孫立偉，鐘宜生，姜雨石

（1. 哈爾濱建成集團有限公司，哈爾濱，150030；2. 清華大學(xué)，北京，100084；3. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，哈爾濱，150001）

0 引 言

舵機是精確制導(dǎo)武器制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計中的必要組成部分。在實際工作中，電動舵機部分參數(shù)會隨工況變化，且受不穩(wěn)定載荷的影響，導(dǎo)致舵機控制精度和魯棒穩(wěn)定性下降。因此，如何提高電動舵機魯棒性受到越來越多的關(guān)注。樊澤明[1]等設(shè)計了電動舵機混合靈敏度H∞魯棒控制器，吳春[2]等完成了基于障礙Lyapunov 函數(shù)的輸出有界全局收斂魯棒控制，兩種方法有效提高了對象對參數(shù)攝動的魯棒性，但是保守性強，結(jié)構(gòu)復(fù)雜；張月玲[3]和孫章軍[4]等基于滑模變結(jié)構(gòu)原理分別設(shè)計了舵機滑?？刂破鳎行岣吡硕鏅C的動態(tài)品質(zhì)，但在實際應(yīng)用中存在高頻抖振。周林陽[5]和林大鵬[6]等針對電動舵機設(shè)計了自抗擾控制器，有效保證了舵機的魯棒性，但未對該方法的魯棒穩(wěn)定性進行分析與證明。楊書生[7]等針對永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)，應(yīng)用信號補償?shù)聂敯艨刂品椒?，該方法取得了較好的控制效果。

本文針對電動舵機，提出了一種基于魯棒信號補償?shù)目刂品椒?。將實際受控對象視為由一標稱受控對象加上參數(shù)攝動，針對標稱受控對象設(shè)計了一階濾波的PID 控制算法，針對參數(shù)攝動項，設(shè)計了魯棒干擾補償控制器對參數(shù)攝動項引起的“等價干擾”進行精確補償，并給出了算法魯棒穩(wěn)定性的證明過程。

1 電動舵機模型及不確定性分析

1.1 舵機模型

受控對象為帶減速器的直流無刷電機。忽略粘性摩擦的影響，無刷直流電機動態(tài)方程可表示為

式中ud為電樞電壓；e 為電機反電勢；R 為電樞回路總電阻；id為電樞電流；L 為電樞回路總電感；Te為電磁力矩；TL為負載總力矩；GD2為折算到電機軸上的飛輪慣量；n 為電機輸出轉(zhuǎn)速；Ce為反電勢常數(shù)；Cm為轉(zhuǎn)矩常數(shù)。

定義下列常數(shù)：電樞回路的電磁時間常數(shù)，T1=L /R，電機的機電時間常數(shù)Tm=GD2R/375CeCm。

電動舵機的結(jié)構(gòu)框圖如圖1 所示。

圖1 電動舵機閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu) Fig.1 The Structure About Closed-loop Control System of Electric Actuator

1.2 不確定性分析

在實際工作中，電機參數(shù)會隨著溫度、轉(zhuǎn)速等條件的變化而改變?？蛰d時受控對象模型為

此外，舵機推動舵面時要承受較大鉸鏈力矩，其變化勢必引起舵機動態(tài)特性的變化。因此含有參數(shù)攝動和力矩擾動的實際受控對象可描述為

令受控對象的標稱模型為

則實際受控對象可描述為

定義向量θy(t)為

a）假設(shè)1：TL及其微分均為分段連續(xù)時變且一致有界的函數(shù)，且其幅值已知；受控對象參數(shù)不確定界已知。

b）假設(shè)2：θr是已知分段連續(xù)時變且一致有界的函數(shù)。

從假設(shè)1、假設(shè)2 及式（7）可以得到：

c）假設(shè)3：式（8）中的正實數(shù)δk滿足δk＜k0。

2 控制器設(shè)計

考慮到傳感器信號含有噪聲，針對標稱受控對象，設(shè)計一階濾波PID 控制器。在此基礎(chǔ)上設(shè)計魯棒補償器，抑制等價干擾對閉環(huán)系統(tǒng)的影響?？刂葡到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖2 所示。

圖2 基于信號補償?shù)聂敯艨刂葡到y(tǒng) Fig.2 Block Diagram of Robust Control System Based on Signal Compensation

圖2 中，GK為針對標稱受控對象設(shè)計的PID 控制器，有：

由此可得標稱系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)如下：

為抑制等價干擾q，期望魯棒補償器輸出為

由于v*中包含了輸出θy(t)的微分，在實際系統(tǒng)中不可實現(xiàn)，故引入魯棒濾波器構(gòu)成魯棒補償器如下：

式中F(s)為魯棒濾波器。為消除v*中的微分項，魯棒濾波器的相對階需大于或等于3。本文考慮如下所示的魯棒濾波器：

式中f 和g 為魯棒濾波器參數(shù)，為正常數(shù)。若f 和g充分大，則魯棒濾波器帶寬足夠大，式（13）給定的補償信號v 充分接近式（12）給定的期望魯棒補償信號，從而充分抑制等價干擾q 的影響。由式（13）和（14），有：

本文設(shè)計的舵機角度跟蹤控制器為線性定常控制器，其階次由標稱控制器階次和舵機模型相對階確定。

對式（3）中受控對象，利用H∞方法，設(shè)計結(jié)果是保守的，利用μ綜合方法，所得控制器階次會很高。

3 魯棒特性分析

用θym(t)表示標稱閉環(huán)系統(tǒng)的輸出，則，

定義角度跟蹤誤差、誤差向量為

對于有界的θr，存在正實數(shù)χ 滿足不等式：

從式（8）及（18）可得：

定理：若假設(shè)1～3 成立，則由式（9）及（15）構(gòu)成的控制器可實現(xiàn)魯棒角度跟蹤控制，即對任意給定的正實數(shù)ε，存在正實數(shù)f *與g*及t*，若f≥f*，g≥g*以及f＞＞g 時，則

若初始條件滿足Eθ(0)=0，則

證明：根據(jù)式（9）、（11）、（16）和（17）可得

式中eθ( s )為角度跟蹤誤差 eθ( t)的拉氏變換由式（20）可得：

式中Ai（i=1，2，…,5）是與誤差初始狀態(tài)有關(guān)的實數(shù)，若誤差初始狀態(tài)為零，則Ai（i=1，2，…，5）亦為零。

式（14）可改寫為如下形式：

式中h 為任意給定的正實數(shù)。從式（18）可得：

其中

若f 與g 充分大且有f>> g>> h ，則|k11|、|k12|、|k2|和|k3|均小于一個與f、g 無關(guān)的正實數(shù)，因此下式成立：

式中γ1為與f 與g 無關(guān)的正實數(shù)。此外，

式中γ2為獨立于f 與g 的正實數(shù)。因此有下式成立：

式中γ0=γ1γ2。

由式（21）及（25）可得：

相似地可以推導(dǎo)出：

綜上，可得：存在正實數(shù)γ，υ 使下式成立：

從式（6），（9）及（13）可得

由式（19）和（29）有：

因此，

由假設(shè)2 可知，存在正實數(shù)ρ 滿足如下不等式：

故有：

其中，

當(dāng)g 充分大時，由式（28）和（34）有：

由式（21）、（25）、（34）及（36）可得：

從式（37）可知，對于給定的初始條件和任意給定的正實數(shù)ε，存在正實數(shù)f *與g*及t*，當(dāng)f ≥ f*，g≥ g*以及f>> g時，若初始條件滿足Eθ(0)=0，則證畢。

注3：由上述分析也可給出魯棒濾波器參數(shù)整定過程：

a）取 g0> 0和 γ0≥ 1，令g = g0，γ = γ0， f= γg；

b）進行仿真或樣機實驗。若閉環(huán)控制特性滿足要求，則轉(zhuǎn)到d）步，否則，進行下一步；

c）增大g 的取值。若g 的值不是過大，轉(zhuǎn)到b）步，否則，令g = g0；增大γ 的取值。若γ 的值不是過大，轉(zhuǎn)到b）步，否則，進行下一步；

d）終止。

注4：當(dāng)式（3）中的增益攝動?k的模充分小時，可設(shè)γ = 1，即f = g（參考文獻[8]）。此時上述參數(shù)整定過程變得更為簡單，只要單調(diào)地增大g 的取值即可。

4 仿真及樣機實驗

下面從仿真和樣機實驗兩方面對舵機魯棒控制效果進行分析。實驗采用的舵機標稱參數(shù)如表1 所示。

4.1 仿真驗證

由表1 可得標稱受控對象的傳遞函數(shù)為

首先針對標稱受控對象設(shè)計標稱控制器：

此控制器相角余量大于50°，標稱閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬大于200 rad/s，滿足舵機角度跟蹤控制的快速性要求。

再按式（14）設(shè)計魯棒補償器。其模型如圖3 所示。

圖3 控制系統(tǒng)的仿真模型 Fig.3 The Simulation Model Disgram of the Control System

根據(jù)注3，通過仿真實驗可以確定魯棒濾波器的參數(shù)取值?，F(xiàn)選取兩組魯棒濾波器參數(shù)進行對比實驗，分別為f1=100，g1=20 和f2=300，g2=100。

為驗證魯棒控制器對負載力矩變化的抑制效果，進行如下仿真實驗。參考角度為2°階躍信號，0～0.4 s時間段空載運行，0.4 s 時在電機軸加0.03 N·m 的恒定負載力矩（相當(dāng)于60%額定負載）。對兩組魯棒控制器及標稱控制器3 種情況進行了對比仿真，結(jié)果如圖4所示。

由圖4 可知，0～0.4 s 舵機空載運行時，3 種情況輸出曲線一致。在0.4 s 突加負載力矩時，均出現(xiàn)了不同程度的角度波動，其最大偏離誤差和恢復(fù)時間情況見表2。

由表2 仿真結(jié)果可知，標稱控制系統(tǒng)受到力矩干擾的影響最大，偏離的角度誤差較大并且恢復(fù)時間較長。而魯棒控制器控制的系統(tǒng)角度輸出只是在力矩變化瞬間出現(xiàn)輕微抖動，并很快恢復(fù)到了期望值。對比兩組濾波器參數(shù)，發(fā)現(xiàn)f 和g 較大的一組對力矩擾動抑制效果更好。

圖4 3 種情況下舵機輸出角度θy 對比曲線 Fig.4 Electric Actuator Output Curves θy for Three Cases

表2 仿真數(shù)據(jù)對比 Tab.2 Comparison of Simulation Datas

4.2 實驗驗證

采用舵機角度跟蹤控制系統(tǒng)樣機實驗平臺進行測試，以驗證魯棒補償控制的實際效果，控制器參數(shù)與仿真實驗相同。

4.2.1 負載力矩變化試驗

舵機處于零位穩(wěn)態(tài)時，分別對標稱控制器和魯棒控制器控制的系統(tǒng)突加額定單向恒定力矩，觀察角度輸出情況，測試曲線如圖5 所示。

圖5 舵機穩(wěn)態(tài)負載擾動試驗 Fig.5 Load Disturbance Tests for Steady State

由圖5 可知，對于突加的力矩干擾，標稱控制器控制的系統(tǒng)產(chǎn)生了0.45°的角度誤差，在積分作用下需要一定的時間才能恢復(fù)到期望值。由于實際系統(tǒng)機械間隙，控制死區(qū)等因素其偏離角度絕對值大于仿真結(jié)果；而魯棒控制器控制的系統(tǒng)在受到力矩擾動后0.3 s 即恢復(fù)到了期望值并保持穩(wěn)定。表明魯棒補償?shù)目刂品椒軌蚝芎玫囊种屏財_動的影響。

4.2.2 恒定力矩試驗

對舵機施加單向額定負載力矩，參考角度信號為頻率1 Hz、幅值5°正弦信號，試驗曲線如圖6 所示。

圖6 恒定負載力矩對比試驗 Fig.6 Comparison Test of the Constant Load Torque

由圖6 可知，舵機系統(tǒng)在標稱控制器作用下其受恒定力矩方向存在約6%的輸出角度誤差，而帶有魯棒補償?shù)目刂葡到y(tǒng)在相同條件下輸出角度能夠很好的跟蹤角度指令信號。

4.2.3 高低溫環(huán)境測試

在特定場合，要求舵機產(chǎn)品適應(yīng)-45～60 ℃的環(huán)境溫度。舵機機械阻尼及模型參數(shù)等會隨溫度變化而改變，用一組PID 參數(shù)控制難以保證全溫度范圍內(nèi)產(chǎn)品性能均滿足指標要求。下面在-45 ℃、60 ℃邊界溫度條件下進行舵機加載性能測試，指令為幅值2°的方波信號。實驗曲線如圖7 所示。

由圖7 可知，對于標稱控制器，低溫狀態(tài)下舵機在1.8 ～2°階段上升緩慢，大約0.15°角度誤差持續(xù)0.2 s；高溫狀態(tài)下舵機動態(tài)響應(yīng)加快并出現(xiàn)了8%左右的超調(diào)，很難適應(yīng)全部溫度條件。增加魯棒補償后，有效抑制了由環(huán)境溫度變化引起的系統(tǒng)參數(shù)攝動及模型不確定性對系統(tǒng)動靜態(tài)性能的影響。

圖7 不同溫度下的對比試驗 Fig.7 Contrast Test for Different Temperatures

5 結(jié)束語

電動舵機的復(fù)雜工作環(huán)境使常規(guī)PID 控制方法對于參數(shù)不確定性及外部擾動產(chǎn)生的影響難以很好抑制。本文采用基于信號補償?shù)聂敯艨刂品椒?，將不確定性視為等價干擾，在標稱控制輸入的基礎(chǔ)上疊加一個魯棒補償信號，抑制了等價干擾，同時實現(xiàn)魯棒穩(wěn)定性和魯棒跟蹤。實驗和仿真表明了該方法的有效性。