劉鋒 高冬梅 蔡曉秋

1) (山東工商學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,煙臺(tái) 264005)

2) (北京郵電大學(xué)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)研究院,北京 100876)

3) (洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,洛陽(yáng) 471934)

量子相干理論是一類重要的量子資源理論,其自由操作是各種類型的非相干操作.在單體相干資源理論中,最大相干態(tài)是最重要的量子資源態(tài),它被定義為在非相干操作下可以轉(zhuǎn)化為任何其他純態(tài)的量子態(tài).但是,這一情形在多體系統(tǒng)中發(fā)生了巨大改變：不僅在有些相干度量下不存在唯一的最大相干態(tài),而且在有些非相干操作下幾乎所有純的相干多體態(tài)都不可比較(非相干操作下,量子態(tài)之間的轉(zhuǎn)換幾乎不可能).為了解決這一問(wèn)題,把非相干操作的定義擴(kuò)展為一種不能產(chǎn)生相干的量子操作,即研究一般化的相干資源理論.具體地說(shuō),基于量子資源是否來(lái)源于多體相干或者真的多體相干研究?jī)深惪赡艿牧孔淤Y源理論框架,并且指出在這些理論框架下存在合理的偏序關(guān)系(每個(gè)純態(tài)都可在非相干操作下轉(zhuǎn)換為相干度更弱的純態(tài)).另外,還證明了真的多體相干資源理論下存在唯一的最大相干態(tài).

1 引 言

量子相干沒(méi)有與之對(duì)應(yīng)的經(jīng)典量,是量子理論的顯著特征.與糾纏資源理論[1,2]類似,相干資源理論[3,4]的目的在于提供一套定量刻畫(huà)相干的框架,并且最終達(dá)到在量子技術(shù)領(lǐng)域完全理解相干的性能和局限的目的.到目前為止,單體系統(tǒng)上的相干資源理論[3,5-8]比多體系統(tǒng)上[9,10]發(fā)展的要完善得多.雖然多體系統(tǒng)上的相干資源已經(jīng)在量子密碼學(xué)[11-16],單向量子計(jì)算[17-19],非平衡庫(kù)下腔場(chǎng)演化[20]等量子信息處理領(lǐng)域得到了一定的應(yīng)用,但是對(duì)多體相干態(tài)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的深刻理解可以進(jìn)一步激發(fā)人們?cè)O(shè)計(jì)出量子信息科學(xué)中的新方案,以及研究固態(tài)物理的新工具.

作為一種資源理論,量子相干理論的廣泛應(yīng)用當(dāng)前已經(jīng)成為量子信息領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)[3,21-26].人們從量子糾纏[2]、量子非局域性[27]或者量子導(dǎo)引[28,29]等不同角度研究相干的各種量子效應(yīng).資源理論的主要任務(wù)是實(shí)現(xiàn)量子態(tài)集合的排序以及為資源態(tài)提供一種度量其屬性的方法.在這類任務(wù)中,自由操作扮演著重要角色,其中自由操作是一種映射并且它的產(chǎn)生可不消耗任何物理成本.因此,所有可經(jīng)自由操作制備的態(tài)都是自由態(tài),而非自由態(tài)體現(xiàn)資源的狀態(tài).自由操作在資源態(tài)之間建立了一種秩序：當(dāng)一個(gè)態(tài)ρ經(jīng)由某種自由操作轉(zhuǎn)變?yōu)閼B(tài)σ,則任意可由σ完成的量子信息任務(wù)也可以由ρ完成,從而ρ包含的量子資源不少于σ.

由于相干是帶有多個(gè)疊加項(xiàng)的量子系統(tǒng)的特征,可知在這種資源理論中自由操作的一種自然選擇是非相干操作[5,30].實(shí)際上,僅把非相干操作作用于各個(gè)疊加項(xiàng)只能生成非相干態(tài),而相干態(tài)克服非相干操作施加的束縛成為一種資源.另外,相干性作為一種資源,但是自由操作卻并不被認(rèn)為是更廉價(jià)的.這是因?yàn)橥杂刹僮?比如CNOT操作)比非自由操作更難實(shí)現(xiàn).在多體相干性的資源理論中,其參考基可以任意選取,有時(shí)甚至可以選擇Bell基作為參考基.但是,這種選擇通常缺乏實(shí)際的物理意義,因?yàn)锽ell態(tài)相對(duì)其他單體的直積態(tài)更難制備,需要消耗更多的物理資源.因此探索多體的完全非相干態(tài)或者兩體非相干態(tài)就非常有物理意義.從自由操作的角度看,完全非相干操作,或者兩體非相干操作,類似于糾纏資源理論中的局域操作與經(jīng)典通信(LOCC)比CNOT這種非相干操作更具有實(shí)際意義,實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)起來(lái)也較為容易[31].Du等[32]研究了純的相干態(tài)在非相干操作下的各種轉(zhuǎn)換,從而指出非相干操作建立了一種偏序關(guān)系,更重要的是證明了在選定的局域維數(shù)下最大相干態(tài)具有唯一性.最近,Wu等[31]從理論和實(shí)驗(yàn)的角度徹底解決了二維量子系統(tǒng)中態(tài)在自由操作下的轉(zhuǎn)化問(wèn)題.最大相干態(tài)可以經(jīng)由非相干操作轉(zhuǎn)變?yōu)槿魏瓮S數(shù)的其他量子態(tài),但是同維數(shù)的任何其他量子態(tài)不能經(jīng)由非相干操作轉(zhuǎn)換為該態(tài).這個(gè)態(tài)也就順理成章地成為相干度量的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn),并且在諸如單向量子計(jì)算[17,18]等量子信息任務(wù)中成為單體量子系統(tǒng)中最有用的量子態(tài).但是,這一情形在多體量子系統(tǒng)中不復(fù)存在,因?yàn)槎囿w量子系統(tǒng)中存在不等價(jià)的相干態(tài),使得量子態(tài)空間被分為幾個(gè)隨機(jī)的非相干類,其中同一類中的態(tài)可經(jīng)由非相干操作以非零的概率相互轉(zhuǎn)化,但是不同類間的態(tài)不能經(jīng)由非相干操作轉(zhuǎn)化.這一現(xiàn)象表明在多體量子系統(tǒng)中不存在唯一的最大相干態(tài).這一結(jié)果導(dǎo)致的一種極端情形是：在至少三體系統(tǒng)中,幾乎所有的純態(tài)都是孤立的,即每個(gè)純態(tài)都不能從具有相同維數(shù)的另一個(gè)純態(tài)經(jīng)由非相干操作轉(zhuǎn)換而來(lái).這一結(jié)果意味著幾乎所有的純態(tài)都不能利用非相干操作進(jìn)行比較,因此非相干操作下的多體相干資源理論是平凡的.

我們相信這一現(xiàn)象要求對(duì)相干資源理論進(jìn)行更加深入的研究,特別是審查用來(lái)建立偏序關(guān)系的非相干操作.實(shí)際上,雖然非相干操作轉(zhuǎn)移有明確的操作性解釋,但是它不是可以把非相干態(tài)映射為非相干態(tài)的最一般種類的非相干映射.換句話說(shuō),非相干操作嚴(yán)格地包含于至少一個(gè)子系統(tǒng)上的操作是非相干操作的量子操作類型中.因此,這類更廣泛的量子操作類型原則上可以建立更有意義的序列,解釋多體相干態(tài)系統(tǒng)中更清晰的結(jié)構(gòu).這也正是本文的主要目的.文獻(xiàn)[33,34]把LOCC操作擴(kuò)展為非糾纏操作.借助文獻(xiàn)[33,34]的思想,為了尋找到多體系統(tǒng)中非平凡的相干資源理論是否存在,我們?cè)谥辽僖粋€(gè)子系統(tǒng)上的操作是非相干操作的量子操作,這一最大可能的非相干操作類下研究相干資源理論.由僅在某些子系統(tǒng)上是相干態(tài),可知該量子態(tài)不是完全非相干態(tài)(FiC).進(jìn)一步地,將所有子系統(tǒng)都相干的的態(tài)稱為真正的多體相干態(tài)(GMC).從而,在多體情形下,存在兩類不同形式的相干理論：第一類中相干態(tài)是資源態(tài),自由操作是完全的非相干保護(hù)操作(FiCP)；另一類中GMC態(tài)是資源態(tài),自由操作是至少一個(gè)子系統(tǒng)上的非相干保護(hù)操作(OiCP).研究結(jié)果表明兩種形式的資源理論都是非平凡的,即不存在不等價(jià)形式的相干和孤立的資源態(tài).我們還研究了在上述理論下是否同單體系統(tǒng)類似存在唯一的多體最大相干態(tài).在FiCP操作以及三量子比特系統(tǒng)上,答案是否定的.但是,在OiCP操作的GMC 資源理論上,答案是肯定的.最大的GMC態(tài)就是廣義的GHZ態(tài).

2 準(zhǔn)備知識(shí)

定義 HM與分別是M與對(duì)應(yīng)的Hilbert空間的張量積.令第i 個(gè)子空間 Hi的維數(shù)是d ,

是該空間的一組基.

當(dāng)n 體純態(tài)

且 |ψi〉∈Hi總是基上的非相干態(tài)時(shí),稱其為FiC,否則是相干態(tài)；對(duì)于任意的 M?{1,2,···,n},如果總存在使得在任意選定的 HM的一組基上是非相干的在任意選定的的一組基上是非相干的,并且

則稱其為BiC,否則是GMC.利用凸運(yùn)算,上述概念可以擴(kuò)展到混合態(tài)：所有完全相干態(tài)記為

所有兩體非相干態(tài)記為

其中 ψ=|ψ〉〈ψ|.

量子理論中的變換Λ是完全正的保跡映射(CPTP).對(duì)于任意的 ρ∈FiC,當(dāng)映射Λ滿足Λ(ρ)∈FiC時(shí),稱其為FiCP；對(duì)于任意的 ρ∈BiC,當(dāng)映射Λ滿足 Λ(ρ)∈BiC時(shí),稱其為OiCP.設(shè)f 是一個(gè)將H上的算子映射為非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù),如果對(duì)于任意的量子態(tài)ρ和FiCP(OiCP)映射Λ,恒有 f [Λ(ρ)]≤f (ρ) ,則稱f 是FiCP度量(OiCP度量).這一要求完全類似于糾纏度量：LOCC映射下糾纏度量不增.盡管非相干操作是FiCP映射和OiCP映射的嚴(yán)格子集,一些已知的相干度量仍然是FiCP度量或者OiCP度量.比如,對(duì)于任意的CPTP映射Λ,當(dāng)距離測(cè)度 f (ρ||σ) 滿足量子運(yùn)算不增 f (Λ(ρ)||Λ(σ))≤f (ρ||σ) 的性質(zhì)時(shí),形如fΦ(ρ)=infσ∈ΦfΦ(ρ||σ)的度量具有類似的單調(diào)性,其中Φ∈{FiC,BiC}.這包括相對(duì)熵相干[5]

其中S(ρ||σ)=Tr[ρlog2ρ]-Tr[ρlog2σ]是量子相對(duì)熵；魯棒相干[35]

這里的 I都是空間H中基{|kj〉}上的集合 FiC或者 BiC.

在單體系統(tǒng)中,廣義的非相干映射(如FiCP,OiCP)下不是所有的基于非相干操作的相干度量均單調(diào).這是因?yàn)閺V義的非相干映射下的態(tài)轉(zhuǎn)移,非相干操作下可能不會(huì)實(shí)現(xiàn).為了后續(xù)理解廣義的非相干映射下資源誘導(dǎo)的偏序,首先約定若存在自由操作Λ使得 Λ(ψ)=φ,則稱量子態(tài)ψ與φ之間存在偏序關(guān)系且ψ優(yōu)于φ；若同時(shí)存在另一個(gè)自由操作 Λ′滿足 Λ′(φ)=ψ,則稱兩個(gè)態(tài)ψ和φ在相應(yīng)的資源理論下是等價(jià)的.然后研究在FiCP和OiCP下哪些純態(tài)之間的轉(zhuǎn)移可以實(shí)現(xiàn).因此,盡管我們研究的是量子態(tài)的特征,這實(shí)際上也是建立等價(jià)類的過(guò)程.本文還將證明在OiCP和GMC的資源理論下等價(jià)類的范圍比現(xiàn)有的非相干資源理論下的更大.

3 一般化的資源理論

在相干資源理論中,當(dāng)自由操作是FiCP或OiCP映射時(shí)均有如下結(jié)論.

定理1對(duì)于任意的兩個(gè)資源純態(tài)ψ和φ,總存在完全正的跡不增的FiCP(OiCP)映射Λ使得Λ(ψ)=pφ,其中 p∈(0, 1].

證明對(duì)于純態(tài)ψ,它的幾何相干[36]表示為

由定義可知,CR(φ)＞ 0 ,1＞Cg(ψ)＞ 0.從而總存在 p∈(0, 1] ,滿足

選取完全正的跡不增的映射[37]Λ使得

從而Λ(σ)/tr[Λ(σ)]∈FiC(OiC)的充要條件是1-tr(ψσ)≥p tr(ψσ)CR(φ).再結(jié)合(10)式以及tr(ψσ)≤1-Cg(ψ)可知定理1成立.

這個(gè)結(jié)論表明：在FiCP(OiCP)的相干資源理論中,不存在等價(jià)形式的相干態(tài).這與IO相干資源理論中態(tài)空間總可以分成有限個(gè)等價(jià)類完全不同.作為定理1的推論,不難得到以下推論.

推論1每個(gè)資源態(tài)都不是孤立的,即對(duì)于空間H內(nèi)的任一個(gè)資源純態(tài)ψ,在H內(nèi)總存在一個(gè)不等價(jià)的資源純態(tài)φ和CPTP的FiCP(OiCP)映射Λ使得 Λ(ψ)=φ.

證明由魯棒度量是輸入態(tài)的連續(xù)函數(shù)[38]可知,存在資源純態(tài),使得當(dāng) φ→時(shí),CR(φ)→ 0.從而,對(duì)于任意的量子態(tài)ψ,恒有Cg(ψ)＞CR()(1-Cg(ψ)).利用ψ的任意性,總可以給出一個(gè)使得 CR()／=CR() ,從而=；由(10)式可知我們能夠取得 p =1.從而(11)式中的映射可以表示為

該推論表明(13)式的自由操作類能夠建立相干資源純態(tài)之間的偏序關(guān)系,即每個(gè)資源純態(tài)都可以被映射為一個(gè)包含較少相干資源的純態(tài).在LOCC糾纏資源理論中,包括真的多體糾纏子集(GME)在內(nèi)的幾乎所有的量子態(tài)都是孤立的[39,40].但是,Contreras-Tejada等[34]指出即使在上述限制下推論1仍然成立,即保護(hù)完全可分的自由操作以及保護(hù)兩體可分的自由操作都可以把任一最大多體糾纏態(tài)映射為同類型的不相等的量子態(tài).

4 最大資源態(tài)的存在性

既然定理1和推論1都表明FiCP和OiCP操作都能克服IO多體相干資源理論的局限性,一個(gè)自然的問(wèn)題是FiCP或OiCP相干資源理論是否足夠強(qiáng)健使得系統(tǒng)有唯一的多體最大相干態(tài).如果答案是肯定的,這個(gè)唯一的多體最大相干態(tài)就應(yīng)該同單體系統(tǒng)中的最大相干態(tài)一樣處于應(yīng)用的核心地位.為了解答這一問(wèn)題,我們首先回顧一下d 維的單體系統(tǒng)H中最大資源態(tài)的描述性定義[32,34]：如果H上存在一個(gè)量子態(tài)φ,它可經(jīng)由自由操作轉(zhuǎn)化為H上任意的其他量子態(tài)(并且不存在可以把H上的其他量子態(tài)轉(zhuǎn)化為φ的自由操作),則稱φ是該類自由操作下資源理論的最大資源態(tài).我們先研究FiCP操作下相干資源理論中的情況,研究結(jié)果表明該理論框架下不存在多體的最大相干態(tài).

定理2在FiCP多體相干資源理論中,不存在 H=(C2)?3上的最大相干態(tài).

證明Contreras-Tejada等[34]證明了量子資源的幾何度量[41]是一種完全可分保護(hù)的度量方式,而W態(tài)是Hilbert空間H中完全可分保護(hù)操作下唯一的最大資源態(tài)[42].因此,如果FiCP 3-qubit相干資源理論存在最大資源態(tài),它就只能是W態(tài),也就是W態(tài)可經(jīng)由FiCP操作映射為該空間中任意的其他量子態(tài).

考慮魯棒相干度量 CR(*)：

考慮基{|0〉,|1〉}?3上的完全非資源態(tài)：σ=(|000〉〈000|+|111〉〈111|)/2.由文獻(xiàn)[44,34]可知

因此,如果W是FiCP 3-qubit相干資源理論中的最大相干態(tài),由 CR(GHZ)=CR(W)=2 可知GHZ態(tài)也是FiCP 3-qubit相干資源理論中的最大相干態(tài).在此假設(shè)下,該量子系統(tǒng)中就應(yīng)該存在一個(gè)FiCP Λ將W態(tài)映射為GHZ態(tài)：Λ(W)=GHZ.考慮完全非相干態(tài)

該no-go定理表明在 H=(C2)?3上不存在唯一的FiCP多體最大相干態(tài),這與IO下唯一的最大相干態(tài)為大不相同,其中求和指標(biāo)i 從000遍歷到111.但是,在OiCP相干資源理論中,定理3證明了在指定的Hilbert空間中存在唯一的多體最大相干態(tài).

定理3在 (Cd)?n空間上的OiCP相干資源理論中,存在唯一的最大多體相干態(tài)：

即 ?φ∈(Cd)?n,總存在一個(gè)OiCP映射Λ,使得Λ[GHZ(n,d)]=φ.

證明選取完全正的OiCP映射Λ使得

由定理1和定理2可知,Λ是OiCP映射的充要條件是CR(φ)≤Cg(GHZ(n,d))/[1-Cg(GHZ(n,d))].利用兩體的Schmidt分解方法[34,46]可知,廣義GHZ態(tài)有最大的相干度量值為Cg(GHZ(n,d)=(d- 1)/d.從而Λ是OiCP映射的充要條件是 CR(φ)≤d- 1.

因此,?φ∈(Cd)?n,總存在一個(gè)OiCP映射Λ,使得 Λ[GHZ(n,d)]=φ.

5 結(jié) 論

通過(guò)將自由操作放寬為一般的不產(chǎn)生相干的量子操作,本文建立了兩類一般化的相干資源理論框架：FiCP相干與OiCP相干.與已有的(*)IO(如IO,SIO,MIO,PIO等)相干資源理論不同,OiCP相干資源是具有唯一最大多體相干態(tài)的量子資源理論,而FiCP相干資源在3-qubit系統(tǒng)上不存在最大相干態(tài).本文中兩類一般化的相干資源理論為研究多體系統(tǒng)資源間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化提供了新的研究工具：1) 自由操作是最大的保持非資源態(tài)的操作,如果將其操作更細(xì)化,分幾個(gè)不同的層次,比如可分離的局域非相干操作加上經(jīng)典通訊,將是非常有意義的；2) 以一般相干性資源理論為基礎(chǔ),研究多體系統(tǒng)資源間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化關(guān)系與方法也是一種新穎的手段.