鐘奎奎，李江濤，吳文偉，李 慧

（1.中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇無(wú)錫214082；2.中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海200011）

0 引 言

船舶雙層底是以板架組成的典型船舶結(jié)構(gòu)，包含有外底板、桁材、內(nèi)底板等。雙層底的振動(dòng)特性一直以來(lái)都是非常重要的研究課題，本文將雙層底視為板架的組合結(jié)構(gòu)來(lái)研究。板殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)在低頻段以彎曲波為主，而目前對(duì)板殼振動(dòng)的研究也主要集中于彎曲波，在高頻段，縱波的影響不可忽略，此時(shí)，在組合板結(jié)構(gòu)間，彎曲波和縱波會(huì)發(fā)生波型轉(zhuǎn)換，從而使組合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性變得更為復(fù)雜。因此，以復(fù)雜板殼結(jié)構(gòu)為特征的船體結(jié)構(gòu)振動(dòng)研究有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值，受到國(guó)內(nèi)外同行的持續(xù)關(guān)注。

長(zhǎng)期以來(lái)，功率流方法（PFA）一直都是描述結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)特性非常有效的方法[1-3]。振動(dòng)的傳遞，本質(zhì)上就是一種能量的傳遞。功率流能夠簡(jiǎn)單有效地評(píng)估從能量源到接受者的能量傳輸。功率流包含力和速度幅值的大小，同時(shí)也考慮了它們之間相位的關(guān)系，直接給出振動(dòng)傳遞的絕對(duì)度量值，是研究復(fù)雜板結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有效方法。目前，對(duì)于功率流方法的研究，更多地集中于導(dǎo)納法上[1-2]，但是，這種方法在解決多個(gè)子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)會(huì)很困難，隨著子結(jié)構(gòu)數(shù)量的增加，整體結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納矩陣的組裝程序會(huì)變得非常復(fù)雜，有時(shí)甚至是無(wú)法組裝[3-4]。

動(dòng)剛度法借用有限元法的剛度陣組裝策略來(lái)獲得組合結(jié)構(gòu)的總體動(dòng)剛度矩陣，避免了導(dǎo)納法中導(dǎo)納矩陣難以組裝的問(wèn)題。而且，和導(dǎo)納法一樣，動(dòng)剛度法只需要將整體結(jié)構(gòu)離散成很少的子單元。因此，基于動(dòng)剛度法研究組合板結(jié)構(gòu)的功率流是很有前景的研究方向。

動(dòng)剛度法已成功地應(yīng)用于研究平板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)和彎曲振動(dòng)[5-6]，李慧[7]采用動(dòng)剛度法時(shí)考慮了對(duì)邊簡(jiǎn)支平板的面內(nèi)振動(dòng)和彎曲振動(dòng)。Nefovska-Danilovic和Petronijevc[6]推導(dǎo)了任意邊界條件的矩形薄板的面內(nèi)振動(dòng)的動(dòng)剛度法公式。

本文采用動(dòng)剛度法，研究復(fù)雜組合板結(jié)構(gòu)的功率流特性，同時(shí)計(jì)入了縱波、剪切波與彎曲波，提出基于動(dòng)剛度法的功率流分析技術(shù)。首先分析了L 型板在均勻激勵(lì)下的位移空間分布及頻率響應(yīng)，之后，分析了雙層底的振動(dòng)響應(yīng)及功率流，為工程中板結(jié)構(gòu)的減振降噪提供了一定的指導(dǎo)依據(jù)。

1 動(dòng)剛度法建模

1.1 平板模型描述

如圖1（a）所示為典型的組合板結(jié)構(gòu)及全局坐標(biāo)系OXYZ，各板之間剛性連接，相互之間的夾角分別為β1和β2，局部坐標(biāo)系oxyz附于其上。為建立平板動(dòng)剛度單元，從圖1（a）任取一個(gè)平板作為動(dòng)剛度單元，如圖1（b）所示，該平板兩對(duì)邊簡(jiǎn)支，由符號(hào)“S”表示，另外兩邊自由。為不失一般性，假定圖1（b）中平板尺寸為L(zhǎng)x×Ly，板厚為h。

圖1 典型組合板和對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形板Fig.1 Typical combination plate and rectangular plate with two opposite sides simply supported

1.2 局部坐標(biāo)系下平板動(dòng)剛度陣推導(dǎo)

根據(jù)薄板理論，圖1（b）中平板振動(dòng)控制方程為

式中：u，v，w分別表示x，y，z方向的位移。

其中B為拉伸剛度，D為抗彎剛度，E為彈性模量，ρ為密度，μ為泊松比。考慮到能量損耗，用復(fù)彈性模量EC= E( 1 + i ?δ )代替彈性模量，其中δ = 2η，η為阻尼比。

對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形板的面內(nèi)位移和彎曲位移可以寫(xiě)成

相應(yīng)地，平板邊界上的力和力矩可以表示成

為導(dǎo)出動(dòng)剛度矩陣，需建立平板邊界上的位移和力向量之間的關(guān)系。位移和載荷暫寫(xiě)成如下形式：

采用投影法，將（5）式在任意模態(tài)空間內(nèi)投影，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可以得到局部坐標(biāo)系下平板單元的剛度陣；之后采用有限元法單元組裝的方法，得到整體坐標(biāo)系下的系統(tǒng)動(dòng)剛度矩陣[7]。

2 功率流計(jì)算公式

假設(shè)分布力F ={ }

式中，V*是V的共軛復(fù)數(shù)。輸入功率可以被分為面內(nèi)縱波、面內(nèi)剪切波和彎曲波的共同作用。面內(nèi)縱波引起的輸入功率可以表示成如下形式

面內(nèi)剪切波功率流可以表示成

彎曲波相關(guān)的輸入功率為

如果將組合板結(jié)構(gòu)沿著它們各自的連接邊界離散成一個(gè)個(gè)板單元，那么沿著連接邊界的內(nèi)力可以被看成是板單元受到的外激勵(lì)力。當(dāng)板與板的邊界振動(dòng)響應(yīng)求出來(lái)之后，內(nèi)力F′可以根據(jù)（7）-（10）式推導(dǎo)得到。因此，從一塊板到另一塊板的傳輸能量可以表示成

3 數(shù)值結(jié)果及討論

3.1 數(shù)值驗(yàn)證

如圖2所示，兩個(gè)相同的平板以120°角剛性連接在一起，其材料參數(shù)和幾何尺寸如表1所示。本次計(jì)算兩個(gè)工況，即在平板1的CD邊上分別受到垂向分布力和y向分布彎矩的簡(jiǎn)諧激勵(lì)（單位幅值）。計(jì)算頻段為10-2 010 Hz，計(jì)算截?cái)囗?xiàng)取N=10即可得到良好的結(jié)果[7]。

圖2 L型板計(jì)算模型Fig.2 Calculation model of L-shaped plate

表1 矩形板具體參數(shù)Tab.1 Geometry and material parameters of plate

如圖3所示，在均布激勵(lì)下，AR= Ly/3平板上R點(diǎn)的垂向位移DSM 計(jì)算值同有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好。其中，在400 Hz 以?xún)?nèi)彎曲振動(dòng)的峰值出現(xiàn)的頻率均高度一致，而隨著頻率的提高，峰值出現(xiàn)的頻率相差較大，主要原因在于隨著頻率的增高，有限元方法的計(jì)算不確定性逐漸增大，同時(shí)，DSM的截?cái)囗?xiàng)取10 對(duì)高頻振動(dòng)的模擬不夠充分。因此，忽略共振處出現(xiàn)的微小偏差，有限元計(jì)算結(jié)果和動(dòng)剛度法計(jì)算位移曲線趨勢(shì)是一致的，且處在同一量級(jí)，計(jì)算結(jié)果吻合良好。

圖3 垂向分布力作用下點(diǎn)R的垂向振動(dòng)位移曲線Fig.3 Vertical vibration at point R for the plates excited by uniformly distributed perpendicular forces

類(lèi)似地，圖4 給出均布彎矩作用下，平板點(diǎn)R 的面內(nèi)位移曲線，在400 Hz 以?xún)?nèi)面內(nèi)振動(dòng)幅值和有限元結(jié)果吻合良好，隨著頻率的提高兩者差異較大，但是趨勢(shì)一致。但是，需要說(shuō)明的是，文中的雙板結(jié)構(gòu)在受到激勵(lì)時(shí)，其內(nèi)部同時(shí)存在面內(nèi)振動(dòng)和彎曲振動(dòng)，而且兩者耦合。因此，圖3 和圖4 表明，動(dòng)剛度法可以比較精確地模擬結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)、面外振動(dòng)及其耦合問(wèn)題。

圖4 均布彎矩作用下R點(diǎn)的縱向振動(dòng)位移曲線Fig.4 Longitudinal displacements at point R for the plates excited by uniformly distributed bending moments

同時(shí)，本文給出了在200 Hz時(shí)兩種不同激勵(lì)作用下的平板位移云圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，通過(guò)動(dòng)剛度法得到的振動(dòng)位移云圖和有限元法吻合良好，有著相同的幅值峰值和谷值。這為后續(xù)深入研究復(fù)雜板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)傳遞、波形轉(zhuǎn)換和波傳播規(guī)律提供了算法基礎(chǔ)。

圖5 垂向分布力作用下200 Hz時(shí)的振動(dòng)位移云圖Fig.5 Displacement nephogram at 200 Hz for the plates excited by uniformly distributed transverse forces

圖6 均布彎矩作用下200 Hz時(shí)的振動(dòng)位移云圖Fig.6 Displacement distributions at 200 Hz for the plates excited by uniformly distributed bending moments

3.2 功率流計(jì)算分析

首先計(jì)算圖2 所示L 型矩形板輸入功率流及輸出功率流，計(jì)算結(jié)果如圖7 和圖8 所示。圖7 給出了板1的輸入功率流曲線和板2的傳輸功率流曲線?？梢?jiàn)，輸入功率流和傳輸功率流在共振頻率處同時(shí)到達(dá)了峰值；同樣地，在反共振頻率處，輸入功率流和傳輸功率流都同時(shí)達(dá)到了低谷。也就是說(shuō)，當(dāng)平板在共振頻率處被完全激勵(lì)時(shí)，結(jié)構(gòu)中可以得到更多的振動(dòng)傳輸能量，而且從圖7中我們還可以看到，在共振頻率處，幾乎所有的振動(dòng)能量都被傳輸?shù)桨?，而在反共振頻率處，則是很少的一部分能量被傳輸?shù)桨?中。

圖7 垂直分布力作用下板的功率流Fig.7 Power flow results for plates driven by uniformly distributed perpendicular forces

圖8 均布彎矩作用下板的功率流Fig.8 Power flow results for plates driven by uniformly distributed bending moments

同樣地，圖8給出了外載荷為彎矩時(shí)的功率流曲線。同樣可以發(fā)現(xiàn)，輸入功率流和傳輸功率流在共振頻率處同時(shí)到達(dá)峰值。

除了研究板結(jié)構(gòu)內(nèi)的功率流之外，振動(dòng)傳輸路徑在研究組合板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性中也有很重要的作用[8-9]。Feng等人[9]對(duì)一個(gè)梁-圓柱殼體結(jié)構(gòu)中的功率流進(jìn)行了研究分析，并且還對(duì)比了三種不同的能量傳輸路徑，并最終確定了最主要的傳輸路徑?；趧?dòng)剛度法也可以對(duì)結(jié)構(gòu)的能量傳輸路徑進(jìn)行一個(gè)直觀的描述。

圖9 雙層底艙段模型Fig.9 Model of double-bottom tank

圖9 所示為一典型船舶雙層底結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化模型，由19 塊板組合而成。計(jì)算其在上甲板，即板5中心受單位簡(jiǎn)諧垂向點(diǎn)激勵(lì)作用下的結(jié)構(gòu)功率流密度向量的幅值云圖。

圖10 為雙層底艙段模型的正視圖。雙層底長(zhǎng)10 m，材料參數(shù)和表1所列出的一致。

圖11 為在頻率為200 Hz 時(shí)雙層底整體結(jié)構(gòu)的功率流云圖?？梢?jiàn)，除了板5 之外，很少有能量傳遞到其它板，因此板5 也是在此點(diǎn)激勵(lì)下振動(dòng)控制的主要目標(biāo)。為了更進(jìn)一步研究功率流的傳播路徑，我們也可以作功率流的矢量分布圖。

圖10 雙層底艙段正視圖Fig.10 Front view of double-bottom tank model

圖12-13 分別為板5 及板4 的功率流矢量分布圖，由圖可知由于點(diǎn)激勵(lì)施加于板5的中心及結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，各板的功率流分布也有著不同的對(duì)稱(chēng)性。由圖12 可知，受力點(diǎn)處的功率流幅值在板5 中并不是最大的，而且在其周?chē)▓D12 中矩形框范圍內(nèi)），功率流的傳輸方向都指向受力點(diǎn)。由圖13 可知，在板4 中，功率流的傳輸并不僅僅是由與受激板相連的邊向板其余各處傳播，在圖13 中矩形框范圍內(nèi)的功率流也有著明顯的向外傳播的特性。這是因?yàn)楣β柿魅Q于內(nèi)力和其速度響應(yīng)幅值及其之間的相位角，當(dāng)相位角小于90°時(shí)，功率流的符號(hào)為負(fù)，吸收能量；而當(dāng)相位角位于90°和180°之間時(shí)，功率流的符號(hào)為正，輸出能量。

由以上分析可知，動(dòng)剛度功率流法能夠研究整個(gè)模型中功率流的傳播路徑，可為結(jié)構(gòu)的減振降噪提供直觀的理論依據(jù)。

圖11 雙層底功率流云圖Fig.11 Power flow diagram of double bottom

圖12 板5功率流矢量圖Fig.12 Power flow vector diagram of plate No.5

圖13 板4功率流矢量圖Fig.13 Power flow vector diagram of plate No.4

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于動(dòng)剛度功率流法，并且將板的面內(nèi)振動(dòng)和面外振動(dòng)同時(shí)考慮在內(nèi)，分析了組合板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，為進(jìn)一步深入研究板與板之間的波型轉(zhuǎn)換打下了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。本文通過(guò)對(duì)兩個(gè)具體模型進(jìn)行數(shù)值分析，充分研究了復(fù)雜組合板結(jié)構(gòu)內(nèi)的功率流特性以及能量傳輸路徑等問(wèn)題。與基于導(dǎo)納法的功率流分析方法[1-3]相比，基于動(dòng)剛度法的功率流分析方法更加適用于復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性研究，因?yàn)榕c傳統(tǒng)的有限元方法一樣，整體結(jié)構(gòu)的總體動(dòng)剛度矩陣可以通過(guò)簡(jiǎn)單直接的方法進(jìn)行組裝。