谷文苑 趙尚弘 東晨 王星宇 楊鼎

1) (空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院, 西安 710077)

2) (密碼科學(xué)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100878)

3) (國(guó)防科技大學(xué)信息與通信學(xué)院, 西安 710006)

參考系無關(guān)測(cè)量設(shè)備無關(guān)量子密鑰分發(fā)協(xié)議是解決實(shí)際系統(tǒng)中參考系對(duì)準(zhǔn)問題的有效途徑, 但其安全性的前提是參考系偏移速度緩慢.考慮到現(xiàn)實(shí)參考系波動(dòng)和信號(hào)長(zhǎng)度有限的情況, 重點(diǎn)討論了參考系偏移和波動(dòng)下的有偏基參考系無關(guān)測(cè)量設(shè)備無關(guān)量子密鑰分發(fā)協(xié)議性能的有效性.仿真結(jié)果表明協(xié)議密鑰率是關(guān)于偏移角的周期函數(shù), 同時(shí)也是波動(dòng)角的遞減函數(shù), 為下一步參考系無關(guān)測(cè)量設(shè)備無關(guān)量子密鑰分發(fā)協(xié)議實(shí)用化打下了理論基礎(chǔ).

1 引 言

量子密鑰分發(fā) (quantum key distribution,QKD)是基于量子力學(xué)及基本定理的一種新型密鑰體系[1,2], 以其絕對(duì)的安全性得到了廣泛的研究,在理論研究和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方面進(jìn)展迅速[3-9].但現(xiàn)實(shí)設(shè)備和實(shí)驗(yàn)條件總是會(huì)與理想模型及假設(shè)存在一定差距, 這導(dǎo)致實(shí)際的QKD系統(tǒng)仍然存在許多安全性問題[10-16].2012年Lo等[17]提出了測(cè)量設(shè)備無關(guān)量子密鑰分發(fā) (measurement device independent quantum key distribution, MDI-QKD)協(xié)議, 在克服探測(cè)端全部安全漏洞的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了協(xié)議性能的提升.近幾年, 基于相位、偏振等編碼方式的MDI-QKD演示實(shí)驗(yàn)已經(jīng)相繼完成[18-20].然而, 無論采用何種編碼方式, 通信雙方都需確立共享參考系以保證MDI-QKD系統(tǒng)有效的Bell測(cè)量, 但同時(shí)多參考系之間的校準(zhǔn)會(huì)增加MDI-QKD系統(tǒng)的復(fù)雜性, 甚至可能產(chǎn)生信息泄露, 對(duì)系統(tǒng)安全產(chǎn)生威脅.

2014年, Yin等[21]提出了參考系無關(guān)測(cè)量設(shè)備無關(guān)量子密鑰分發(fā)(reference frame independent measurement device independent quantum key distribution, RFI-MDI-QKD)協(xié)議, 有效地解決了參考系校準(zhǔn)的問題, 并實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)性能在參考系緩慢偏移情況下的穩(wěn)定性.然而, 已有研究表明統(tǒng)計(jì)波動(dòng)下的RFI-MDI-QKD協(xié)議不再具有對(duì)參考系偏差的魯棒性, 會(huì)隨偏差角的增大產(chǎn)生性能衰減, 但這些分析都只是選取固定的參考系偏差角度進(jìn)行分析, 并未涉及一般化情況, 且沒有考慮參考系波動(dòng)的情況[22-26].在實(shí)際環(huán)境中, 參考系偏差角會(huì)在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生波動(dòng), 雖然文獻(xiàn)[27, 28]已經(jīng)討論分析了參考系波動(dòng)對(duì)參考系無關(guān)QKD協(xié)議 (reference frame independent quantum key distribution, RFI-QKD)的影響, 但仍然缺乏對(duì)參考系波動(dòng)下RFI-MDI-QKD協(xié)議的性能分析.

本文主要研究了參考系波動(dòng)下RFI-MDIQKD協(xié)議的性能.考慮到實(shí)際參考系波動(dòng)的問題和有限長(zhǎng)效應(yīng), 通過公式推導(dǎo)和仿真分析, 得到了參考系偏移角和波動(dòng)角與有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議相關(guān)參數(shù)間的關(guān)系.仿真結(jié)果表明, 協(xié)議的性能與參考系偏差的角度密切相關(guān), 并且其密鑰率隨參考系偏移角產(chǎn)生周期性波動(dòng), 隨參考系波動(dòng)角的增大而減小.

2 理論與模型

2.1 有偏基RFI-MDI-QKD模型

以偏振編碼為例, 在誘騙態(tài)RFI-MDI-QKD協(xié)議中, Alice 和 Bob 使用三組共軛基{Z,X,Y}對(duì)量子態(tài)進(jìn)行編碼.協(xié)議假設(shè)Alice和Bob的Z基完全對(duì)準(zhǔn), 而兩者的X基和Y基可以存在β角的偏差, Alice和Bob的三組基具體的關(guān)系如下[22-26]：

式中βA(B)代表著Alice和Bob的X基和Y基偏離標(biāo)準(zhǔn)參考系的角度.此時(shí),和構(gòu)成Z基,分別構(gòu)成X基和Y基.其中Z基主要用于密鑰的產(chǎn)生,X基和Y基的測(cè)量結(jié)果主要用于估計(jì)限制Eve獲取的信息量的參數(shù)C.在漸近極限情況下,RFI-MDI-QKD協(xié)議具備對(duì)參考系偏差的魯棒性,而現(xiàn)實(shí)情況下信號(hào)脈沖長(zhǎng)度總是有限的.

為緩解有限長(zhǎng)效應(yīng)對(duì)RFI-MDI-QKD協(xié)議的影響, 文獻(xiàn)[29]提出了有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議以產(chǎn)生更高的密鑰率.該協(xié)議與原始誘騙態(tài)RFI-MDI-QKD協(xié)議不同點(diǎn)在于：原始誘騙態(tài)RFI-MDI-QKD 協(xié)議Z,X,Y基編碼的信號(hào)態(tài)和誘騙態(tài)的平均光子數(shù)是相同的, 而有偏基RFIMDI-QKD協(xié)議的量子態(tài)有三種強(qiáng)度, 即信號(hào)態(tài)μ、誘騙態(tài)ν、真空態(tài)ω, 其中Z基下Alice和Bob只準(zhǔn)備信號(hào)態(tài)μ,X和Y基下隨機(jī)準(zhǔn)備信號(hào)態(tài)μ和誘騙態(tài)ν.因此, 有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議密鑰率的計(jì)算公式為[29]

且C值在 0—2 內(nèi)取值,C值越小,IE越大.參數(shù)C與不同編碼基下的增益和誤碼率有關(guān), 這些測(cè)量結(jié)果滿足[24]

2.2 參考系偏移和波動(dòng)下的有偏基RFIMDI-QKD模型

如圖1所示, 在實(shí)際不穩(wěn)定的環(huán)境中, 由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)和平臺(tái)抖動(dòng), 通信雙方共享的參考系總是會(huì)發(fā)生偏移且產(chǎn)生波動(dòng), 即Alice和Bob間的參考系方向夾角β不再是一個(gè)固定的值, 而是在一定的范圍內(nèi)變化、波動(dòng)[27,28], 即 [θ-δ,θ+δ] .

圖1 Alice 和 Bob 的三組共軛基的實(shí)際位置關(guān)系圖Fig.1.Relationship among reference frames of Alice and Bob.

文獻(xiàn)[27, 28]通過在波動(dòng)范圍進(jìn)行積分詳細(xì)討論了參考系偏移角和波動(dòng)角與RFI-QKD協(xié)議性能間的關(guān)系.本文將此擴(kuò)展到二維, 采用相同的方法來分析參考系波動(dòng)下的有偏基RFI-QKD協(xié)議的性能.將參考系偏差β=[θ-δ,θ+δ] 代入求積分可得

其中θ為參考系偏移的角度,δ為參考系波動(dòng)的角度, 假設(shè)它們的取值范圍均為 [ 0°,90°] .將(5)式代入(1)—(4)式, 可以求得參考系波動(dòng)下有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議C值和密鑰率R的關(guān)系式.

3 仿真與分析

考慮到實(shí)際信號(hào)脈沖的數(shù)量有限的實(shí)際情況,根據(jù)上述推導(dǎo)的公式可以得到參考系偏移角θ和波動(dòng)角δ與有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議的參數(shù)C和密鑰率R的關(guān)系.為方便比較, 固定協(xié)議的傳輸距離為20 km, 并假設(shè)切爾諾夫界失敗的概率為ε=10-10, 脈沖總數(shù)為N=3×1012, 糾錯(cuò) (隱私放大)失敗的概率為表1列出了該協(xié)議其他的仿真參數(shù)[24-26].

表1 有偏基 RFI-MDI-QKD 協(xié)議的主要仿真參數(shù)Table 1.List of parameters of RFI-MDI-QKD with biased bases in the simulation.

圖2顯示了參考系偏移和波動(dòng)下有偏基RFIMDI-QKD協(xié)議的C值變化.由圖2(a)可知：當(dāng)固定波動(dòng)角δ時(shí),C值為偏移角θ的最小周期為 π /2 的函 數(shù), 而 且 在 [ 0°,90°] 范 圍 內(nèi) 存 在C(π/4+θ)=C(π/4-θ); 當(dāng)改變波動(dòng)角δ時(shí),C值隨波動(dòng)角δ增大而減小.圖2(b)則顯示了有偏基誘騙態(tài)RFIMDI-QKD協(xié)議C值與波動(dòng)角δ的關(guān)系.當(dāng)固定偏移角θ時(shí),C值與圖2(a)曲線趨勢(shì)相同, 這說明波動(dòng)角δ越大, 竊聽者可能竊取的信息IE就越多; 當(dāng)改變偏移角θ時(shí), 可以注意到曲線θ=40°與曲線θ=70°完全重合, 這是因?yàn)镃值是關(guān)于偏移角θ的對(duì)稱軸為 π /4 的周期函數(shù).

圖3為有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議密鑰率R與偏移角θ、波動(dòng)角δ的三維關(guān)系圖.由圖3可知, 該協(xié)議的密鑰率R會(huì)隨偏移角θ、波動(dòng)角δ變化而發(fā)生變化.其中, 密鑰率R隨偏移角θ呈周期性變化, 并且變化范圍較小, 而波動(dòng)角δ對(duì)密鑰率R的影響較大.圖4(a)和圖4(b)分別是有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議密鑰率R與偏移角θ、波動(dòng)角δ的關(guān)系圖.由圖4可知, 由于密鑰率R與描述竊聽者獲取的信息IE的參數(shù)C有關(guān),R隨偏移角θ、波動(dòng)角δ變化的趨勢(shì)與參數(shù)C相同, 即密鑰率R是關(guān)于偏移角θ的周期為 π /2 且對(duì)稱軸為 π /4 的函數(shù), 同時(shí)也是波動(dòng)角δ的遞減函數(shù).可以注意到當(dāng)偏移角θ接近 2 2.5°(67.5°) 時(shí),R會(huì)隨波動(dòng)角δ的增大而產(chǎn)生驟減, 這是因?yàn)?2 2.5°(67.5°) 對(duì)應(yīng)于密鑰率R關(guān)于偏移角θ的函數(shù)谷值, 所以當(dāng)δ較大時(shí),協(xié)議性能會(huì)迅速下降.

圖2 參考系偏移和波動(dòng)下有偏基 RFI-MDI-QKD 協(xié)議的 C 值 (a) 參數(shù) C 與偏移角 θ 的關(guān)系圖; (b) 參數(shù) C 與波動(dòng)角 δ 的關(guān)系圖Fig.2.Parameter C of RFI-MDI-QKD with biased bases under reference frame deviation and fluctuation：(a) The parameter C vs.the reference frame deviation θ ; (b) the parameter C vs.the reference frame fluctuation δ .

圖3 有偏基 RFI-MDI-QKD 協(xié)議密鑰率 R 與偏移角 、波動(dòng)角 δ 的關(guān)系圖Fig.3.Secure key rates R of RFI-MDI-QKD with biased bases in regard to the reference frame deviation θ and fluctuation δ .

圖4 參考系偏移和波動(dòng)下有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議密鑰率變化圖 (a) 密鑰率 R 與偏移角 θ 的關(guān)系圖; (b) 協(xié)議密鑰率R與波動(dòng)角 δ 的關(guān)系圖Fig.4.Secure key rates of RFI-MDI-QKD with biased bases under reference frame deviation and fluctuation：(a) The secure key rates R vs.the reference frame deviation θ ;(b) the secure key rates R vs.the reference frame fluctuation δ .

4 結(jié) 論

為解決MDI-QKD系統(tǒng)參考系需校準(zhǔn)的問題,本文重點(diǎn)研究了有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議.針對(duì)現(xiàn)實(shí)環(huán)境中參考系波動(dòng)的問題并考慮到有限長(zhǎng)效應(yīng)的情況, 分析了參考系偏移和抖動(dòng)下有偏基RFI-MDI-QKD協(xié)議的有效性, 并分別討論了參考系偏移角θ和波動(dòng)角δ與協(xié)議參數(shù)C及密鑰率R間的關(guān)系.仿真結(jié)果表明參數(shù)C和密鑰率R均為關(guān)于偏移角θ的最小周期為 π /2 且對(duì)稱軸為 π/4的函數(shù), 同時(shí)也是波動(dòng)角δ的遞減函數(shù), 為下一步RFI-MDI-QKD協(xié)議實(shí)用化打下了理論基礎(chǔ).