浙江省杭州市余杭區(qū)臨平第三中學(xué) 余詠娟

一、問(wèn)題的提出

課堂提問(wèn)是數(shù)學(xué)教學(xué)中互動(dòng)反饋的有效手段，是啟發(fā)式教學(xué)的有效形式，要把數(shù)學(xué)課上好、上出彩、上高效，不僅要有完整清晰的教學(xué)設(shè)計(jì)，還要有有效的問(wèn)題設(shè)計(jì)與之相呼應(yīng)。美國(guó)教學(xué)法專家斯特林·G·卡爾漢認(rèn)為：“提問(wèn)是教師促進(jìn)學(xué)生思維、評(píng)價(jià)教學(xué)效果以及推動(dòng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的基本控制手段?！比绻谡n堂中沒有高效的數(shù)學(xué)問(wèn)題，沒有循序漸進(jìn)的設(shè)問(wèn)，課堂就會(huì)顯得比較單薄，顯得沒那么有靈氣；教師與學(xué)生的溝通會(huì)就會(huì)顯得呆板，沒那么生動(dòng)；學(xué)生在課堂會(huì)也會(huì)學(xué)得比較機(jī)械，思維的深度會(huì)也會(huì)受到很大的影響。

有效的問(wèn)題能使學(xué)生產(chǎn)生困惑，同時(shí)促使他們積極思考，從而發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，并主動(dòng)去解決新問(wèn)題。所以，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)從問(wèn)題開始，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題。在教學(xué)中要充分了解學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)能力水平，提出的問(wèn)題要恰到好處，問(wèn)題既不過(guò)分難，又不過(guò)分簡(jiǎn)單，提出問(wèn)題的方式要引起學(xué)生的興趣和好奇心，語(yǔ)言要有情趣，內(nèi)容要有較豐富的直觀背景，要不斷引導(dǎo)學(xué)生多思、多問(wèn)、多動(dòng)手，促使學(xué)生的注意、記憶、思維高度凝聚，讓他們?cè)谧⒁饬ψ罴?、思維最活躍的狀態(tài)下進(jìn)行嘗試和創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。因此，筆者認(rèn)為課堂問(wèn)題的設(shè)計(jì)必須遵循一定的策略。

二、數(shù)學(xué)課堂中問(wèn)題設(shè)計(jì)有效性具體操作中的幾點(diǎn)策略

1.課堂中設(shè)計(jì)有層次的問(wèn)題,優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程

問(wèn)題的呈現(xiàn)應(yīng)該有一定的層次，這樣有利于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和對(duì)知識(shí)的不斷領(lǐng)悟，能激起學(xué)生思維的波瀾涌動(dòng)。這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)也符合維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，該理論認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)有兩種水平，一種是目前已達(dá)到的水平，一種是潛在可能達(dá)到的水平，這兩種水平之間的距離就是最近發(fā)展區(qū)。教學(xué)中，我們的問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)該符合這樣的狀態(tài)，不要把問(wèn)題拔得比較高，這樣不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)，最好做到跳一跳能達(dá)到的狀態(tài)，這就需要老師在課堂中設(shè)計(jì)不同層次的問(wèn)題把難度分解。

例如：某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出8 臺(tái)。為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。調(diào)查表明，這種冰箱的售價(jià)每降低50 元，平均每天就能多售出4 臺(tái)。如果你是市場(chǎng)調(diào)研員，你將建議冰箱銷售價(jià)定為多少，使得商場(chǎng)獲利4800 元？盡可能多？說(shuō)明理由。

為幫助學(xué)生解決問(wèn)題,我們將問(wèn)題分解，并設(shè)計(jì)出4 個(gè)小問(wèn)題，層層深入。

問(wèn)題1：如何理解冰箱銷售量與銷售定價(jià)之間的關(guān)系？

問(wèn)題2：如何理解商場(chǎng)每天銷售冰箱獲得利潤(rùn)與銷售定價(jià)之間的關(guān)系？

于是發(fā)現(xiàn)，冰箱銷售利潤(rùn)與銷售定價(jià)之間滿足二次函數(shù)的關(guān)系。任取三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，代入二次函數(shù)關(guān)系式，可求出兩個(gè)解析式。

問(wèn)題3：要使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到4800 元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？

問(wèn)題4：商場(chǎng)每天能獲得5000 元的利潤(rùn)嗎？5200 元呢？試用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行說(shuō)明。

根據(jù)上面問(wèn)題中的式子中，令y=5000,y=5200,看所得到的方程是否有解來(lái)說(shuō)明，或者是利用二次函數(shù)的最大值來(lái)說(shuō)明。

通過(guò)這樣四個(gè)問(wèn)題的分解，學(xué)生對(duì)這個(gè)習(xí)題有了系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步了解了方程與函數(shù)的關(guān)系。在求解的過(guò)程中解決了新問(wèn)題，有利于突破二次函數(shù)在利潤(rùn)問(wèn)題中的應(yīng)用，把低層次的知識(shí)變?yōu)楦邔哟蔚闹R(shí)，如此循環(huán)往復(fù)，可以使學(xué)生把數(shù)學(xué)的思想方法應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)中去。

2.在關(guān)聯(lián)點(diǎn)處設(shè)計(jì)深度的問(wèn)題，新課一氣呵成

在學(xué)習(xí)新的知識(shí)時(shí)，學(xué)生要把新授課中的關(guān)聯(lián)點(diǎn)前后連接起來(lái)才能形成思路，但是學(xué)生往往在這些關(guān)聯(lián)點(diǎn)處出現(xiàn)思維障礙，不易形成連貫的思維。教師若能在受阻關(guān)聯(lián)點(diǎn)處設(shè)置合理的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生由一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)邁向另一個(gè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，新學(xué)的知識(shí)就會(huì)一氣呵成。

例如：證明命題“三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°”是真命題。

已 知： ∠A、 ∠B、 ∠C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，求證：∠A+∠B+∠C=180°。

學(xué)生很快就找到方法，過(guò)A點(diǎn)作直線MN∥BC，很快就證得。

問(wèn)題1：你怎么想到“過(guò)A點(diǎn)作直線MN∥BC”？

問(wèn)題2：還有其他轉(zhuǎn)移方法嗎？

學(xué)生：作射線BD，過(guò)C點(diǎn)作CE∥AB，如上圖，∵CE∥AB，∴ ∠1= ∠A， ∠2= ∠B， 而 ∠C+ ∠1+ ∠2=180 °，∴∠A+∠B+∠C=180°。

問(wèn)題3：我們是否把頂點(diǎn)放在B處？我們可以通過(guò)作平行線把我們想要的角放在我們想要的位置，轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角。

問(wèn)題4：這個(gè)平角是否可以放在BC邊的任何位置呢？又該如何實(shí)現(xiàn)角度的轉(zhuǎn)移？

問(wèn)題5：你們還有其他的思路嗎？本題解決問(wèn)題的主要方法或數(shù)學(xué)思想是什么？

其實(shí)我們發(fā)現(xiàn)平角的頂點(diǎn)可以放在任何位置，它們共同的思路就是利用平行線的性質(zhì)把三個(gè)角進(jìn)行轉(zhuǎn)移。本題的三個(gè)思維關(guān)聯(lián)點(diǎn)是：（1）添加平行線；（2）平角頂點(diǎn)的任意性；（3）提煉轉(zhuǎn)化思想。問(wèn)題1 引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)平行線是轉(zhuǎn)化角的工具，初步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。問(wèn)題2、3、4 以作平行線為手段，把平角的頂點(diǎn)放在C點(diǎn)，B點(diǎn)，BC邊的任意位置，最后放在平面中的任意位置，到此，學(xué)生思維火花四射。

新課內(nèi)容的關(guān)聯(lián)點(diǎn)并不多，如能在關(guān)聯(lián)點(diǎn)處精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，則可以起到畫龍點(diǎn)睛的作用，讓學(xué)生舉一反三，對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法做到心領(lǐng)神會(huì)，融會(huì)貫通。

3.在發(fā)散點(diǎn)處設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題，做到數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)一

在數(shù)學(xué)課堂中，教師要準(zhǔn)確把握問(wèn)題的發(fā)散點(diǎn)，并在發(fā)散點(diǎn)設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題，這樣可以達(dá)到以一當(dāng)十的練習(xí)效果，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維。通過(guò)對(duì)發(fā)散點(diǎn)的確立以及問(wèn)題的追問(wèn)，有利于學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的深入了解，促使學(xué)生去歸納和整合，優(yōu)化自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如：已知梯形的上底為8，下底為15，一腰長(zhǎng)為6，則另一腰a的取值范圍為__________。

分析：這個(gè)題目的難點(diǎn)是取值范圍和作圖，其實(shí)范圍問(wèn)題的核心還是腰a的值的幾何刻畫與代數(shù)刻畫。我們很快發(fā)現(xiàn)，代數(shù)刻畫按目前知識(shí)做不到，這樣自然想幾何刻畫，那我們馬上聯(lián)想到幾何長(zhǎng)度的范圍在三角形中有，這里自然就有幾種畫法了。

問(wèn)題1：是否可以考慮作輔助線？

本題的發(fā)散點(diǎn)：在梯形中如何去作輔助線，然后找到合理的三角形和最基本的四邊形（平行四邊形，正方形、矩形）？

問(wèn)題2：你們能否用這個(gè)添輔助線的方法解決下面這個(gè)問(wèn)題：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E、F、G分別是BD、AC、DC的中點(diǎn)。已知梯形的兩底差是6，兩腰和是12，則△EFG的周長(zhǎng)是______。

首先我們應(yīng)該讓學(xué)生聚焦在周長(zhǎng)上，我們很快發(fā)現(xiàn)兩條已經(jīng)是中位線了，還有一條不是，那就要找三角形讓它也變成中位線，那連接BF就可以，學(xué)生就非常清楚了，現(xiàn)在再來(lái)總結(jié)這條輔助線的特點(diǎn)，學(xué)生永遠(yuǎn)就不會(huì)忘了。

問(wèn) 題3：在 梯 形ABCD中,AD∥BC, 對(duì) 角 線AC⊥BD, 若AC=12,BD=9，則梯形的面積為_______，中位線為______。

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，我覺得先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考梯形面積的求解的通法，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題無(wú)法求解，這時(shí)老師可以適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化。首先會(huì)想到割，因?yàn)閷?duì)學(xué)生的思維來(lái)說(shuō)這樣比較容易思考。

問(wèn)題4：兩個(gè)三角形△ABC與△ADC的面積分別為多少？我們可設(shè)OD為a，那么通過(guò)代數(shù)的運(yùn)算就解決了。

問(wèn)題5：如果用補(bǔ)的思想，平移AC到D，梯形面積會(huì)變成什么？變成三角形面積，問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

在發(fā)散點(diǎn)設(shè)計(jì)有效問(wèn)題，讓學(xué)生在平面幾何問(wèn)題中通過(guò)這樣的思考，會(huì)加深印象，進(jìn)一步感受到割補(bǔ)法的魅力與轉(zhuǎn)化思想的重要性，學(xué)生會(huì)自然而然地感受到里面的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

4.在拓展處設(shè)計(jì)合理的問(wèn)題，加強(qiáng)知識(shí)梳理的能力

很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題中存在拓展點(diǎn)，教師可以對(duì)一個(gè)基本問(wèn)題進(jìn)行巧妙引導(dǎo)，把學(xué)生的思路引向問(wèn)題的拓展點(diǎn)，并在拓展點(diǎn)處設(shè)問(wèn)，挖掘思維的深度，這樣學(xué)生思維的條理性和創(chuàng)造性得以培養(yǎng)。通過(guò)典型例題找準(zhǔn)拓展點(diǎn)，進(jìn)行適度的拓展預(yù)設(shè)，不斷地就拓展點(diǎn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行追問(wèn)，既有利于知識(shí)的梳理，又可以查漏補(bǔ)缺，達(dá)到拓展提升的目的。

問(wèn)題1：做這題你的主要方法是什么？你有怎樣的收獲？

分析：這個(gè)問(wèn)題以函數(shù)為背景,綜合考查了四邊形、方程、函數(shù)、分類討論等相關(guān)知識(shí)與核心思想方法，能較好地考查學(xué)生綜合運(yùn)用解析幾何的能力。然而反觀原題，總給人一種意猶未盡之感。其實(shí)我們對(duì)這樣的問(wèn)題可以創(chuàng)新和開發(fā)出很多新的問(wèn)題。

我們可以發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題的兩個(gè)拓展點(diǎn)：直線的形式發(fā)生改變，直線由定直線變成了動(dòng)直線或是另外曲線；雙曲線的形式發(fā)生改變。

（1）當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)yB=2yA，點(diǎn)H是BG的中點(diǎn)時(shí)，證明G是HC的中點(diǎn)，并求出雙曲線的解析式。

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（1）求b的值；

（2）求B的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)-2＜x＜4 時(shí),求使得四邊形AODP為菱形的點(diǎn)P坐標(biāo)。

問(wèn)題5：當(dāng)曲線發(fā)生改變時(shí)，解決這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)生改變嗎？

通過(guò)這些問(wèn)題的拓展，可以讓學(xué)生感受到這類問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)一步掌握解析幾何的共同點(diǎn)，從幾何中找到合理的方程。同時(shí)，通過(guò)問(wèn)題跟進(jìn)式的探究學(xué)習(xí)，可以為課堂節(jié)省很多時(shí)間，同時(shí)也不減少課堂容量，使得探究不再是難事，進(jìn)一步提高課堂效率。還可以讓學(xué)生參與問(wèn)題的編擬，讓學(xué)生進(jìn)行再次發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題及解決問(wèn)題的探究嘗試，理解這類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而進(jìn)行“再創(chuàng)造”。

課堂問(wèn)題的設(shè)計(jì)是一門教學(xué)藝術(shù)，有效問(wèn)題的設(shè)計(jì)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)概念的生成、理解，有利于學(xué)生對(duì)例題和習(xí)題的求解、歸納、延伸等，有利于數(shù)學(xué)思想方法的提煉。我們必須重視課堂問(wèn)題的設(shè)計(jì)，最大限度地提升課堂教學(xué)的有效性。