摘 要：在新課標背景下準確把握教材知識并對教材內(nèi)容進行恰當(dāng)挖掘與拓展，利用速度三角形與幾何三角形的相似之處，采取數(shù)學(xué)極限思想推導(dǎo)出向心加速度公式a=■，從而對教材內(nèi)容做出適當(dāng)補充，符合高中學(xué)生的思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：速度三角形;幾何三角形;相似;向心加速度

在解決物體的“動態(tài)平衡”問題時，在力三角形不是直角三角形的情況下，我們利用力三角形與幾何三角形的相似性判斷力的變化情況，即力三角形中三個力的比等于對應(yīng)幾何三角形中三個邊的比。本篇在此基礎(chǔ)上介紹利用速度三角形與幾何三角形相似的方法推導(dǎo)向心加速度。

一、速度三角形中速度變化的表示

v0為初速度，vt為末速度，Δt為速度的變化量。Δv為第一個矢量終點指向第二個矢量終點或減數(shù)指向被減數(shù)，即Δv=vt-v0。如圖1所示。

■

圖1

二、利用速度三角形與幾何三角形相似性推導(dǎo)向心加速度公式

在圖2中，v0、vt是時間間隔Δt前后的初速度和末速度。為了求二者之差Δv=vt-v0，移動v0，畫出Δv形成速度三角形（圖3）。由于只有在Δt很小的時候，曲線近似為直線或弧長近似等于弦長。只有把曲線運動看成直線運動，我們才能用■表示物體的加速度，所以實際上A、B兩點相距很近，AB弧長等于AB弦長，把AOB可看成三角形（圖4）。找出速度三角形中速度大小與幾何三角形中邊長的對應(yīng)關(guān)系就能求得Δv。

■

公式的推導(dǎo)過程可以從以下四個方面處理：

1.由于是勻速圓周運動，所以v0和v1大小是一樣的，可以用同一個字母表示。

2.v0和v1的大小實際上就是上圖中v0和v1的長度。解決幾個物理量的關(guān)系，實際是找速度大小與幾何三角形的邊對應(yīng)的比例關(guān)系。

3.角θ用弧度表示時，弧長S可以表示為S=rθ。當(dāng)θ很小很小時，弧長與弦長沒什么區(qū)別，即L=S，也就是圖4中AB弧長等于AB弦長，AOB可看成三角形，所以S=rθ也表示弦長。這個關(guān)系可以用來計算矢量Δv的長度。在圖4中，由速度三角形與幾何三角形AOB相似得：

■=■

而L=S=v·Δt

即a=■

4.當(dāng)A到B的時間很短或趨于零，方向近似垂直的方向時，可以認為方向指向圓心，也就是向心加速度的方向指向圓心。學(xué)生在學(xué)習(xí)向心加速度的方向時，一般都按向心加速度的方向和向心力方向相同去理解，本篇這種方法可作為確定向心加速度方向的另外一種方法。

通過矢量三角形與幾何三形的相似推導(dǎo)向心加速度，盡管教材中沒有作為必須掌握的內(nèi)容講解，但這種方法在物理知識的應(yīng)用、作圖、列式、計算等方面對學(xué)生有很大幫助。另外，本文應(yīng)用極限的思想在學(xué)生物理思維的建立上也起到一定的引導(dǎo)作用，其實極限思維在高中課本中出現(xiàn)過，如位移與時間關(guān)系的推導(dǎo)中，時間很短時，勻變速直線運動可看成勻速直線運動處理。對于勻速圓周運動而言，本節(jié)內(nèi)容涉及的知識點不是很多，無非就是幾個基本公式，能夠熟練掌握它們之間的關(guān)系和公式的應(yīng)用即可。

本文的討論只為基礎(chǔ)較好的高中生提供一種物理學(xué)習(xí)方法上的參考。物理學(xué)習(xí)并不是死記硬背公式，而是講究公式的推導(dǎo)方法與推導(dǎo)過程。掌握了這一知識點的推導(dǎo)過程對以后學(xué)習(xí)其他物理知識會起到事半功倍的作用。

參考文獻：

王朝銀.創(chuàng)新設(shè)計（必修2）[M].云南人民出版社，2015-11.

作者簡介：王金虎（1982.04—），男，漢族，甘肅隴西人，本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師。研究方向：高中物理教育教學(xué)。