何 為

（廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，廣東廣州510006）

1 概念介紹

陣列信號處理是在空間中以特定方式排列一組天線以組成天線陣列，可用于檢測空間信號并估計信號的數(shù)量、波達(dá)方向和位置參數(shù)等。與單根天線相比，天線陣列可以更靈活地控制天線的主瓣指向，獲得更高的輸出增益和空間分辨率，并且可以有效地抑制噪聲和干擾。在過去的幾十年中，陣列信號處理廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域[1-3]，如：雷達(dá)、聲納、移動通信等。

1.1 波達(dá)方向估計

一個信源可能存在多種不同傳播路徑和波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA），經(jīng)過幾十年的快速發(fā)展，出現(xiàn)了許多DOA估計算法，如Capon法、多信號分類法（multiple signal classification，MUSIC）、旋轉(zhuǎn)不變子空間法（estimation of signal parameters via rotational invariance techniques，ESPRIT）等。

1969 年，Capon[4]提出了最小方差譜估計法（Minimum Variance Spectral Estimate Method，MVM），與波束成形法相比，MVM算法在提高天線陣列的測向分辨能力方面得到了突破性進(jìn)展，大大提高了目標(biāo)的空間分辨率。然而，這兩種方法依然沒有在估計性能方面取得質(zhì)的突破。

1986年，Schmidt[5]提出了MUSIC多信號分類法，該算法核心是信號子空間與噪聲子空間正交，由于MUSIC算法的提出，天線陣列的分辨能力得到極大的提升。

1989年，Roy[6]提出了旋轉(zhuǎn)不變子空間算法，這是一種低復(fù)雜度的方法，該方法利用子空間信號的不變特性來進(jìn)行DOA估計，在沒有峰值搜索的情況下，可以直接給出信號的波達(dá)角度估計，而且還減少了計算量。

1.2 陣列模型

一般來說，天線陣列分為線性陣列、平面陣、立體陣。本文主要研究線性陣列，其中一種是均勻線性陣列（Uniform linear array，ULA），另一種是非均勻線性陣列，互質(zhì)線性陣列（Co-prime linear array，CLA）屬于非均勻線性陣列。

圖1 均勻線性陣列（ULA）

圖2是互質(zhì)線性陣列，M和N都是表示天線的數(shù)目，它們在數(shù)字上是互質(zhì)的關(guān)系。顯然，可以把互質(zhì)線性陣列看成是由兩個均勻線性陣列疊加而成的。子陣列M天線之間的間距子陣列N天線之間的間距整個互質(zhì)線性陣列的天線數(shù)為M+N-1。圖1和圖2中的θ均為天線接收信號的角度。

圖2 互質(zhì)線性陣列（CLA）

互質(zhì)線性陣列的主要特點是具有稀疏性，在相同天線數(shù)的情況下，互質(zhì)線性陣列的孔徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于均勻線性陣列。

2 數(shù)據(jù)模型

假設(shè)有來自于 θ=[θ1，θ2，…，θk]的 k 個不相關(guān)、遠(yuǎn)場、窄帶的源信號沖擊天線陣列，天線陣列所接受的信號是平面波。為了不失一般性，圖3就是以任意方式排列的天線陣列模型。假設(shè)陣列由M個全向天線組成，每個天線可視為點陣元，現(xiàn)信源信號從（θ，φ）方向入射陣列，入射信號可視為平面波，由此建立一個直角坐標(biāo)系，參考陣元P0位于坐標(biāo)系原點，θ為俯仰角，φ為方位角。第m個天線的位置為Pm（xm，ym，zm），m∈[0，M-1]。

均勻線性陣列的接收信號模型為

其中，導(dǎo)向向量 A=[1，ejω，…，ejω（P-1）]T，s（t）是信號向量，n（t）是高斯白噪聲。

圖3 陣元任意排列的天線模型

互質(zhì)線性陣列有兩種結(jié)構(gòu)，一種是把互質(zhì)線性陣列分解成兩個子陣列，另一種是把互質(zhì)線性陣列當(dāng)成一個整體。

互質(zhì)線性陣列分解成兩個子陣列：子陣列1和子陣列2，接收信號模型分別為

整體的互質(zhì)線性陣列的接收信號模型為

進(jìn)一步簡化可以寫成

式（2）中子陣列1的導(dǎo)向向量A1=[a1（θ1），a2（θ2），…，a1（θk）]，n1（t）表示子陣列1的噪聲。式（3）中子陣列2的導(dǎo)向向量A2=[a2（θ1），a2（θ2），…，a2（θk）]，n2（t）表示子陣列2的噪聲。式（5）中總的導(dǎo)向向量A=[a（θ1），a（θ2），…，a（θk）]，a（θk）=「a1（θk）T，a2（θk）T」T，高斯白噪聲n（t）=[n1（t）T，n2（t）T]T。式（2）～（5）中信號向量s（t）=[s1（t），s2（t），…，sk（t）]T。

3 方法分析

DOA估計方法一直是陣列信號處理領(lǐng)域熱門的研究課題之一，目前，非均勻線性陣列的DOA估計方法已有了新的研究進(jìn)展，其中一種方法是將互質(zhì)線性陣列分解成兩個子陣列，如圖4所示。

圖4 互質(zhì)線性陣列的分解

這兩個子陣列都是均勻線性陣列，這樣我們就可以利用子陣列的均線性質(zhì)，分別對子陣列使用算法處理得到需要估計的真實角度。但是這種方法也存在一些不足之處：首先是損失了自由度，自由度D的取值只能是D=min｛M-1，N-1｝，而不分解的互質(zhì)線性陣列的自由度是D=M+N-2。還有精確度的損失，由于分解成兩個子陣列，存在互信息量的損失，也大大降低了估計的精確度。為了更好地解釋清楚這個問題，現(xiàn)具體舉例來說明，有一個互質(zhì)線性陣列，第1個子陣列的天線數(shù)M=3，第2個子陣列的天線數(shù)N=5，總的天線數(shù)S=M+N-1=7。

如果把1個互質(zhì)線性陣列分解成兩個子陣列，則從式（2）、（3）中可知，第1個子陣列協(xié)方差矩陣為

第2個子陣列協(xié)方差矩陣為

總的協(xié)方差矩陣為

如果不對互質(zhì)線性陣列進(jìn)行分解，則天線陣列接收信號總的模型為

其中C為校驗矩陣，它由兩個子陣列在整個互質(zhì)線性陣列中的位置決定，具體來說，7根天線的互質(zhì)線性陣列模型的校驗矩陣為

總的協(xié)方差矩陣為

比較式（8）和式（11）不難看出，式（8）中只利用了自信息量，而式（11）中既使用了自信息量，又使用了互信息量，沒有出現(xiàn)信息量的缺失。

在算法選擇方面，MUSIC算法要進(jìn)行整個角度域的搜索，還受到搜索角度步長的影響，比如真實角度θt=35.66°，設(shè)置搜索步長為0.1，這樣DOA估計的精確度就低，設(shè)置搜索步長為0.001，就會增加算法的復(fù)雜度。若要估計兩個角度為搜索步長的設(shè)置上既要考慮到估計的精確度又要兼顧算法的復(fù)雜度有些許困難，如果估計角度為3個或3個以上，就會更加凸顯它的不足。Root-MUSIC算法能夠在兼顧精確度的情況下，有效降低復(fù)雜度，因為這個算法避免了全角度域的搜索。

4 仿真與分析

本節(jié)對三種不同類型的線性陣列：與互質(zhì)線性陣列相同天線數(shù)的均線線性陣列（ULA）、互質(zhì)線性陣列（整體）和互質(zhì)線性陣列（將其分解為兩個ULA），使用Root-MUSIC算法進(jìn)行仿真并分析仿真結(jié)果，主要從精確度和復(fù)雜度兩方面進(jìn)行分析。

定義 均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）為

其中，Q 表示信源數(shù)，L 表示 Monte-Carlos循環(huán)數(shù)，L 取 500，是第 L 次 Monte-Carlos的估計角度，θq表示真實角度。

4.1 精確度

圖5和圖6分別從信噪比（SNR）和快拍（Snapshots）進(jìn)行了精確度的仿真。通過仿真結(jié)果分析得知，Co-prime線性陣列的效果優(yōu)于ULA，在天線數(shù)目相同的情況下，Co-prime線性陣列的孔徑比ULA大，孔徑大會增加DOA估計的精確度，而ULA中天線之間相互距離只有半個波長，會存在相互干擾的情況。把Co-prime線性陣列作為整體進(jìn)行DOA估計的精確度優(yōu)于把Co-prime線性陣列分解成兩個ULA，這是因為整體的Co-prime線性陣列中沒有丟失互信息量，而分解成兩個ULA后，只利用了自信息量，丟失了互信息量。

圖5表示不同信噪比下RMSE，其仿真參數(shù)：信源數(shù)為2，入射角度為15°與30°，快拍數(shù)為200，總的天數(shù)為11，子陣列1的天線數(shù)為5。圖6表示不同快拍數(shù)下RMSE，其仿真參數(shù)：信噪比（SNR）為10 dB，剩余仿真參數(shù)同圖5。

圖5 不同信噪比下的RMSE變化圖

圖6 不同快拍數(shù)下的RMSE變化圖

4.2 復(fù)雜度

在現(xiàn)代社會，高效率始終是人們不懈的追求。在DOA估計算法中，整個算法運行時間是評估算法復(fù)雜度的重要指標(biāo)。仿真結(jié)果如圖7所示，它顯示了不同方法的運行時間，每個方法循環(huán)了1 000次，然后取平均時間。方法1表示Root-MUSIC算法用于ULA，方法2表示整個Co-prime線性陣列上使用Root-MUSIC算法，方法3是Co-prime分解成兩個ULA在使用Root-MUSIC算法。

仿真軟件版本：Matlab R2016a，計算機(jī)基本配置參數(shù)：Window10 64位操作系統(tǒng)，CUP：Inter Xeon E5-1620，3.5 GHz，內(nèi)存：64.0 GB。仿真參數(shù)同圖 5。

圖7 不同方法的運行時間比較

進(jìn)一步分析可知，ULA的孔徑很小，根據(jù)Root-MUSIC的原理，運行時間最短，效率高。互質(zhì)線性陣列（2×ULA）的運行時間是最慢的，效率最低，因為互質(zhì)線性陣列被分解為兩個ULA分別處理，每個單獨的ULA能得到等效角度，再通過真實角度與等效角度的數(shù)學(xué)關(guān)系得到候選角度，再對候選角度進(jìn)行對比，最終得到DOA估計角度，上述過程都增加了算法復(fù)雜性和降低了效率。而對整個互質(zhì)線性陣列進(jìn)行處理的速度優(yōu)于分解成兩個ULA單獨處理，復(fù)雜度明顯降低，效率中等。

5 結(jié)語

本文介紹了陣列信號處理的基本理論，對比了三種類型的線性陣列，認(rèn)為互質(zhì)線性陣列結(jié)構(gòu)優(yōu)于ULA，主要是它的稀疏特性使其具有更大的孔徑，把互質(zhì)線性陣列分解為兩個ULA，雖然保留了陣列的均勻特性，但是這種方法失去了互信息量并且自由度低。MUSIC算法由于搜索步長的關(guān)系，在實際應(yīng)用中存在局限性。整個互質(zhì)陣列使用Root-MUSIC算法可疊加兩個子陣列的接收信號，可以同時獲得自信息量和互信息量，并且提高了自由度，實現(xiàn)了精確度與復(fù)雜度的性能平衡，對指導(dǎo)實際應(yīng)用具有極大的價值。