修國眾，時 寶，賀英政，王麗英

（海軍航空大學，山東煙臺264001）

非粘滯阻尼材料是應用很廣泛的一種阻尼材料，這類材料受力后的變形過程是一個隨時間變化的過程，力卸載后的恢復過程又是一個延遲過程。因此，這類材料的應力不僅與當時的應變有關，而且與以前的變化過程有關。

在應力松弛試驗中，非粘滯阻尼材料彎曲到固定應變時需要一段時間過程，并不能理想地假設通過單位階躍函數(shù)在初始時刻達到固定應變，這段從初始時刻到固定應變的過程稱為初始坡度[1-2]。由于非粘滯阻尼材料具有較長的記憶功能，對試樣施加預應力時由于初始坡度的存在，會對試驗中數(shù)據(jù)的擬合產(chǎn)生一定影響，從而影響非粘滯阻尼模型參數(shù)的準確性。

為了描述非粘滯阻尼材料的性質，國內外學者提出了大量的非粘滯阻尼材料應力應變本構關系模型，廣義上分為微分型和積分型2 大類，微分型本構方程與積分型本構方程是等價的。根據(jù)Boltzmann疊加原理，可以得到具有較大靈活性的標準流變學積分型本構關系，其中主要為松弛型積分模型。現(xiàn)在越來越多學者采用積分型本構模型來描述非粘滯阻尼模型[3]：

式（1）中：σ( t )、ε( τ )分別表示應力和應變；?稱為Stieltjes卷積；G( t )是松弛模量。

由于粘彈性材料的衰減記憶特征，松弛模量一般是連續(xù)單調非增函數(shù)。卷積型非粘滯阻尼模型最早在1958 年由M.A.Biot 提出，并由J.Woodhouse，S.Adhikari 等人進一步發(fā)展，包括對該模型系統(tǒng)的動力學分析、模態(tài)識別等方面都進行了深入研究[4]。核函數(shù)G( t )，在不同領域的文獻中有許多不同的描述，如：延遲函數(shù)，后影響函數(shù)，松弛函數(shù)等。在G( t )=Cδ( t )的特殊情況下（δ( t )為Dirac delta 函數(shù)），該阻尼模型退化為傳統(tǒng)的粘滯阻尼模型。因此，該模型也可以稱為粘滯阻尼的一般形式。

1 松弛函數(shù)為冪指數(shù)函數(shù)時初始坡度的影響

對于非粘滯阻尼材料的完整力學特性，必須考慮應力和應變歷史的時間演化，也就是應力歷史σ( t )和應變歷史ε( t )。因此，經(jīng)典拉伸試驗無法描述時變應力應變關系，須要進行另一種試驗，即蠕變和松弛試驗[5-6]。蠕變試驗是評估應變響應隨單位階躍函數(shù)施加應力的時間演化。相反，在松弛試驗中，由于施加的應變歷史遵循單位階躍函數(shù)，因而根據(jù)應力歷史測量響應。然而，無論蠕變試驗還是松弛試驗都是理想化的，實際蠕變和松弛試驗與上述理論描述不同，因為用于這些試驗的試驗機無法在施加應力和/或應變歷史中再現(xiàn)單位階躍函數(shù)，松弛試驗期間的變形歷史如圖1所示。

另一方面，材料和結構的應力松弛試驗的參考標準（ASTM E328-02標準[7]，2002）并未給出有關初始應力初始坡度的具體指示。任何情況下的應力施加速率都應合理快速，但不應受到?jīng)_擊或振動，使應力施加期間的任何松弛都很小。初始坡度的速率根據(jù)松弛試驗所選的總應變選擇。變形取定值ε0時的時間t與試驗機以及試驗人員都有嚴格的關系[8]。通常初始坡度的速率越高，t0越小。因此，在初始坡度的速率越高時，通常忽略這種影響，假設t0=0。然而，對于冪律[9]情況，在相應的應力歷史上產(chǎn)生了無窮大的值，這在參數(shù)的評估上造成了顯著的誤差。

圖1 應力松弛試驗過程中實際應變過程Fig.1 Real deformation history during the relaxation test

在理想的應力松弛試驗中，應變是在單位階躍函數(shù)的作用下達到指定的應變值ε( t )=ε0U( t )，其中，U( t )是單位階躍函數(shù)。

高聚物的力學松弛行為是其整個歷史上諸松弛過程的線性加和的結果。高聚物的蠕變是整個負荷歷史的函數(shù)，對于蠕變過程，每個負荷對高聚物的變形的貢獻是獨立的，總的蠕變是各個負荷起的蠕變的線性加和，對于應力松弛過程，每個應變對高聚物的應力松弛的貢獻也是獨立的，高聚物的總應力等于歷史上諸應變引起的應力松弛過程的線性加和[1]。由Boltzmann疊加原理得到卷積型應力應變關系：

等式成立的條件是ε( 0 )=0。即在理想的狀態(tài)下：

考慮非粘滯阻尼模型實際的應變歷史是

由Blotzman疊加原理，當ε( 0 )=0 可得：

取G( t )是冪指數(shù)函數(shù)[10-12]的形式G( t )=+b，或

即：

松弛試驗期間，實際的應變歷史如式（4）所示，由式（5）可得：

當0 ＜t ≤t0時，

當t ＞t0時，

所以，

2 松弛函數(shù)為指數(shù)函數(shù)時初始坡度的影響

如果G( t )取指數(shù)函數(shù)[13-16]的形式：

考慮理想狀態(tài)下，即應變如式（3）所示，由式（5）可得：

即

松弛試驗期間，實際的應變歷史如式（4）所示。

當0 ＜t ≤t0時，

當t ＞t0時，

所以，

3 數(shù)值模擬

G( t )是冪指數(shù)函數(shù)的形式，在文獻[8，13]涉及到，所以只考慮G( t )取指數(shù)函數(shù)的形式。當c0=0 ，a1=c1=1，n=1 時，取不同的b1和t0，則相應于如圖1所示的應變歷史的應力變化如圖2所示。

在t=t0時應力取得最大值：

圖2 相對于圖1取不同b1 和t0 值的變形過程中的應力變化Fig.2 Stress history for the deformation history in Fig.1 for different value of b1 and t0

1）初始坡度的存在對于非粘滯阻尼材料參數(shù)bk的確定產(chǎn)生重大影響；

2）在實際試驗中t0必須進行測定，并且不可忽略。

在應力松弛試驗中，考慮在理想狀態(tài)下，沒有初始坡度的影響，應力變化如圖3 虛線所示。在實際試驗中有初始坡度的影響應力變化如圖3實線所示。顯然，沒有初始坡度的影響，應力呈現(xiàn)指數(shù)式衰減。而由于初始坡度的影響，應力變化相對較緩慢，兩者之間還是存在較大變化。因此，在實際應用試驗中不可忽略初始坡度，否則，會對參數(shù)的確定產(chǎn)生較大影響。對于蠕變試驗，也可以用同樣的方法進行計算分析。

圖3 應力松弛試驗中初始坡度的影響Fig.3 Influences of initial ramps on relaxation experimental test

4 結論

非粘滯阻尼材料的力學性能通過應力松弛試驗或者蠕變試驗獲得，通常只是假設在理想的狀態(tài)下在初始時刻通過階躍函數(shù)使得應變應力達到設定的值。然而在實際試驗中必然有初始坡度存在，假定初始坡度是線性的，初始坡度的存在對試驗中應力變化產(chǎn)生影響，所以對非粘滯阻尼材料參數(shù)的確定不得不考慮初始坡度的影響。

本文考慮了松弛函數(shù)的2 種形式：一種是冪指數(shù)函數(shù)的形式，得到的結論更具有一般性，涵蓋了在文獻[13]中所討論的分數(shù)階最簡單的模型Scott-Blair 模型的結果；另一種是指數(shù)函數(shù)的形式，在理論上和數(shù)值分析上都可看出初始坡度對應力變化產(chǎn)生影響，從而影響到擬合非粘滯阻尼材料的參數(shù)的準確性。所以，在松弛試驗中，初始坡度的影響不可忽略。同樣，在蠕變試驗中也會產(chǎn)生初始坡度的影響，研究和分析方法類似。