鉛材料彈性模量的1/4,小于基體的彈性模量,3.45×1011與材料參數(shù)表中常用材料鎢的彈性模量相同,散射體的密度與鉛一致,優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。
相比于文獻[7]、[23],我們得到了截然不同的構(gòu)型,且相對帶寬達到了1.07,不但遠大于散射體為鉛的情況,甚至大于文獻[23]中以銅為散射體的情況(0.902)。這似乎表明彈性模量對聲子晶體帶隙有著更為重要的影響。事實上,在文獻[23]中,以銅為散射體的帶隙結(jié)果(0.902)也遠大于以鉛為散射體(0.455)的情況,這應(yīng)該是由于銅的彈性模量遠大于鉛所導(dǎo)致的。
圖3 考慮彈性模量變化時的優(yōu)化結(jié)果
再者,當(dāng)把算例1和算例2的結(jié)果同時與文獻[23]的結(jié)果比較時可以發(fā)現(xiàn),除禁帶位置降低外,當(dāng)僅以密度為變量優(yōu)化時,能帶圖第三階頻率下移,當(dāng)僅以彈性模量為變量優(yōu)化時,能帶圖第四階頻率上移。這表明密度對禁帶的下邊界影響較大,而彈性模量對禁帶上邊界影響較大,這也與文獻[24]中的結(jié)論一致。
以密度和彈性模量同時為變量時,兩種參數(shù)的范圍選擇與算例1、2相同,優(yōu)化后密度結(jié)果為19 320 kg/m3,彈性模量為3.45×1011Pa。優(yōu)化結(jié)果如圖4所示??梢钥闯?,當(dāng)彈性模量保持較大的比值時,增大密度差能進一步的提高相對帶寬,且可實現(xiàn)禁帶寬度增大和頻率位置降低兩個目標(biāo),并得到了遠大于先前工作的相對帶隙,結(jié)果再一次證明了彈性模量在聲子晶體設(shè)計中的重要性。
圖4 密度和彈性模量同時變化時的優(yōu)化結(jié)果
本文應(yīng)用遺傳算法對聲子晶體拓撲構(gòu)型及影響聲子晶體帶隙特性的密度和彈性模量兩種材料參數(shù)進行優(yōu)化。通過引入混合變量,分別考慮了密度變化、彈性模量變化以及同時考慮兩種參數(shù)作為連續(xù)變量對聲子晶體帶隙的影響,結(jié)果表明兩種參數(shù)對帶隙特性都有顯著影響,其中彈性模量具有更重要的地位。優(yōu)化后密度和彈性模量都接近甚至達到給定范圍的上限,這表明散射體的密度和彈性模量與基體材料對應(yīng)參數(shù)的差值越大越易產(chǎn)生較寬的帶隙,其中密度對帶隙的下邊界影響較大,彈性模量對帶隙的上邊界影響較大。通過對比3個算例可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)彈性模量具有更大的差值時,更易產(chǎn)生較寬的帶隙,這為設(shè)計聲子晶體時的材料選擇和帶隙調(diào)控提供了一定的理論依據(jù)。