董海龍，高全臣，張 趙，陳汝博，劉 娜

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083)

巷道開(kāi)挖引起圍巖應(yīng)力的二次分布，二次應(yīng)力狀態(tài)往往會(huì)超出巖體屈服強(qiáng)度而產(chǎn)生塑性區(qū)[1]，圍巖塑性區(qū)的確定是巷道穩(wěn)定性評(píng)估及支護(hù)參數(shù)定量的重要依據(jù)之一，選擇合理且符合工程實(shí)際的算法至關(guān)重要。

長(zhǎng)期以來(lái)，兩向不等壓巷道圍巖塑性區(qū)的求解問(wèn)題一直沒(méi)有得到很好的解答，常用的方法主要有:① BEELLO-MALDONADO[2]、孫廣忠[3]、蔡曉鴻[4]及孫金山[5]等以軸對(duì)稱應(yīng)力場(chǎng)塑性區(qū)應(yīng)力公式為基礎(chǔ)，結(jié)合既有彈性解構(gòu)造應(yīng)力分量表達(dá)式并得出塑性邊界解(為表述方便，本文稱之為應(yīng)力構(gòu)造法)。② KASTNER[6]將依照彈性理論求解的彈性圍巖應(yīng)力直接代入塑性條件得到塑性區(qū)邊界的近似隱式方程(本文稱之為近似隱式法)。幾十年里，這一方法一直被廣泛運(yùn)用，尤其是近年來(lái)趙志強(qiáng)[7]提出“蝶形塑性區(qū)”概念以來(lái)，近似隱式法得到了很好的繼承、發(fā)展與應(yīng)用，并由此形成了“蝶形塑性區(qū)”理論[7-12]，為巷道穩(wěn)定性評(píng)估及支護(hù)方案的設(shè)計(jì)等提供了有力的理論支撐。③ 魯賓涅依特[13]、魏悅廣[14]及侯公羽等[15]則采用小參數(shù)法對(duì)兩向不等壓圓洞塑性區(qū)問(wèn)題進(jìn)行研究。④ 一些學(xué)者[16-17]運(yùn)用復(fù)變函數(shù)理論對(duì)這一課題展開(kāi)研究。各類方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)。其中，應(yīng)力構(gòu)造法求解相對(duì)簡(jiǎn)單，便于工程實(shí)踐應(yīng)用，但它一般將兩向不等壓圓巷圍巖塑性區(qū)的力學(xué)模型視為軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題，這顯然是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。近似隱式法雖能夠較好反映塑性區(qū)形狀隨側(cè)壓系數(shù)的變化規(guī)律，一定情況下會(huì)出現(xiàn)與大量數(shù)值模擬實(shí)際相仿的“蝶形”塑性區(qū);然而，將側(cè)壓系數(shù)λ=1代入近似隱式方程得到兩向等壓圓巷圍巖的塑性區(qū)半徑，并與基于成熟軸對(duì)稱平面應(yīng)變理論得到的塑性區(qū)解析半徑對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)前者存在較大的理論誤差。復(fù)變函數(shù)法以“塑性區(qū)為囊括巷道邊界的連通域”為前提不完全合理。小參數(shù)法不但計(jì)算復(fù)雜，而且側(cè)壓系數(shù)的合理取值范圍較小，嚴(yán)重制約其在工程實(shí)際中的應(yīng)用。解析算法作為確定巷道圍巖塑性區(qū)范圍的一種有效手段，非常有必要對(duì)其誤差進(jìn)行評(píng)估，以確保所得塑性區(qū)范圍的準(zhǔn)確性與可靠性。但遺憾的是，鮮有學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行相應(yīng)的研究或探討[16]。

基于這一背景，筆者以數(shù)值模擬結(jié)果為參考，連同復(fù)變函數(shù)法的解析結(jié)果，對(duì)應(yīng)力構(gòu)造法和近似隱式法的準(zhǔn)確性展開(kāi)初步的探討，旨在尋求更為準(zhǔn)確的求解兩向不等壓巷道圍巖塑性區(qū)范圍的算法。

1 理論分析模型與基礎(chǔ)

1.1 力學(xué)模型

為避免問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜，假定:① 巷道圍巖連續(xù)、均質(zhì)且各向同性;② 巷道為深埋圓形平巷，長(zhǎng)度無(wú)限大;③ 巷道處于兩向不等壓地應(yīng)力場(chǎng)中，支護(hù)荷載為均勻荷載，不計(jì)重力梯度的影響;④ 巖體為理想彈塑性材料，且塑性破壞滿足Mohr-Culomb強(qiáng)度準(zhǔn)則。

基于上述假定，所研究問(wèn)題可簡(jiǎn)化為如圖1所示的平面應(yīng)變力學(xué)模型。為便于表述，對(duì)模型基本參數(shù)作如下規(guī)定:a為巷道半徑;r為圍巖質(zhì)點(diǎn)到巷道中心的距離;θ為極角;Rp為對(duì)應(yīng)極角θ的塑性區(qū)半徑;Pi為支護(hù)荷載;P0為豎向原巖應(yīng)力;λ為側(cè)壓系數(shù);σr，σθ分別為圍巖徑向、切向應(yīng)力;R0，R90分別為水平、豎向軸上的塑性區(qū)半徑。此外，彈、塑性區(qū)相關(guān)參數(shù)用下標(biāo)i(i=e,p)區(qū)分表示。

圖1 巷道力學(xué)模型(λ>1)

1.2 λ=1時(shí)巷道圍巖彈塑性解析

λ=1時(shí)，圓巷圍巖彈塑性解析可簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題，目前對(duì)該問(wèn)題的研究已較成熟，為行文簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，此處不再贅述，根據(jù)文獻(xiàn)[18]，結(jié)果如下:

圍巖彈性區(qū)應(yīng)力為

(1)

其中，R為λ=1時(shí)圓巷圍巖塑性區(qū)半徑。彈塑性交界處的徑向應(yīng)力為

σr|r=R=(2P0-B)/(A+1)

(2)

式中，A=(1+sinφ)/(1-sinφ);B=2Ccosφ/(1-sinφ);φ為巖體內(nèi)摩擦角;C為黏聚力。

圍巖塑性區(qū)應(yīng)力為

(3)

式中，N=B/(1-A)。

塑性區(qū)半徑為

(4)

2 λ≠1時(shí)巷道圍巖塑性區(qū)近似解

長(zhǎng)期以來(lái)，兩向不等壓圓形巷道圍巖塑性區(qū)的求解問(wèn)題一直采用近似算法，其中應(yīng)力構(gòu)造法和近似隱式法常有運(yùn)用。特別是以近似隱式法為基礎(chǔ)形成的“蝶形塑性區(qū)”理論，被廣泛運(yùn)用于巷道圍巖的穩(wěn)定性分析、支護(hù)設(shè)計(jì)和冒頂災(zāi)害防治等工程實(shí)踐。下面就兩種方法的解析過(guò)程及其結(jié)果的準(zhǔn)確性展開(kāi)分析與探討。

2.1 應(yīng)力構(gòu)造法及其評(píng)估

2.1.1應(yīng)力構(gòu)造法的解析

在兩向不等壓應(yīng)力場(chǎng)巖體內(nèi)開(kāi)挖巷道，促使巖體應(yīng)力二次分布，若二次應(yīng)力未達(dá)到巖體起塑條件，則巷道圍巖僅發(fā)生彈性變形。兩向不等壓圓巷圍巖的彈性應(yīng)力[1]為

(5)

式中，x=a2/r2。

若二次應(yīng)力超出巖體的屈服強(qiáng)度而出現(xiàn)彈、塑性狀態(tài)并存的分布特點(diǎn)，圍巖的彈塑性解析就要復(fù)雜的多。就圍巖產(chǎn)生的塑性區(qū)而言，一些學(xué)者[2-4]認(rèn)為，由于初始地應(yīng)力為遠(yuǎn)方荷載，圍巖塑性區(qū)主要取決于巖體屈服的極限平衡條件，初始地應(yīng)力影響甚微。因此，可將塑性區(qū)的力學(xué)模型視為軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題進(jìn)行求解。如此，兩向不等壓圓巷圍巖塑性區(qū)應(yīng)力仍可用式(3)近似。同時(shí)，假定圍巖塑性區(qū)以外的彈性區(qū)應(yīng)力仍服從式(5)，只需將a替換為塑性區(qū)半徑rp，支護(hù)荷載Pi替換為σr|r=R即可。由此可得圍巖彈性區(qū)的切向應(yīng)力為

(6)

式中，rp為應(yīng)力構(gòu)造法確定的兩向不等壓圓巷圍巖塑性區(qū)半徑。

再根據(jù)圍巖應(yīng)力接觸條件σθe|r=rp=σθp|r=rp，聯(lián)立式(3)，(6)即可得塑性區(qū)半徑為

rp=a[(1+λ)P0+2(1-λ)P0cos 2θ-

(7)

2.1.2應(yīng)力構(gòu)造法的評(píng)估

上述應(yīng)力構(gòu)造法解析中，兩向不等壓圓巷圍巖塑性區(qū)的應(yīng)力，是依據(jù)軸對(duì)稱平面應(yīng)變理論求解的。這樣求解的前提之一是塑性區(qū)為軸對(duì)稱的圓形，但顯然這一前提不成立;并且假定塑性區(qū)以外彈性區(qū)應(yīng)力仍為式(5)的形式也是沒(méi)有理論依據(jù)的。可見(jiàn)應(yīng)力構(gòu)造法并不是準(zhǔn)確的解析算法。此外，由于λ>1的力學(xué)模型經(jīng)旋轉(zhuǎn)90°后等效于1/λ<1的情況，故不失一般性，下面以λ≤1的情況為例對(duì)其準(zhǔn)確性展開(kāi)分析。

為使分析結(jié)果直觀化，本文實(shí)例均以文獻(xiàn)[17]為準(zhǔn)，基本參數(shù)如下:a=2 m，P0=15 MPa，Pi=0 MPa，C=1 MPa，φ=30°，λ無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)為2/3。

取λ為0.3,0.4和0.5，并將實(shí)例參數(shù)代入式(7)得到應(yīng)力構(gòu)造法確定的塑性區(qū)，如圖2(a)所示。

將圖2(a)與下文圖3等條件下的數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn):λ=0.3,0.4,0.5時(shí)，二者塑性區(qū)在形狀上相差非常大;但二者水平軸上的塑性區(qū)半徑相差并不大，這一點(diǎn)也可由下文表1～3的數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)。這表明:λ=0.3,0.4,0.5時(shí)，應(yīng)力構(gòu)造法僅能確保圍巖在水平軸上塑性區(qū)半徑的精度，其余位置并不準(zhǔn)確，甚至偏差非常大。

圖2 應(yīng)力構(gòu)造法塑性區(qū)Ⅰ,Ⅱ

圖3 數(shù)值模擬結(jié)果

表1 不同黏聚力的水平軸上塑性區(qū)半徑

Table 1 Plastic radius on horizontal axis for different cohesions

C/MPaR1/mR2/mRp/mRs/m0.52.876.436.516.461.02.784.664.714.782.02.623.463.483.544.02.392.632.662.69

表2 不同φ的水平軸上塑性區(qū)半徑

Table 2 Plastic radius on horizontal axis for differentφ

φ/(°)R1/mR2/mRp/mRs/m154.2914.9015.7014.95302.784.664.714.78452.322.862.842.81602.122.202.232.33

表3 不同λ的水平/豎向軸上塑性區(qū)半徑

Table 3 Plastic radius on horizontal axis for different lateral coefficients

λR1/mR2/mRp/mRs/m0.32.98/2.02—5.04/3.425.04/3.960.42.90/2.20—4.95/3.764.96/3.780.52.85/2.404.75/2.014.85/4.084.91/3.570.62.80/2.484.65/2.754.77/4.224.84/3.480.72.76/2.544.57/3.264.68/4.304.71/3.550.82.73/2.594.52/3.714.59/4.354.55/3.910.92.70/2.644.48/4.084.49/4.394.52/4.151.02.68/2.684.40/4.404.40/4.404.41/4.41

再取λ為0.6,0.7,0.8,0.9和1.0，類似可得應(yīng)力構(gòu)造法確定的塑性區(qū)范圍，如圖2(b)所示。

由圖2(b)可知，圍巖塑性區(qū)在λ=1時(shí)為圓形;λ=0.6～1.0時(shí)近乎于橢圓，這與圖6等條件數(shù)值模擬結(jié)果基本一致。為進(jìn)一步分析應(yīng)力構(gòu)造法所得塑性區(qū)是否準(zhǔn)確，將(橢)圓短軸取出，并與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比，見(jiàn)表4。分析表4可知:隨著λ不斷靠近1，應(yīng)力構(gòu)造法相對(duì)于數(shù)值模擬法的誤差逐漸減小，在0.7～1.0范圍內(nèi)，應(yīng)力構(gòu)造法求解的塑性區(qū)較準(zhǔn)確。并且，相對(duì)于呂愛(ài)萍等[17]基于復(fù)變函數(shù)法給出的有關(guān)結(jié)果，應(yīng)力構(gòu)造法與數(shù)值模擬結(jié)果吻合得更好。

表4 “橢圓形”塑性區(qū)短軸對(duì)比

Table 4 Short axis comparison of elliptical plastic zone

參數(shù)λ0.60.70.80.91.0應(yīng)力構(gòu)造法/m2.993.403.764.094.40數(shù)值模擬/m3.483.553.914.154.41相對(duì)誤差/%16.44.44.01.60.2復(fù)變函數(shù)法/m2.753.293.714.084.40

此外，λ>1的情況與λ≤1時(shí)基本類似，即λ>1時(shí)應(yīng)力構(gòu)造法僅能確保圍巖在豎向軸上塑性區(qū)半徑的精度。因此，λ≤1(或λ>1)時(shí)，圓巷圍巖水平(或豎向)軸上的塑性區(qū)半徑可由應(yīng)力構(gòu)造法準(zhǔn)確確定，即將θ=0°或90°分別代入式(7)得

(8)

綜上，應(yīng)力構(gòu)造法雖存在一定的理論缺陷，但在λ=1的某個(gè)鄰域內(nèi)較準(zhǔn)確，而該鄰域外準(zhǔn)確度較低，甚至偏差很大。同時(shí)，應(yīng)力構(gòu)造法能夠確保λ≤1(或λ>1)時(shí)圍巖在水平(或豎向)軸上塑性區(qū)半徑的精度，這主要是水平(或豎向)軸上剪應(yīng)力為0，計(jì)算條件與軸對(duì)稱應(yīng)力場(chǎng)完全一致的緣故。

2.2 近似隱式法及其評(píng)估

大量數(shù)值模擬結(jié)果[7-12]表明，一般在λ=1的某個(gè)鄰域內(nèi)(本文實(shí)例大致在0.6～1.5范圍內(nèi))，圓形巷道圍巖塑性區(qū)近似為(橢)圓，此時(shí)，應(yīng)力構(gòu)造法求解的塑性區(qū)較準(zhǔn)確;但在該鄰域以外，巷道角部塑性區(qū)快速發(fā)展，形成“蝶形”形狀，應(yīng)力構(gòu)造法求解的塑性區(qū)形狀就存在很大的偏差?？梢?jiàn)，應(yīng)力構(gòu)造法雖能確保圍巖在水平(或豎向)軸上塑性區(qū)半徑的精度，卻無(wú)法反映圍巖塑性區(qū)形狀隨λ的變化情況。為解決這一問(wèn)題，下面引入近似隱式法。

2.2.1近似隱式法的解析

近似隱式法是目前相關(guān)理論研究的主流方法之一，其求解的圓巷圍巖塑性區(qū)在一定條件下會(huì)出現(xiàn)圓形、橢圓形和蝶形等形態(tài)，能夠較好地反映圓巷圍巖塑性區(qū)一般形態(tài)的變化規(guī)律[7-12]。其解析過(guò)程如下:

主應(yīng)力與各應(yīng)力分量間的關(guān)系[12]為

(9)

式中，σ1,σ3分別為最大、最小主應(yīng)力。

將式(9)代入Mohr-Coulomb準(zhǔn)則方程σ1=Aσ3+B可得以參量A,B及應(yīng)力分量表示的準(zhǔn)則方程

(A-1)+2B

(10)

然后將圍巖彈性應(yīng)力表達(dá)式(5)直接代入式(10)，整理后就可得塑性區(qū)邊界的隱式方程為

f(x)=k0+k1x+k2x2+k3x3+k4x4=0

(11)

由于近似隱式方程非常復(fù)雜，無(wú)法直接求出塑性區(qū)半徑的解析式。但對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題，可借助Matlab,Maple等數(shù)學(xué)軟件求解式(11)的數(shù)值解析解，進(jìn)而確定巷道圍巖塑性區(qū)范圍。值得一提的是，在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，式(11)通常存在4個(gè)根(重根除外)，可采取“去虛就實(shí)，前后對(duì)比”的原則進(jìn)行選根。即去除不合理的虛根，對(duì)于存在多個(gè)實(shí)根的情況，可對(duì)比附近角度(如θ=θ±5°)已確定的塑性區(qū)半徑大小進(jìn)行合理地選根。

2.2.2近似隱式法的評(píng)估

由于λ≠1條件下，圓形巷道塑性區(qū)并不是圓形，近似隱式法仍假定彈性區(qū)應(yīng)力為式(5)的形式其實(shí)是沒(méi)有理論依據(jù)的;將彈性應(yīng)力直接代入塑性條件來(lái)確定塑性區(qū)范圍，也是有待商榷的。因此，近似隱式法也不是準(zhǔn)確的解析算法，其誤差大小需要進(jìn)一步研究。

為此，不妨將λ=1代入近似隱式方程得到兩向等壓時(shí)圓形巷道圍巖塑性半徑的解析式為

(12)

式中，R1為近似隱式法確定的兩向不等壓圓巷圍巖塑性區(qū)半徑。

圖4 近似隱式法理論誤差

這與基于軸對(duì)稱平面應(yīng)變理論的塑性區(qū)解析半徑R的解析(式(4))并不相等;并且，代入上述實(shí)例參數(shù)對(duì)比計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，二者相對(duì)誤差較大，如圖4所示。

從圖4(a)可以明顯看出，近似隱式法在λ=1處存在較大的理論誤差，特別是對(duì)于深軟巷道圍巖塑性區(qū)，其誤差更大。如令P0=30 MPa，C=0.5 MPa，φ=25°時(shí)，得到相應(yīng)R在13 m以上，而R1僅約為3.02 m，整整相差3倍多。

綜上，近似隱式法雖缺乏理論依據(jù)，但其能較好地反映圓巷圍巖塑性區(qū)一般形態(tài)的變化規(guī)律，對(duì)于巷道圍巖狀態(tài)的估算有一定意義。值得注意的是依據(jù)近似隱式法求解的塑性區(qū)大小存在較大誤差。

2.2.3近似隱式法的修正

近似隱式法在λ=1時(shí)固然存在較大的理論誤差，但目前并沒(méi)有其它很好的辦法用以確定兩向不等壓圓形巷道圍巖塑性區(qū)的形狀?？紤]到式(8)確定的塑性區(qū)半徑在λ=1時(shí)不存在理論誤差，本文仍以近似隱式法為基礎(chǔ)確定圍巖塑性區(qū)的形狀，再結(jié)合上述推導(dǎo)的R0與R90，根據(jù)相似原理，最終相對(duì)準(zhǔn)確地確定兩向不等壓圓巷圍巖的塑性區(qū)半徑為

(13)

式中，R1|θ=0°和R1|θ=90°分別為近似隱式法確定的圍巖水平及豎向軸上的塑性區(qū)半徑。

式(13)為本文給出的兩向不等壓圓巷圍巖塑性區(qū)半徑。它不但消除了近似隱式法在λ=1時(shí)的理論誤差，同時(shí)繼承了近似隱式法能夠較好反映塑性區(qū)形狀變化規(guī)律的優(yōu)點(diǎn)。

3 算法的準(zhǔn)確性分析

3.1 數(shù)值模擬分析

為驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性，首先采用有限元軟件Abaqus建立二維模型模擬圓巷圍巖塑性區(qū)的分布。模型選用M-C準(zhǔn)則，輸入材料參數(shù)如下:彈性模量E=4 GPa、泊松比μ=0.25、密度ρ=2.5 g/cm3、黏聚力C=1 MPa、內(nèi)摩擦角φ=30°。模擬主要步驟有:① 建模，模型尺寸為50 m×50 m，圓形巷道位于模型中央，半徑為2 m；② 施加載荷與邊界條件，模型頂部邊界施加15 MPa均布豎向載荷，用以模擬上覆巖層重力引起的荷載，忽略模型自重，模型底邊設(shè)置豎直方向位移為0，左右邊界設(shè)置水平方向位移為0；③ 網(wǎng)格劃分，采用四邊形平面應(yīng)變單元將模型劃分為16 602個(gè)單元，并對(duì)巷道周邊的單元進(jìn)行細(xì)化，單元?jiǎng)澐终w呈內(nèi)密外疏的輻射狀，輻射基數(shù)為6；④ 模擬計(jì)算，模擬計(jì)算分為初始地應(yīng)力平衡和巷道開(kāi)挖2個(gè)步驟:由于模型為規(guī)則的正方形，簡(jiǎn)單添加預(yù)應(yīng)力場(chǎng)即可實(shí)現(xiàn)地應(yīng)力的平衡，豎向地應(yīng)力設(shè)置為15 MPa不變，側(cè)壓由λ控制，λ以0.1為步長(zhǎng)由0.3遞增至1.0，應(yīng)力平衡后方可進(jìn)行后續(xù)計(jì)算;巷道開(kāi)挖采用單元生死技術(shù)實(shí)現(xiàn)；⑤ 結(jié)果與分析。

考慮到λ=1時(shí)的圓巷圍巖彈塑性理論研究已較成熟，因此，先以λ=1為例，對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的誤差作簡(jiǎn)要分析，以驗(yàn)證數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。

在θ=0°由巷道內(nèi)緣到模型邊界的直線路徑上，均勻地取100個(gè)節(jié)點(diǎn)，將各節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的數(shù)值與理論結(jié)果(理論結(jié)果見(jiàn)1.2節(jié))繪制于同一坐標(biāo)系下，如圖5所示。

圖5 數(shù)值模擬結(jié)果準(zhǔn)確性驗(yàn)證

從圖5可以看出，λ=1時(shí)巷道圍巖應(yīng)力分布的理論與數(shù)值模擬結(jié)果非常接近?？梢?jiàn)，數(shù)值模擬結(jié)果較為準(zhǔn)確，可以之為基礎(chǔ)，對(duì)不同算法得到的λ≠1時(shí)巷道圍巖塑性區(qū)半徑的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

計(jì)算機(jī)一般將10-5視為0，因此，以塑性應(yīng)變等于10-5為基準(zhǔn)確定巷道圍巖塑性區(qū)邊界，得到數(shù)值模擬的不同λ下圍巖塑性區(qū)的分布情況，如圖2所示。

圖2表明:λ<1時(shí)塑性區(qū)主要向巷道兩幫發(fā)育;圍巖塑性區(qū)在λ=1時(shí)為圓形;0.5～1時(shí)，近乎于橢圓;小于0.5以后，巷道角部塑性區(qū)快速發(fā)展，形成“蝶形”形狀，模擬結(jié)果與有關(guān)文獻(xiàn)[7-10]基本類似。

3.2 算法準(zhǔn)確性對(duì)比

前文提及在λ偏離1較大時(shí)，應(yīng)力構(gòu)造法確定塑性區(qū)形狀存在很大的偏差。為此，此處以λ=0.3，0.4為例，就不同算法得到的塑性區(qū)范圍進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。分析圖6可知，λ=0.3,0.4時(shí)應(yīng)力構(gòu)造法在塑性區(qū)的形狀上存在很大偏差;近似隱式法在塑性區(qū)的大小上誤差較大;而本文算法雖與數(shù)值模擬結(jié)果仍存在一定的誤差，但已基本能反應(yīng)圍巖塑性區(qū)的分布情況。

圖6 不同算法塑性區(qū)對(duì)比

目前，以近似隱式法為基礎(chǔ)的“蝶形塑性區(qū)”理論的研究已較成熟[7-12]，就兩向不等壓巷道圍巖塑性區(qū)形狀的確定來(lái)講，近似隱式法有其優(yōu)越性，故重點(diǎn)對(duì)其求解的塑性區(qū)大小進(jìn)行探討。為避免誤差分析的偶然性，采用單因素法，對(duì)圍巖水平(或豎向)軸塑性區(qū)半徑受C，φ及λ的影響進(jìn)行分析，以期獲取相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)論(表1～3)。R1，R2，Rp和Rs分別為由近似隱式法、文獻(xiàn)[17]復(fù)變函數(shù)法、式(13)及有限元法確定的相應(yīng)塑性區(qū)半徑。

從整體上看，本文算法與數(shù)值模擬結(jié)果吻合最好，R2次之，R1最差。這說(shuō)明:

近似隱式法不僅在λ=1時(shí)存在較大的理論誤差，而且在λ≠1時(shí)也同樣存在較大的誤差。可見(jiàn)，近似隱式法雖可較好地反映圍巖塑性區(qū)形狀隨λ的變化規(guī)律[6-11]，但其求解的塑性區(qū)大小并不準(zhǔn)確。因此，本文在近似隱式法的基礎(chǔ)上，根據(jù)相似原理，消除其在λ=1時(shí)的理論誤差，使算法的準(zhǔn)確性得到一定程度的提升，具有一定的理論和工程實(shí)用價(jià)值。

本文算法求解的水平(或豎向)軸上塑性區(qū)半徑，是應(yīng)力構(gòu)造法在θ=0°(或90°)時(shí)的特例，即R0(或R90)，其與利用有限元法及復(fù)變函數(shù)法得到的相應(yīng)結(jié)果都良好吻合。但通過(guò)圖2(a)與圖6的對(duì)比可知，除能保證R0(或R90)的精度外，應(yīng)力構(gòu)造法求解的其余位置塑性區(qū)半徑并不準(zhǔn)確，甚至偏差非常大。因此，本文算法結(jié)合近似隱式法對(duì)應(yīng)力構(gòu)造法的塑性區(qū)形狀進(jìn)行優(yōu)化，具有重要意義。

4 結(jié) 論

(1)以應(yīng)力構(gòu)造法為基礎(chǔ)確定圍巖水平(或豎向)軸上的塑性區(qū)半徑;并由近似隱式法確定塑性區(qū)形狀;再根據(jù)相似原理，相對(duì)準(zhǔn)確地給出了兩向不等壓巷道圍巖塑性區(qū)的近似解。其結(jié)果可為巷道圍巖相關(guān)理論研究和工程設(shè)計(jì)提供一定參考。

(2)結(jié)合理論與數(shù)值模擬等方法分析發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力構(gòu)造法和近似隱式法都存在一定的理論缺陷。并且，前者無(wú)法反映圓巷圍巖塑性區(qū)一般形態(tài)的變化規(guī)律;后者求解的塑性區(qū)大小準(zhǔn)確度較低。這應(yīng)引起相關(guān)應(yīng)用部門的高度重視。

(3)本文算法求解的R0及R90與利用有限元法及復(fù)變函數(shù)法得到的相應(yīng)結(jié)果吻合較好，是相對(duì)準(zhǔn)確的結(jié)果;并且本文算法消除了近似隱式法在λ=1時(shí)理論誤差的同時(shí)，還繼承了近似隱式法能夠較好地反映圍巖塑性區(qū)形狀變化的優(yōu)點(diǎn)，是一種相對(duì)準(zhǔn)確的兩向不等壓巷道圍巖塑性區(qū)范圍的估算方法。