趙軍亞 李晨旭 馬曉棟?

1) (新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，烏魯木齊 830054)

2) (新疆醫(yī)科大學(xué)醫(yī)學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，烏魯木齊 830011)

應(yīng)用哈特里-?？?博戈留波夫平均場理論近似和基于托馬斯-費米近似的解析方法,研究碟形玻色-愛因斯坦凝聚體中(0,0,2)剪刀模的朗道阻尼和頻移,計算阻尼系數(shù)和頻移大小以及它們的溫度依賴.計算中,在集體激發(fā)本征頻移微擾關(guān)系中考慮元激發(fā)弛豫及其弛豫之間的正交關(guān)系以獲得阻尼和頻移的計算公式,把凝聚體基態(tài)波函數(shù)取為高斯分布函數(shù)的一級近似以消除托馬斯-費米近似中三模耦合矩陣元的發(fā)散.采用與相關(guān)實驗研究相同的粒子數(shù)、囚禁頻率和各向異性參量,理論計算結(jié)果與相關(guān)實驗測量結(jié)果相符合.由于理論的復(fù)雜性和計算的困難性,在大多數(shù)基于平均場理論的單分量和兩分量玻色-愛因斯坦凝聚集體激發(fā)阻尼和頻移的研究中采用半經(jīng)典近似,把準(zhǔn)粒子激發(fā)能譜看成是連續(xù)的來積分計算各個準(zhǔn)粒子躍遷對阻尼和頻移的貢獻,而本文和本文前期工作按分立的準(zhǔn)粒子激發(fā)頻譜計算阻尼或頻移,并在研究過程中提出了考慮元激發(fā)弛豫及弛豫之間正交關(guān)系的改進方法,希望這種方法對今后的工作有一定參考價值.

1 引 言

玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein-condensation,BEC)的集體激發(fā)作為一個基本問題對于多體問題的研究顯然是至關(guān)重要的.元激發(fā)是統(tǒng)計與凝聚態(tài)物理學(xué)的基本研究內(nèi)容之一,集體激發(fā)的研究是捕陷玻色凝聚氣體的實驗和理論研究活動的主要興趣領(lǐng)域之一[1-23].研究集體激發(fā)對于了解凝聚體的基態(tài)、熱力學(xué)性質(zhì)及其超流特性都有十分重要的意義,阻尼和頻移是BEC中集體激發(fā)的主要特征,其中有四個實驗[24-27]對BEC系統(tǒng)中激發(fā)模阻尼和頻移有完整的溫度依賴測量.粒子間相互作用導(dǎo)致集體激發(fā)振幅的衰減(阻尼)和頻率的改變(頻移).阻尼和頻移的機制有朗道(Landau)和巴利耶夫(Beliaev)兩種,朗道機制是一個準(zhǔn)粒子激發(fā)吸收一個集體激發(fā)變?yōu)榱硪粋€準(zhǔn)粒子激發(fā),巴利耶夫機制是一個集體激發(fā)變?yōu)閮蓚€準(zhǔn)粒子激發(fā).其中巴利耶夫機制在能級分立的系統(tǒng)中對低能量集體激發(fā)阻尼和頻移的貢獻很小.

對于BEC動力學(xué)的研究方法主要有高溫高密度下的二流體理論方法[28-31]和低溫低密度下的平均場理論方法[32-48].其中大多數(shù)實驗研究的是低溫低密度系統(tǒng).

平均場理論框架下理論工作具體的探究方法也不盡相同,有文獻[32-35]的微擾理論、文獻[36,37]的格林函數(shù)方法、文獻[38]的二階量子場理論和文獻[39-44]的哈特里-?？?博戈留波夫(Hartree-Fock-Bogoliubov,HFB)理論.文獻[34-40]都聚焦于對實驗[27]中集體模阻尼和頻移溫度依賴的理論解釋.這些工作都有一個共同點,在求和計算各個準(zhǔn)粒子躍遷對集體激發(fā)阻尼和頻移的貢獻時,都采用了半經(jīng)典近似,即把準(zhǔn)粒子激發(fā)能譜看成是連續(xù)的而進行積分運算.與文獻[34-40]不同,文獻按分立的準(zhǔn)粒子激發(fā)頻譜來求和計算朗道阻尼或頻移.其中文獻[41-44]是本文的前期工作,文獻[41]應(yīng)用的方法與文獻[32]相同,而文獻[42-44]則在文獻[32,33]方法的基礎(chǔ)上進行了發(fā)展和改進.

文獻[32]在文獻[34]的頻率微擾理論公式中考慮元激發(fā)的弛豫而引入洛倫茲寬度 Δ,得到計算集體激發(fā)朗道阻尼的公式

文獻[32]計算阻尼的公式中含有洛倫茲寬度,應(yīng)用公式計算時,不考慮阻尼強度大的準(zhǔn)粒子共振躍遷、只考慮一部分阻尼強度小的準(zhǔn)粒子背景躍遷對阻尼的貢獻,在阻尼 γ隨洛倫茲寬度 Δ的緩變范圍內(nèi)取阻尼的計算值.由于在某些系統(tǒng)中不出現(xiàn)阻尼隨洛倫茲寬度緩變的情況,文獻[33]把文獻[32]阻尼公式中的洛倫茲半寬認(rèn)定為集體激發(fā)的阻尼

用迭代的方法計算朗道阻尼.文獻[32,33]有一個共同點,它們在考慮元激發(fā)的實際弛豫時,把三個元激發(fā)(朗道機制中相互耦合的一個集體激發(fā)和兩個準(zhǔn)粒子激發(fā))的弛豫簡單地加在一起,把 Δ/2 看作是加在一起的結(jié)果.另外,阻尼和頻移是相伴的物理現(xiàn)象,但文獻[32]只計算了阻尼,而文獻[33]雖然阻尼和頻移都計算了,但在其計算中對阻尼和頻移的物理考慮有比較大的差別.

與文獻[33]相同,文獻[42-44]也把洛倫茲半寬認(rèn)定為集體激發(fā)的阻尼,也用迭代的方法計算阻尼.但與文獻[32,33]不同,文獻[42-44]在考慮三個元激發(fā)的弛豫時,還考慮了三個元激發(fā)弛豫的正交關(guān)系,理由是三個元激發(fā)的本征函數(shù)是正交的.應(yīng)用文獻[42-44]提出的考慮元激發(fā)弛豫及其各弛豫間正交關(guān)系的方法,不僅給出了阻尼的計算公式,而且同時給出了頻移的計算公式,先用迭代的方法計算出阻尼,再根據(jù)阻尼的計算結(jié)果計算頻移,分別得到了與實驗相符或與相近實驗對比合理的理論計算結(jié)果.這些問題將在2.3節(jié)詳細說明.

總體上看,BEC中集體激發(fā)阻尼和頻移的理論研究開展不足.如前所述文獻[34-40]采用處理連續(xù)本征值元激發(fā)譜的半經(jīng)典近似方法,與實驗[24-27]中本征值分立的軸對稱系統(tǒng)有很大的差別.迄今為止,只有幾個關(guān)于兩分量玻色-愛因斯坦凝聚(twocomponent Bose-Einstein condensations,2BECs)集體激發(fā)阻尼和頻移的理論研究[45-48],它們都是采用HFB平均場理論,也都采用了半經(jīng)典近似.由于問題的復(fù)雜性,計算球?qū)ΨQ和軸對稱系統(tǒng)中集體激發(fā)的阻尼和頻移,首先要計算大量分立的元激發(fā)本征函數(shù)和本征值,數(shù)值模擬工作相當(dāng)困難,目前只有文獻[32]這一個數(shù)值模擬工作,而且研究的是較為簡單的球?qū)ΨQ系統(tǒng).這是理論工作開展不足的一個原因,但這不是主要原因.其主要原因是文獻[32-41,45-48]在考慮元激發(fā)的弛豫時,把三個元激發(fā)的弛豫簡單地相加在一起,這是值得商榷的.因為如前所述三個元激發(fā)的本征函數(shù)是正交的,例如在HFB平均場理論中,元激發(fā)本征函數(shù)和本征頻率是通過對角化系統(tǒng)巨正則哈密頓得到的.

需要說明一點,文獻[41-44]是解析研究工作,在阻尼或頻移的計算中,分別應(yīng)用了文獻[22,23]的球?qū)ΨQ和軸對稱BEC元激發(fā)分立的本征函數(shù)和本征函數(shù)解析解,而這種解析方法是在HFB平均場理論[39,40]框架下,忽略正常和反常準(zhǔn)粒子平衡密度,并通過改進托馬斯-費米近似(Thomas-Fermi approximation,TFA)得到的.這個問題將在2.4節(jié)詳細說明.

本文研究蝶形BEC中剪刀模的朗道阻尼和頻移,計算中采用文獻[27]實驗的系統(tǒng)參量,理論計算結(jié)果與實驗的測量數(shù)據(jù)相對比,進一步檢驗文獻[42-44]提出的考慮元激發(fā)弛豫及其正交關(guān)系的方法,并進行更詳細的說明,希望這種方法能夠得到推廣和發(fā)展,對研究BEC和2BECs中集體激發(fā)阻尼和頻移的工作開展有一定的參考價值.

2 關(guān)于BEC中集體激發(fā)朗道阻尼和頻移的HFB平均場理論

采用基于HFB平均場理論的博戈留波夫-德熱納(Bogoliubov-de Gennes,BdG)方程組本征函數(shù)集[22,23]和集體激發(fā)本征頻率微擾關(guān)系[39,40],分別在2.1節(jié)和2.2節(jié)簡要介紹.

采用文獻[42-44]在集體激發(fā)本征頻率微擾關(guān)系中考慮元激發(fā)弛豫及弛豫間正交關(guān)系而獲得的阻尼和頻移計算公式,在2.3節(jié)詳細討論.

采用文獻[42-44]在凝聚體基態(tài)波函數(shù)引入?yún)⒘?q =1 以消除TFA三模耦合矩陣元發(fā)散的方法,在2.4節(jié)詳細討論.

2.1 BdG方程的本征函數(shù)集

其中H0=-?2?2/(2m)+Vext(r)-μ,μ是系統(tǒng)化學(xué)勢、耦合常數(shù) g =4π?2asc/m ,asc是s波散射長度.玻色場算符 ψ(r,t) 的運動方程為

利用上述分解和近似,可以得到凝聚部分波函數(shù)滿足的方程

采用博戈留波夫變換

其中算子 L=H0+2gn0.

由(3)式還可得到描述凝聚激發(fā)部分的運動方程

(7)式改進的托馬斯-費米近似(beyond Thomas-Fermi-approximation,bTFA)解為

(8)式元激發(fā)本征函數(shù)的bTFA解為

其中

以上各式中的q 是為了消除TFA三模耦合矩陣元的發(fā)散而引入的參量,將在2.4節(jié)說明.

2.2 集體模本征頻率微擾關(guān)系及其阻尼強度和三模耦合矩陣元表達式

其中

2.3 集體激發(fā)朗道阻尼和頻移的計算公式

本節(jié)介紹本文前期工作[42-44]提出的考慮元激發(fā)弛豫及其正交關(guān)系的方法,并進行更為詳細的說明.

在文獻[32—48]中,都有集體激發(fā)頻率擾動公式

以下依次考慮三個元激發(fā)的弛豫.在計算集體激發(fā)的阻尼和頻移時,朗道機制的正向和反向躍遷都需要考慮,所謂元激發(fā)的弛豫就是指元激發(fā)的衰減或增益,在正(反)向躍遷中,集體激發(fā)和準(zhǔn)粒子激發(fā)是衰減(增益)的,準(zhǔn)粒子是增益(衰減)的,而增益和衰減分別對應(yīng)于元激發(fā)振幅隨時間變化因子中的正負號.

此時如果考慮頻移,則不考慮弛豫,所以可以令(19)式的虛部為零得到

同時得到

和

以及計算集體模頻移的公式

考慮元激發(fā)的弛豫,弛豫使元激發(fā)能級產(chǎn)生寬度,從而使躍遷的失諧增大.把替換為相當(dāng)于修改失諧,修改后的失諧比原來的失諧大,躍遷對阻尼和頻移的貢獻減小.

每考慮一個元激發(fā)的弛豫,都使失諧增大、阻尼和頻移減小,考慮三個元激發(fā)的弛豫,最終結(jié)果使失諧更大、阻尼和頻移更小.

阻尼和頻移的計算公式都是在集體激發(fā)的本征頻率微擾關(guān)系(15)式中考慮元激發(fā)的弛豫及弛豫之間正交關(guān)系得到的,而(15)式實際上就是不考慮任何元激發(fā)弛豫的頻移公式.在文獻[42—44]的研究中發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律,即如果直接用(15)式計算集體激發(fā)的頻移,理論結(jié)果比實驗結(jié)果大約大三個數(shù)量級,如果依次用考慮一個、兩個、三個元激發(fā)弛豫及其正交關(guān)系的頻移公式(21)式、(23)式、(25)式計算,理論結(jié)果依次大約減小一個數(shù)量級,最后理論結(jié)果與實驗結(jié)果相符.阻尼的計算結(jié)果與上述考慮弛豫及其弛豫之間正交關(guān)系的依賴規(guī)律相類似.

文獻[42,43]分別研究雪茄形BEC中單極子模和蝶形BEC中四極子模的朗道阻尼和頻移,分別采用文獻[26]和文獻[27]實驗的系統(tǒng)參量,理論計算結(jié)果分別與文獻[26]和文獻[27]實驗的測量數(shù)據(jù)相符.

文獻[32]和文獻[44]研究的是系統(tǒng)參量完全相同的球?qū)ΨQBEC,都計算了單極子的朗道阻尼.文獻[44]考慮了所有貢獻大的準(zhǔn)粒子躍遷,計算結(jié)果比軸對稱系統(tǒng)的實驗結(jié)果[24-27]小而合理,這是因為球?qū)ΨQ系統(tǒng)的能級比軸對稱的稀疏,失諧小的準(zhǔn)粒子躍遷比較少.而文獻[32]如前所述只考慮一部分準(zhǔn)粒子躍遷,計算結(jié)果卻比軸對稱系統(tǒng)的實驗結(jié)果大,這是因為文獻[32]在考慮元激發(fā)的弛豫時,直接把三個元激發(fā)弛豫簡單地加了起來而沒有考慮弛豫之間的正交關(guān)系.

2.4 q 值的確定

囚禁勢中BEC基態(tài)波函數(shù)一般應(yīng)該取高斯分布函數(shù)(諧振子基態(tài)波函數(shù))形式但把它代入BdG方程(8)式得不到元激發(fā)本征函數(shù)集的解析解.

文獻[42—44]取 q =1 ,以下從兩個方面說明其中的原因.

一方面,取 q =1 ,bTFA基態(tài)波函數(shù)(9)式為諧振子基態(tài)波函數(shù)(高斯分布函數(shù))的一階近似形式當(dāng)即越靠近BEC中心,基態(tài)波函數(shù)越接近高斯分布函數(shù),囚禁勢中BEC粒子保留著一定的諧振子特征.

因為TFA元激發(fā)本征值的理論計算值接近于實驗值,采用TFA的元激發(fā)本征值.因為TFA的元激發(fā)本征函數(shù)會導(dǎo)致三模耦合矩陣元的發(fā)散,采用bTFA的元激發(fā)本征函數(shù).

如前所述,文獻[44]與文獻[32]均研究系統(tǒng)參量完全相同的球?qū)ΨQBEC.文獻[44]還進行了另一種計算,也用上述解析方法,但在考慮元激發(fā)的弛豫上與文獻[32]方法相同,即在本征頻率微擾關(guān)系(15)式中引入洛倫茲寬度,也只考慮一部分阻尼強度小的準(zhǔn)粒子背景躍遷對阻尼的貢獻,在阻尼隨洛倫茲寬度的緩變范圍內(nèi)取阻尼的計算值,阻尼的解析計算結(jié)果與文獻[32]的數(shù)值模擬計算結(jié)果相符合.通過這樣一個計算對取 q =1 進行了驗證.

3 計算及結(jié)果

考慮頻率為 ωho=810 Hz,各向異性參數(shù)Λ=2.83的諧振囚禁勢中原子數(shù) N=6000 的碟形87Rb原子氣體(asc=5.82× 10-9m).研究的集體模是剪刀模 (nz,ns,m)=(0, 0, 2) ,其頻率 ω0=1.414 (以 ωho為單位),其集體模的博戈留波夫振幅以上集體模和所有參量的選取均與實驗[27]相同.BEC相變臨界溫度為 Tc=4.5(ωho/200π)(λN)1/3nK =149.2nK[1].

3.1 阻尼強度

阻尼強度采用(16)式和(17)式計算.在圖1和圖2及其插圖中,給出了各個準(zhǔn)粒子躍遷ωij(ωij=ωj-ωi,以 ωh0為單位)的阻尼強度 γij(以為單位).這些準(zhǔn)粒子躍遷服從剪刀模選擇條件mi-mj=2(其中 mi和 mj分別是準(zhǔn)粒子 ωi和ωj的方位角量子數(shù)).圖1和圖2及其插圖中的箭頭指向集體模的頻率 ωo,豎線的位置對應(yīng)允許的躍遷頻率 ωij,其高度給出 γij的計算值.

圖1 以躍遷頻率 γij為變量的剪刀模阻尼強度 ωij函數(shù)線狀圖Fig.1.Histogram of damping strength γij as a function of the transition ωij for the scissors mode in the condensate.

圖2 以躍遷頻率 γij為變量的剪刀模阻尼強度 ωij函數(shù)線狀圖 (ωij/ωho取值范圍為0—1.6)Fig.2.Histogram of damping strength γij as a function of the transition ωij for the scissors mode in the condensate,(ωij/ωho= 1—1.6).

圖1和其插圖中的躍遷頻率分別滿足- 0.6ωho＜ωij＜ 3.4ωho和 1.21ωho＜ωij＜ 1.61ωho,圖2和其插圖中的躍遷頻率分別滿足1.21ωho＜ωij＜ 1.61ωho和 1.396ωho＜ωij＜ 1.432ωho.

由阻尼強度計算公式(16)式可以看出,當(dāng)躍遷頻率 ωij＜ 0 (即 ωj＜ωi) 時,阻尼強度 γij＜ 0；當(dāng)躍遷頻率 ωij=0 (即 ωj=ωi) 時,阻尼強度 γij=0；當(dāng)躍遷頻率 ωij＞ 0 (即 ωj＞ωi) 時,阻尼強度γij＞ 0.

能級量子數(shù)大的準(zhǔn)粒子本征函數(shù)振蕩很快且極大值遠離凝聚中心,另外量子數(shù)大能級能量高,其玻色布居因子 fi0小,因此量子數(shù)大能級之間躍遷的三模耦合矩陣元小.忽略對阻尼和頻移貢獻小的躍遷,在計算中選取(0, 0,m),(1, 0,m),(0, 1,m),(2, 0,m),(1, 1,m),(3, 0,m),(0, 2,m),(2, 1,m),(4, 0,m),(1, 2,m),(3, 1,m),(5, 0,m),(0, 3,m),(2, 2,m),(4, 1,m)和(6, 0,m) 而m 滿足m ≤40的能級.上述所選能級之間的躍遷頻率范圍在圖1躍遷頻率取值范圍 - 0.6ωij＜ωij＜ 3.4ω0之內(nèi).

3.2 阻尼系數(shù)和頻移及其溫度依賴

用迭代的方法計算集體模的阻尼系數(shù).圖3給出γ0隨 γ變化的圖(γ0和 γ都以 ωh0為單位),圖中可以看出,γ0隨 γ的增加而減小,由星號表示三個點處γ0=γ,溫度 T=80 ,100,120 nK時的集體模阻尼系數(shù)值在此三點給出,分別為0.02263,0.03387,0.05546,相當(dāng)于18.33,27.43,44.92 s-1.

把(25)式改寫為

圖3 朗道阻尼系數(shù) γ0隨 γ變化函數(shù)圖Fig.3.The γ0 as a function of γ for the Landau damping rate.

圖4 凝聚體集體模的頻移(a)和朗道阻尼系數(shù)(b)隨溫度T變化Fig.4.The frequency-shift (a) and the Landau damping rate γ0(b) of the collective mode in the condensate as a function of the temperature T.

4 討 論

如前所述,采用元激發(fā)本征頻率的TFA理論計算值,因為它們接近于實驗測量值.圖4(a)中,理論曲線和實驗數(shù)據(jù)點及其誤差線錯開了一段距離,這是因為剪刀模本征頻率的TFA理論計算值與實驗測量值之間存在大約 5% 的誤差.

如前所述,TFA基態(tài)波函數(shù)(26)式是GP方程(7)式的解,而bTFA基態(tài)波函數(shù)(9)式是在(26)式中引入q 而得到的,因此(9)式相當(dāng)于(26)式有誤差,其平均誤差為

取 q =1 ,將本文選取的相關(guān)系統(tǒng)參量代入(29)式計算得其平均誤差=0.77% ,說明bTFA基態(tài)波函數(shù)(9)式近似滿足GP方程(7)式.

如前所述,只有失諧很小的躍遷才對阻尼和頻移有顯著的貢獻.本文計算頻移時考慮在圖1躍遷頻率范圍內(nèi)的躍遷,在此范圍外的躍遷對頻移的貢獻可以忽略不計.圖2的躍遷頻率范圍比圖1小而與圖1插圖相同,本文計算阻尼時考慮這個范圍內(nèi)的躍遷,在此范圍外的躍遷對阻尼的貢獻可以忽略不計.圖2插圖的躍遷頻率取值范圍只是圖2的9%,但在圖2插圖躍遷頻率取值范圍內(nèi)的躍遷對阻尼的貢獻是總阻尼的 50%.

5 結(jié) 論

在HFB平均場理論近似的朗道機制頻率擾動關(guān)系中,考慮了三個元激發(fā)的弛豫及三個弛豫的正交關(guān)系,得到計算BEC中集體激發(fā)朗道阻尼和頻移的公式.把凝聚體基態(tài)波函數(shù)取為高斯分布函數(shù)的一階近似來消除TFA近似三模耦合矩陣元的發(fā)散而實施了解析計算.采用同樣的計算方法,本文和兩個前期工作分別研究BEC中剪刀模、單極子模和四極子模,分別采用與相關(guān)實驗相同的參量,所有集體激發(fā)阻尼和頻移的理論結(jié)果分別與相關(guān)實驗結(jié)果相符合.期望本文方法能夠有助于BEC和2BECs中集體激發(fā)阻尼和頻移的研究工作,有助于探究元激發(fā)阻尼和頻移的物理機制.