呂 蜂

(象山縣第三中學(xué),浙江 寧波 315700)

2018年北京卷第20題如下:根據(jù)高中所學(xué)知識可知,做自由落體運動的小球,將落在正下方位置．但實際上,赤道上方200 m處無初速下落的小球?qū)⒙湓谡路轿恢闷珫|約6 cm處．這一現(xiàn)象可解釋為,除重力外,由于地球自轉(zhuǎn),下落過程小球還受到一個水平向東的“力”,該“力”與豎直方向的速度大小成正比．現(xiàn)將小球從赤道地面豎直上拋,考慮對稱性,上升過程該“力”水平向西,則小球

(A) 到最高點時,水平方向的加速度和速度均為0.

(B) 到最高點時,水平方向的加速度和速度均不為0.

(C) 落地點在拋出點東側(cè).

(D) 落地點在拋出點西側(cè).

圖2

本題情境取材于常見的生活現(xiàn)象——“拋體偏西、落體偏東”,其原因是受到由于地球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生作用于運動物體的地轉(zhuǎn)偏向力(也叫科里奧利力)的影響．這是大學(xué)物理的內(nèi)容,大多數(shù)學(xué)生對這新情景并沒有實際經(jīng)驗,所以這對學(xué)生科學(xué)思維提出了更高的要求．關(guān)于解析,筆者在《物理教師》上拜讀到相關(guān)文獻(xiàn)《高考試題銜接課程標(biāo)準(zhǔn),核心素養(yǎng)考查落地生根》,[1]其分析如下．根據(jù)運動的獨立性原理,題中東西方向的“力”并不影響小球豎直方向上的上拋和下落,即勻變速直線運動．又因該“力”與豎直方向的速度大小成正比,通過分析可得到:上拋過程小球向西做加速度逐漸減小的加速運動,而自由下落過程小球向西做加速度逐漸增加的減速運動,最高點加速度為0,速度最大．結(jié)合對稱性做出vW-t圖像如圖1(其中vW指向西的速度,t0時刻達(dá)到最大速度vm),答案也就顯然易見了．另外,此文還用微分法驗證了題中背景數(shù)據(jù),筆者整理如下．

我們研究將小球在赤道上方200 m處無初速釋放后求向東側(cè)移量x的問題，建立坐標(biāo)系如圖2(其中Hy為釋放高度)．本題中科里奧利力表達(dá)式為

Fx科=2mvy·ω，

(1)

其中ω為地球自轉(zhuǎn)角速度.

(2)

用兩次積分并結(jié)合自由落體得小球參數(shù)方程

(3)

(4)

用地球自轉(zhuǎn)角速度ω=7.27×10-5rad/s,重力加速度g=9.8 m/s2,高度y=Hy=200 m代入上式得到x=0.062 m≈6 cm．

筆者在反復(fù)思考后認(rèn)為有值得商榷的一處:小球靜止釋放,在重力作用下會有個向下的速度,這個速度產(chǎn)生向東的科里奧利力．而同樣在該力的作用下會有個向東的速度.這個速度產(chǎn)生向上的科里奧利力．綜上分析,小球在豎直方向上并不是自由落體,所以文獻(xiàn)中的分析和公式均需改進(jìn)．基于愚見,筆者嘗試用微分法求解如下．

1 微分方程走常規(guī)

列出微分方程組

(5)

(6)

聯(lián)立(5)、(6)式消去vy得

(7)

積分兩次得

(8)

其中A、φ是常數(shù).

(9)

積分得

(10)

同理也可得

(11)

原則上,用基于無限細(xì)分和無限逼近原理的微分法解決變力曲線等復(fù)雜物理問題,有著操作步驟明確、適用范圍廣的優(yōu)點.先根據(jù)牛頓第二定律列出微分式,再積分代入初值得到物體參數(shù)方程組．但是筆者認(rèn)為這套方法也存在兩點不足: (1) 很可能碰到復(fù)雜微分式而出現(xiàn)無法積分的狀況,此時可能需要查找積分表,不方便; (2) 筆者教育的對象是從未接觸過微分方程的高中生,誠然能解決問題固然好,但要是能用高中辦法解決高中問題那豈不是好上加好．為此,筆者嘗試用補(bǔ)償法解決這個問題,內(nèi)容如下．

2 補(bǔ)償秒法顯神威

圖3

圖4

(12)

(13)

其中R和T是圓周運動的半徑和周期.F2提供向心力

(14)

(15)

將(14)、(15)式代入(12)、(13)式得到與(10)、(11)式相同結(jié)果，

(16)

(17)

將y=Hy=200 m代入(17)式得到t=6.39 s,再將該值代入(16)式得到x=0.062 m．值得注意的是,考慮到精度問題筆者并非采用以上的近似數(shù)據(jù)，而是用保留15位有效數(shù)字的Matlab來計算(即便是計算器誤差也非常大)．奇怪的是,筆者計算結(jié)果和前文中豎直方向自由落體模型研究的結(jié)果是一樣的.為一探究竟,筆者利用Matlab繪制小球下落軌跡圖像如圖5．圖5(a)圖表示小球在豎直平面內(nèi)軌跡和時間所構(gòu)成的三維圖,而圖5(b)則是該軌跡的平面圖(含局部放大),其中實線是根據(jù)(16)、(17)式畫出的軌跡(即旋輪線),虛線是根據(jù)(3)、(4)式畫出的軌跡．其實結(jié)合圖像不難發(fā)現(xiàn):在假定重力始終不變的條件下,即便小球從107m數(shù)量級的高度(地球半徑6.4×106m)下落所得到的二者軌跡都幾乎完全重合,更何況是本題的200 m高度.換句話說,只要在地球赤道表面上釋放小球,把豎直方向上運動近似當(dāng)成自由落體運動來處理都是合理的．另外也可反過來思考,基于(16)、(17)式算出來下落200 m向東側(cè)移量為0.062 m,用時6.39 s,求出小球向東的平均速度v1′約為9.70×10-3m/s.這個速度對應(yīng)的平均科里奧利力F1′約為1.41×10-6m(m為小球質(zhì)量),和重力相比自然可以忽略．

圖5

在精確求解過程中筆者采用了微分法和補(bǔ)償法．相比而言,補(bǔ)償法過程更為精簡,對于應(yīng)用到運動的等效分解思想和涉及的圓周、直線運動知識學(xué)生更容易接受．所以筆者搜集了同樣能用補(bǔ)償法取得奇效的題目,歸納出補(bǔ)償法解題的規(guī)律,希望對一線教育工作者有幫助．

3 觸類旁通享以漁

圖6

例1.文獻(xiàn)[2]提到這樣情境:用一根長L=0.8 m的輕繩,吊一質(zhì)量為m=1.0 g的帶負(fù)電小球,放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.1 T,方向如圖6所示的勻強(qiáng)磁場中,把小球拉到懸點的右端,輕繩剛好水平拉直,將小球由靜止釋放．

圖7

例2.在文獻(xiàn)[3]提到這樣情境:如圖7所示,處于原點O,質(zhì)量為m的質(zhì)點以與x軸正向的夾角為θ的初速度為v0斜拋出去,空氣阻力與速度始終成正比有f=-kv．

以上兩例作者均采用補(bǔ)償法．對于例1,前期階段繩子松弛,拉力為0,我們只截取這段時間討論．作者給小球施加左右相等的兩個速度,使得速度v2產(chǎn)生的洛倫茲力f2恰與重力抵消,小球既參與以v2向左的勻速直線運動,又參與以v1為線速度的勻速圓周運動．對于例2,作者給質(zhì)點施加上下相等的速度,使得向下的速度v1對應(yīng)的阻力f1恰與重力抵消,所以質(zhì)點參與以v1向下的勻速直線運動．剩下的向上速度v2和初速度v0合成v,在對應(yīng)阻力f的作用下質(zhì)點同時參與與x軸成α角的勻變速直線運動(v2和v0大小方向均已知,故矢量合成后α角已知)．

綜上3題,筆者對能用補(bǔ)償法的題目特征歸納如下．(1) 題中研究對象速度和某個“特殊力”大小成正比,二者夾角固定,或垂直或反向; (2) 存在大小方向均不變的恒力，而用補(bǔ)償時引入大小相等的兩個反向速度，其目的在于用其中一個速度所對應(yīng)的“特殊力”與該恒力抵消.

4 梳理概要再回味

赤道上靜止釋放的小球?qū)嶋H上會受到豎直向上的科里奧利力,只是其在200 m高度下落和重力相比可忽略．文獻(xiàn)[1]也是基于這個合理近似進(jìn)行討論．北京卷在原題中是這樣描述“由于地球自轉(zhuǎn),下落過程小球還受到一個水平向東的‘力’”,這里強(qiáng)調(diào)小球是“下落”而不是“自由下落”,只交代“向東的‘力’”沒說還有“向上的‘力’”．筆者認(rèn)為這體現(xiàn)了高考題的嚴(yán)謹(jǐn)性和權(quán)威性．

筆者給出微分法和補(bǔ)償法對比求解該題過程,旨在體現(xiàn)在本題背景下后者的精簡性和可被接受性,然而這并不代表筆者否定微分法,畢竟微分法的適用范圍更廣．后面筆者補(bǔ)充了兩道巧用補(bǔ)償法的題目,大致分析其思路,詳細(xì)過程請參考相應(yīng)文獻(xiàn),希望對一線教師有所啟發(fā)．