劉一鳴，盛 文，施端陽(yáng),2

(1.空軍預(yù)警學(xué)院 防空預(yù)警裝備系，湖北 武漢 430019；2．中國(guó)人民解放軍95174部隊(duì)，湖北 武漢 430040)

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)形態(tài)的演變，突防一方通過(guò)集火攻擊的作戰(zhàn)樣式顯著增加了預(yù)警體系中的資源消耗，進(jìn)而達(dá)到提高突防成功率的目的。多功能相控陣?yán)走_(dá)作為預(yù)警體系中的骨干裝備，在短時(shí)間內(nèi)可以形成多個(gè)指向不同的發(fā)射和接收信號(hào)，同時(shí)自適應(yīng)地調(diào)整波形參數(shù)。在實(shí)際作戰(zhàn)過(guò)程中，雷達(dá)將大部分資源用于跟蹤任務(wù)，所以對(duì)多目標(biāo)跟蹤波束波形調(diào)度策略的研究是不可或缺的。

對(duì)相控陣?yán)走_(dá)多目標(biāo)跟蹤波束波形調(diào)度方法的研究起步較晚，但其與多傳感器管理方法有很多相似之處，許多學(xué)者將傳感器管理方法引入相控陣?yán)走_(dá)多目標(biāo)跟蹤的研究中并取得了豐碩的成果。其中應(yīng)用最為廣泛的為協(xié)方差控制的方法，它將對(duì)每個(gè)目標(biāo)預(yù)設(shè)期望協(xié)方差與實(shí)際協(xié)方差的偏差作為波束調(diào)度的依據(jù)，具有很好的自適應(yīng)性。起初，Kalandros[1]提出了協(xié)方差的思想來(lái)衡量目標(biāo)的跟蹤質(zhì)量，將基于協(xié)方差控制跟蹤精度的思想應(yīng)用到了多傳感器管理技術(shù)中來(lái)。文獻(xiàn)[2]中提出了基于協(xié)方差偏差均值最小準(zhǔn)則和最大協(xié)方差偏差最小準(zhǔn)則的相控陣?yán)走_(dá)多目標(biāo)資源管理算法。文獻(xiàn)[3-4]在協(xié)方差控制和交互多模型數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法的基礎(chǔ)上，對(duì)采樣間隔和輻射功率進(jìn)行優(yōu)化，提高了雷達(dá)射頻隱身能力和跟蹤精度。文獻(xiàn)[5]在最小化后驗(yàn)估計(jì)誤差協(xié)方差的條件下，實(shí)現(xiàn)了對(duì)雷達(dá)波束、功率和波形參數(shù)的選擇。但以上研究?jī)H對(duì)目標(biāo)跟蹤精度進(jìn)行了優(yōu)化，忽略了雷達(dá)資源消耗與跟蹤精度的制約關(guān)系。文獻(xiàn)[6-7]通過(guò)當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)實(shí)際協(xié)方差與期望值的偏差和所選波形的能量的加權(quán)平均為調(diào)度代價(jià)，繼而選擇下一時(shí)刻的工作方式和參數(shù)。文獻(xiàn)[8-9]在檢測(cè)概率和跟蹤精度的約束條件下，預(yù)估了波束的駐留時(shí)間，通過(guò)定義的緊迫(調(diào)度)系數(shù)來(lái)確定下一時(shí)刻波束指向。文獻(xiàn)[10]中綜合考慮了雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的測(cè)距與測(cè)速精度的影響，采用最優(yōu)化的方法對(duì)雷達(dá)照射目標(biāo)的駐留時(shí)間與波束寬度進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[11]為了實(shí)現(xiàn)雷達(dá)網(wǎng)的低截獲性能，以調(diào)度間隔內(nèi)平均截獲概率最小為準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)了對(duì)采樣間隔時(shí)間、駐留時(shí)間和發(fā)射功率的實(shí)時(shí)控制。

然而，協(xié)方差控制方法的調(diào)度性能在很大程度上受期望協(xié)方差矩陣和濾波算法的影響?？紤]到克拉美羅下界為參數(shù)估計(jì)誤差的理論上的下界，因此，以克拉美羅下界為跟蹤性能評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的資源管理算法得到了發(fā)展。文獻(xiàn)[12]以后驗(yàn)克拉美羅下界(Posterior Cramer-Rao Low Bound, PCRLB)為跟蹤精度的度量，完成了傳感器與跟蹤目標(biāo)間的最優(yōu)分配。文獻(xiàn)[13-17]針對(duì)多輸入多輸出雷達(dá)的波束特性，以貝葉斯克拉美羅下界為跟蹤精度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，建立相應(yīng)的優(yōu)化模型，對(duì)波束指向、發(fā)射功率、重訪時(shí)間和駐留時(shí)間等參數(shù)實(shí)現(xiàn)了有效管理。以上研究為相控陣?yán)走_(dá)跟蹤波束波形調(diào)度研究建立了基礎(chǔ)，但是還存在以下兩點(diǎn)不足：①調(diào)度函數(shù)的設(shè)計(jì)忽略了雷達(dá)資源消耗對(duì)不同目標(biāo)所產(chǎn)生的跟蹤精度變化的差異對(duì)整體調(diào)度性能的影響；②現(xiàn)有研究中波束調(diào)度樣式默認(rèn)采用單波束方式，缺少對(duì)多波束方式的研究。

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者提出了一種在多波束跟蹤方式下的兼顧跟蹤精度和資源消耗的波束波形調(diào)度策略，創(chuàng)新性地采用一步預(yù)測(cè)的資源消耗回報(bào)率來(lái)衡量不同目標(biāo)預(yù)測(cè)跟蹤精度和資源消耗的關(guān)系，進(jìn)而與目標(biāo)當(dāng)前實(shí)際跟蹤精度相結(jié)合來(lái)設(shè)計(jì)調(diào)度函數(shù)，考慮到預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，利用預(yù)測(cè)的后驗(yàn)克拉美羅下界來(lái)衡量預(yù)測(cè)跟蹤精度，而實(shí)際精度仍采用誤差協(xié)方差來(lái)表征。

1 波束波形調(diào)度問(wèn)題描述

在通常情況下，相控陣?yán)走_(dá)一般采取跟蹤加搜索(Track And Search, TAS)的工作方式來(lái)完成相應(yīng)任務(wù)，即在雷達(dá)工作過(guò)程中，獨(dú)立設(shè)置跟蹤和搜索波束。波束波形調(diào)度問(wèn)題可描述為：在雷達(dá)搜索時(shí)間資源不變的情況下，考慮如何對(duì)跟蹤波束波形進(jìn)行調(diào)度來(lái)實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)高質(zhì)量跟蹤。

1.1 目標(biāo)跟蹤模型

假設(shè)相控陣?yán)走_(dá)位置坐標(biāo)為(xp,yp)，在tk時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可描述為

(1)

式中,Xk為目標(biāo)的狀態(tài)向量，即Xk=[xk,vxk,yk,vyk]T;Fk-1和Hk分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和觀測(cè)矩陣；Zk為目標(biāo)的觀測(cè)向量，即Zk=[zxk,zyk]T;ωk-1和νk為服從零均值高斯分布的過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲；協(xié)方差矩陣分別為Qk-1和Rk。

(2)

式中，F(xiàn)k-1(Tk-1)為tk-1時(shí)刻關(guān)于采樣間隔Tk-1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

(3)

式中，Hk為觀測(cè)矩陣,Rk(τk)為tk時(shí)刻關(guān)于脈沖寬度τk的量測(cè)誤差矩陣。

(4)

式中Zk為tk時(shí)刻雷達(dá)的量測(cè)值。

1.2 波束調(diào)度函數(shù)

波束調(diào)度函數(shù)的選取決定了調(diào)度算法的性能，故從預(yù)測(cè)資源消耗回報(bào)率和當(dāng)前時(shí)刻濾波跟蹤精度這兩方面來(lái)定義波束調(diào)度函數(shù)更為合理。后驗(yàn)克拉美羅下界是系統(tǒng)可達(dá)最佳跟蹤性能的一種度量，代表了目標(biāo)估計(jì)值和真值的誤差協(xié)方差矩陣的下界[18]。為了更準(zhǔn)確地刻畫(huà)跟蹤精度的收益，選取調(diào)度間隔內(nèi)目標(biāo)后驗(yàn)克拉美羅下界的變化率來(lái)表征，即

(5)

式中，Jk為tk時(shí)刻目標(biāo)的費(fèi)希爾信息矩陣(Fisher Information Matrix, FIM)，Ck為對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)克拉美羅下界。對(duì)于Jk的求解問(wèn)題，文獻(xiàn)[19]給出了一種通用的遞推求解方法，即

(6)

式中，P0和J0為初始時(shí)刻t0的誤差協(xié)方差矩陣和相應(yīng)的后驗(yàn)克拉美羅下界；(Jk-1)-1對(duì)角線上的元素包含目標(biāo)位置和速度分量估計(jì)誤差的下界。為了便于目標(biāo)后驗(yàn)克拉美羅下界的量化以及后續(xù)的計(jì)算，故從Ck中提取位置分量估計(jì)誤差的下界，并取其2范數(shù)作為其量化值Dk，用ΔAk描述Dk的變化率，即

(7)

相控陣?yán)走_(dá)消耗的資源可分為時(shí)間資源和能量資源，其中能量資源主要為發(fā)射功率和脈沖寬度，時(shí)間資源主要為采樣間隔。由于不考慮輻射控制的問(wèn)題，可以假定發(fā)射功率值為最大值并保持不變，所以雷達(dá)跟蹤目標(biāo)所消耗的波形資源Ek可由脈沖寬度τk和采樣間隔Tk來(lái)表征，即

Ek=τk/Tk。

(8)

借鑒效益理論中效費(fèi)比這一核心概念來(lái)描述預(yù)測(cè)資源消耗回報(bào)率，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)波束調(diào)度過(guò)程的精確控制，進(jìn)而提高管理過(guò)程效益。然而，相控陣?yán)走_(dá)系統(tǒng)中資源種類繁多，如波形資源、設(shè)備運(yùn)算資源和存儲(chǔ)資源等，需對(duì)調(diào)度過(guò)程中的資源概念予以界定。由于跟蹤波束波形調(diào)度決策問(wèn)題只關(guān)心波形能量的調(diào)度情況，故上述“資源”具體指發(fā)射波形資源，對(duì)應(yīng)的“效費(fèi)比”是波束調(diào)度效費(fèi)比ηk，定義為預(yù)測(cè)精度變化率與發(fā)射波形資源消耗的比值，即

ηk=ΔAk/Ek。

(9)

最后再結(jié)合目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻的實(shí)際跟蹤精度來(lái)定義tk時(shí)刻目標(biāo)調(diào)度函數(shù)ψk，即

ψk=ηk·f(Pk|k) ，

(10)

式中，f(Pk|k)為誤差協(xié)方差矩陣Pk|k位置估計(jì)誤差的2范數(shù)。

1.3 調(diào)度優(yōu)化模型

將參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果直接應(yīng)用到下一時(shí)刻的調(diào)度過(guò)程中。由于在優(yōu)化過(guò)程中需考慮檢測(cè)概率和跟蹤精度的約束，故跟蹤參數(shù)的優(yōu)化模型如下：

(11)

式中，Pd,k+1|k表示目標(biāo)tk時(shí)刻在給定波形參數(shù)下預(yù)測(cè)的檢測(cè)概率；Pdmin表示最小檢測(cè)概率；f(Pk+1|k)表示目標(biāo)tk時(shí)刻在給定波形參數(shù)下預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣的2范數(shù)；Pthr表示目標(biāo)的跟蹤精度門(mén)限。

根據(jù)式(11)可以得到L個(gè)目標(biāo)在tk時(shí)刻波束調(diào)度效費(fèi)比的最大值，即ηk=[η1k,η2k,…,ηLk]，進(jìn)而結(jié)合各目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻實(shí)際跟蹤誤差可得到相應(yīng)的調(diào)度函數(shù)值。當(dāng)某個(gè)目標(biāo)當(dāng)前實(shí)際誤差超過(guò)門(mén)限時(shí)，但其波束調(diào)度效費(fèi)比很小，這會(huì)使得這些目標(biāo)不能及時(shí)被調(diào)度，所以調(diào)度函數(shù)調(diào)整為

(12)

式中，γk為tk時(shí)刻定義的優(yōu)勢(shì)系數(shù)，目的是讓跟蹤誤差超過(guò)門(mén)限的目標(biāo)波束調(diào)度效費(fèi)比絕對(duì)占優(yōu)。

2 算法實(shí)現(xiàn)流程

上述調(diào)度策略下的資源管理框架描述見(jiàn)圖1。資源管理的目標(biāo)是在雷達(dá)資源有限的情況下完成對(duì)多個(gè)目標(biāo)的高質(zhì)量跟蹤，調(diào)度過(guò)程主要由時(shí)間資源控制、調(diào)度序列控制及波形參數(shù)優(yōu)化和波束調(diào)度決策3個(gè)子模塊構(gòu)成，其中時(shí)間控制模塊貫穿整個(gè)調(diào)度過(guò)程中。

圖1 多目標(biāo)跟蹤多波束調(diào)度策略管理框架

具體步驟描述如下：

步驟1 初始化。在t0時(shí)刻，監(jiān)視區(qū)域內(nèi)共有L個(gè)目標(biāo)，其初始狀態(tài)變量X0=[X10,X20,…,XL0]，協(xié)方差為P0=[P10,P20,…,PL0]；同時(shí)，依據(jù)雷達(dá)的最大跟蹤距離和跟蹤精度門(mén)限，設(shè)定采樣間隔序列T= [T1,T2,…,Tm]，脈沖寬度序列τ=[τ1,τ2,…,τm]，同時(shí)重置時(shí)間指針tres=0。

步驟2 跟蹤目標(biāo)數(shù)量及狀態(tài)更新。在tk時(shí)刻雷達(dá)消耗時(shí)間資源Tjsd,k搜索到新目標(biāo)j后轉(zhuǎn)入跟蹤狀態(tài)，進(jìn)而更新目標(biāo)狀態(tài)變量Xk，時(shí)間指針步進(jìn)tres=tres+Tjsd,k。

步驟3tk時(shí)刻目標(biāo)調(diào)度序列控制及波形參數(shù)優(yōu)化(為簡(jiǎn)化表示，以下推導(dǎo)忽略目標(biāo)編號(hào))。

步驟3.1 一步預(yù)測(cè)的波束調(diào)度效費(fèi)比計(jì)算：由式(11)可知，需要預(yù)測(cè)tk+1時(shí)刻的檢測(cè)概率Pd,k+1|k和誤差協(xié)方差矩陣Pk+1|k，才能計(jì)算出各目標(biāo)的最優(yōu)效費(fèi)比和其對(duì)應(yīng)的跟蹤波形參數(shù)。由于目標(biāo)在雷達(dá)連續(xù)兩次調(diào)度時(shí)間段內(nèi)距離變化很小，可以利用rk來(lái)近似rk+1，則在給定脈沖寬度τk+1條件下可得回波信噪比(RSNR)k+1|k為

(13)

式中,(RSNR)ref、τref和rref表示參考信噪比、脈沖寬度和目標(biāo)距離。故可得預(yù)測(cè)的檢測(cè)概率為

(14)

將采樣間隔值Tk+1和脈沖寬度值τk+1代入式(2)～(4)中，得到一步預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣Pk+1|k，進(jìn)而將其帶入式(5)～(10)中，得到波束調(diào)度效費(fèi)比值ηk。

綜上所述，最優(yōu)跟蹤波形參數(shù)的優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 tk時(shí)刻跟蹤波形參數(shù)優(yōu)化過(guò)程圖

步驟3.2 一步預(yù)測(cè)的調(diào)度函數(shù)值計(jì)算：將目標(biāo)tk時(shí)刻誤差協(xié)方差矩陣Pk|k中位置分量估計(jì)誤差提取后并計(jì)算相應(yīng)的2范數(shù)，即

(15)

圖3 跟蹤加搜索模式下多波束跟蹤調(diào)度示意圖

步驟4tk時(shí)刻多波束方式選擇調(diào)度目標(biāo)。相控陣?yán)走_(dá)跟蹤多波束調(diào)度是在跟蹤駐留時(shí)間Ttd,k內(nèi)進(jìn)行的，然而Ttd,k的大小受到搜索駐留時(shí)間和幀周期的限制，多波束調(diào)度是在搜索駐留時(shí)間和幀周期為定值的條件下進(jìn)行的，故跟蹤加搜索工作模式下搜索和跟蹤調(diào)度示意圖如圖3所示。

(16)

結(jié)合以上步驟，多波束跟蹤調(diào)度算法流程如圖4。

圖4 tk時(shí)刻多波束調(diào)度流程圖

步驟5 時(shí)間指針步進(jìn)tres=tres+T1td,k，其中T1td,k為tk時(shí)刻實(shí)際跟蹤駐留時(shí)間；返回步驟2，直到完成相應(yīng)的搜索與跟蹤任務(wù)。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述方法中調(diào)度函數(shù)和多波束調(diào)度方式兩點(diǎn)創(chuàng)新性工作的有效性和優(yōu)越性，在同一仿真場(chǎng)景下，選取常規(guī)的波束波形聯(lián)合調(diào)度策略[6]和單波束調(diào)度策略進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

3.1 對(duì)比方法介紹

方法1 該方法中的調(diào)度函數(shù)選為實(shí)際跟蹤精度與波形能量的歸一化加權(quán)平均值。

方法2 該方法在上述調(diào)度策略的基礎(chǔ)上，采用單波束調(diào)度方式對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。

3.2 仿真場(chǎng)景

仿真場(chǎng)景如圖5所示，雷達(dá)位置為(0,0)，其兩個(gè)責(zé)任區(qū)[0,π/2]×[0,3 000 km]和[π/2,π]×[0,3 000 km]內(nèi)共存在16個(gè)目標(biāo)，飛行速度為8馬赫，假設(shè)飛行過(guò)程中為勻速直線運(yùn)動(dòng)。在一個(gè)幀周期Tsi=9 s的時(shí)間內(nèi)，在跟蹤資源占比為70%的情況下對(duì)跟蹤波束波形調(diào)度問(wèn)題進(jìn)行仿真。假設(shè)雷達(dá)的基準(zhǔn)探測(cè)距離rref=2 500 km，其對(duì)應(yīng)的信噪比(RSNR)ref=17.2 dB，脈沖寬度τref=5 ms，初始量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣R0=[(10 m)2, (10 m)2]，過(guò)程噪聲協(xié)方差Q0=diag[(51/2m)2, (101/2m/s)2, (51/2m)2, (101/2m/s)2]，跟蹤誤差門(mén)限設(shè)為300 m。

圖5 仿真場(chǎng)景

3.3 仿真結(jié)果與分析

圖6 3種方法各目標(biāo)跟蹤精度對(duì)比

在上述多目標(biāo)場(chǎng)景下，為了更精確地反映目標(biāo)的跟蹤情況，仿真中將均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)作為跟蹤質(zhì)量的評(píng)價(jià)指標(biāo)，信號(hào)平均脈沖寬度和平均采樣間隔時(shí)間作為資源消耗的評(píng)價(jià)指標(biāo)。圖6給出了3種方法下各目標(biāo)調(diào)度過(guò)程中平均均方根誤差和誤差超門(mén)限次數(shù)比例的統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢钥闯觯啾扔谄渌麅蓚€(gè)對(duì)比方法，筆者提出的方法在調(diào)度過(guò)程中的跟蹤質(zhì)量更高，同時(shí)跟蹤誤差超門(mén)限次數(shù)比例也更低。圖7給出了3種方法下各目標(biāo)調(diào)度過(guò)程中平均脈沖寬度和平均采樣間隔的統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢钥闯?，筆者提出的方法消耗更少的脈沖寬度資源，同時(shí)保持較低的采樣間隔時(shí)間。最后，表1給出了3種方法下所有目標(biāo)相應(yīng)指標(biāo)的平均值，經(jīng)計(jì)算可以得出，筆者提出的方法相對(duì)方法1平均跟蹤精度提高約15.57%，相對(duì)方法2提高約11.06%。綜合以上分析可得，筆者提出的方法在跟蹤精度優(yōu)于其他方法的同時(shí)，可以消耗更少的脈沖寬度資源，保持適中的采樣間隔時(shí)間水平，有效地降低了失跟率。

圖7 3種方法各目標(biāo)跟蹤消耗時(shí)間資源對(duì)比

表1 3種方法下評(píng)價(jià)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

為了更好地展現(xiàn)3種方法在調(diào)度過(guò)程中對(duì)跟蹤目標(biāo)精度的控制情況，選取在3種方法中調(diào)度情況均較好的目標(biāo)2進(jìn)行分析。結(jié)果如圖8所示，可以看出筆者提出的方法在目標(biāo)跟蹤誤差超過(guò)門(mén)限后能及時(shí)對(duì)其進(jìn)行調(diào)度，在很大程度上避免了目標(biāo)失跟，然而其他兩種方法沒(méi)有這種控制效果；同時(shí)隨著時(shí)間的推移，目標(biāo)跟蹤精度的變化趨于穩(wěn)定，且能保持在較低的跟蹤誤差水平上。

圖8 3種方法下目標(biāo)2調(diào)度過(guò)程均方根誤差的變化情況

圖9 文中方法調(diào)度過(guò)程波束照射情況(小圓圈表示波束照射)

最后將筆者提出的方法在調(diào)度過(guò)程中波束照射的情況描述為圖9。從圖9可以看出，在整個(gè)調(diào)度過(guò)程中雷達(dá)對(duì)各目標(biāo)的照射次數(shù)相當(dāng)，雖然各目標(biāo)在不同時(shí)刻的調(diào)度函數(shù)值存在差異，但各目標(biāo)本身的運(yùn)動(dòng)特性相似，所以調(diào)度函數(shù)在各決策時(shí)刻所反映的目標(biāo)間的差異體現(xiàn)在目標(biāo)的狀態(tài)上，而并不是目標(biāo)本身的屬性。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者借鑒了效益理論中效費(fèi)比的概念，定義了跟蹤波束波形調(diào)度過(guò)程中的效費(fèi)比和調(diào)度函數(shù)，在跟蹤加搜索的工作模式下并結(jié)合多波束方式，提出了一種效費(fèi)比視角下相控陣?yán)走_(dá)多波束跟蹤波束波形調(diào)度策略。仿真分析表明，所提出的調(diào)度的策略：

(1)可以在各決策時(shí)刻選取最為合適的目標(biāo)進(jìn)行調(diào)度，在保證跟蹤精度的同時(shí)，減少了各目標(biāo)的平均脈沖寬度，提高了平均采樣間隔時(shí)間。

(2)在目標(biāo)數(shù)量較多時(shí)，能夠及時(shí)對(duì)跟蹤精度超出門(mén)限的目標(biāo)進(jìn)行調(diào)度，有效地降低了失跟率。

(3)在整個(gè)調(diào)度過(guò)程中，對(duì)各目標(biāo)的照射次數(shù)相當(dāng)，適合集火突防場(chǎng)景下威脅度相近的群目標(biāo)的跟蹤波束波形調(diào)度問(wèn)題，具有較大的軍事應(yīng)用價(jià)值。