□ 王敏烽

人教版四年級上冊《平行與垂直》一課是建立在學生完整認識“線”和“角”這兩個概念的基礎上展開教學的。是“線關系”發(fā)生的基點，是學生第一次以“相互”的眼光同時看待兩條線；是平面與圖形認知發(fā)展的節(jié)點，為后續(xù)進一步定性認識長方形、正方形等平面圖形奠定概念要素基礎，標志著圖形領域從一維幾何轉(zhuǎn)向二維幾何；是學生理性認識圖形的邏輯起點，學生逐漸要學會用關系的眼光來看待圖形特征，用度量的眼光看待圖形大小，用辯證的眼光看待圖形關系。

針對本內(nèi)容，筆者也做了相關的調(diào)查和前測，經(jīng)梳理統(tǒng)計，問題和數(shù)據(jù)如下。

【調(diào)查和前測】

調(diào)查一：教師調(diào)查

梳理內(nèi)容梳理問題統(tǒng)計數(shù)量結果統(tǒng)計（人教版）《平行與垂直》設計課例概念得出前是否有操作、分類？10篇抽象、操作、分類抽象、分類（弱化畫）沒有4篇4篇2篇

根據(jù)課例梳理，結合區(qū)域內(nèi)8位執(zhí)教過此內(nèi)容教師的訪談，總結如下。

（1）70%以上的課堂都在走“生活+半抽象—類比+對比”的路徑，這也是較為常規(guī)的路徑。然而，抽象的過程形式味過重。生活中并無直線原型，所謂的抽象實質(zhì)影響學生的想象。

（2）在有限的時間內(nèi)“任意畫兩條直線”，學生的思考和表達相當有限，學生呈現(xiàn)的作品很單一，課堂上用于研究分類的生成不全面，部分設計課例呈現(xiàn)的是教師補充或替代的內(nèi)容。

（3）分類環(huán)節(jié)中，無效的、不能體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)的分類，使得整個教學過程的實效性過低。

調(diào)查二：學生前測

前測對象：本校401班學生40人。

問題1：聽說過數(shù)學中的平行和垂直嗎？

問題2：請你畫一畫平行和垂直。（聽說過的人回答）

從以上數(shù)據(jù)可以清楚地看到，學生對于“平行和垂直”的認知儲備和操作水平都是比較低的，主要原因是學生知識經(jīng)驗的缺失。雖然也有學生具備一定的認知，但大多是停留在一條線上，普遍認為平行是水平的線，垂直是豎直的線?？磥?，學生是對一條線的位置認識產(chǎn)生了主觀上的誤解。

綜上所述，這樣一節(jié)極具“數(shù)學味”的圖形與幾何領域的新授課，既離不開學生的自主操作，又要兼顧課堂教學的實效性。特別是在借班上課的背景下，選擇借助前置趣味探究性作業(yè)，在激活前概念的同時，可以對學生整體水平有一個較為真實的把握。這樣，既能幫助教師合理預設課堂活動任務，又能在尊重學生本體認知水平的基礎上實現(xiàn)經(jīng)驗的重組、再造和升華。

【實踐探索】

◆課前探究

1.提前給任教班級下發(fā)探究作業(yè)單。

同學，你好！為了讓我更好地了解你，老師為你私人定制了下面這份探究作業(yè)。請你仔細讀題，展開想象，認真作答。

（1）把這張作業(yè)紙看作一個平面。假如在這個平面里跑進來1條直線，想象一下，它可能是什么樣子？請把它畫下來。

（2）假如在這個平面里又跑進來1條直線，2條直線之間又會發(fā)生什么故事呢？請你把它們畫下來。（想到幾種就畫幾種）

2.課前30分鐘左右回收作業(yè)單，并統(tǒng)計數(shù)據(jù)，選擇典型的素材完成課前準備。

◆課中探索

1.借探究作業(yè)，初步認識“相交”與“平行”。

（1）想象。

①平面上1條直線。

問：同學們，這個屏幕可以看作是數(shù)學上的面，平平的面。如果要在這個平面里畫一條直線，想象一下，它可能是什么樣子？

反饋明確：可以向不同的方向畫，因為直線是可以向兩端無限延伸的，所以只需要畫一部分就可以表示直線。

②平面上2條直線。

問：假如在這個平面內(nèi)又跑來一條直線，兩條直線之間會發(fā)生怎樣的故事呢？

反饋學生作品：

問：你能看懂這些作品嗎？和同桌說說你的理解。

合作學習：學生相互交流自己對作品的想法。

（設計意圖：兩個探究話題的呈現(xiàn)，一是學生對于直線和直線位置前概念的呈現(xiàn)，為下一環(huán)節(jié)的教學引出素材；二是不同層次學生認知的交流、共享，再一次完善前概念。）

（2）自主分類：直觀認識“相交”“平行”“重合”。

引導分類。

①反饋“重合”。

教師引導學生想象，并課件演示兩條直線重合的過程。

師：我們只看見了一部分，實際上是什么樣子的？

小結：這樣的兩條直線重合，等同于同一條線。在研究兩條直線的位置關系時，一般不研究這種位置關系。

②反饋“相交”。

問：兩條直線相交有什么特點？（兩條直線會碰在一起）

小結：看來相交就是得碰一下，撞出個交點來。我們來看看數(shù)學家們規(guī)定的“相交”。

③反饋“平行”。

問：兩條直線平行有什么特點？（不會碰在一起）

師（課件演示）：這兩條直線延長后會相交嗎？我們來看看數(shù)學家們規(guī)定的“平行”。

④反饋特殊的“相交”。

（師課件出示右圖）

辨析：你覺得這屬于上面“相交與平行”的哪種情況？

生比畫：延長后，這兩條直線就會相交在一起，所以是相交。

小結：在研究兩直線位置關系時，不要忽略了直線是可以向兩端無限延伸的。

（設計意圖：在問題引領下，學生自發(fā)展開了對兩直線位置關系的研究?；趯W生對作品的直觀解讀，在對不同探究作品的評析、類比中抓住了兩直線位置關系的外顯特征，并輔以數(shù)學家的介紹，對關系概念進行了規(guī)范描述。）

2.借變換想象，深入理解“相交”與“平行”。

過渡：現(xiàn)在我們知道了兩條直線在一個平面上的位置關系，有相交，有永遠不相交（平行）。

（1）平行：通過格子圖感受等距。

①出示格子圖。

你覺得哪一組是不會相交的？

②想象，假如這個面繼續(xù)擴大，這兩條直線，一直延長，它們之間還是會隔著2個格子。

③動畫演示平行。

（層次一：延長之后仍不相交；層次二：旋轉(zhuǎn)一組平行線，仍然平行。）

④揭示概念、規(guī)范讀寫。

⑤跟進練習：判斷平行線。

（2）相交：從特殊角度看相交。

①用數(shù)學的眼光看，相交于一點，還形成了什么？（相交會形成鈍角、銳角）

②特殊“相交”。

想象畫：請你想象一下，兩條直線相交，除了會相交形成兩個鈍角和兩個銳角，還有沒有其他可能？把你想到的畫在創(chuàng)作紙上。

反饋交流學生作品。

③概念引出：相交成直角，互相垂直。

師：兩條直線相交成直角的時候，在數(shù)學上又有一個新的名稱。那如果一條記作直線c，一條記作直線d，我們就可以說直線c是直線d的垂線，直線d是直線c的垂線。它們互相垂直，寫作c⊥d。

④跟進練習：判斷是不是垂直（各種變換：不出頭、成直角、無垂足）。

（3）聯(lián)系：溝通變換看關系。

①回顧板書，小結兩種相交（普通相交和互相垂直）。提問：這些位置關系之間有什么聯(lián)系呢？

②聯(lián)系（幾何畫板動態(tài)演示）。

（設計意圖：借助格子圖，從兩線間距離的角度，揭示平行和相交的數(shù)學本質(zhì)；借助線的旋轉(zhuǎn)、平移變換，進一步從角的角度研究相交，得出兩直線垂直概念；借助圖形運動和幾何畫板變換，豐富對平行、垂直的表象，加深對概念的理解。）

3.借鞏固應用，內(nèi)化發(fā)展“相交”與“平行”。

（1）生活中的平行與相交。

（2）圖形中的平行與相交。

在我們已經(jīng)認識的平面圖形中有互相平行和互相垂直的現(xiàn)象嗎？

（3）延伸想象（課后探究作業(yè)）。

平面內(nèi)已跑入2條互相平行的直線，要圍成一個長方形，還需要怎樣的2條直線？請想象。

（設計意圖：第1題聯(lián)系生活，把抽象的數(shù)學知識與生活場景相關聯(lián)，可以有效加深學生對知識的記憶和理解，亦是數(shù)學知識生活化的體現(xiàn)；第2題將新知與已有的知識經(jīng)驗相關聯(lián)，在加強理解的同時，又能完整知識體系；第3題是線關系的綜合應用，通過拓展為后續(xù)教學的開展做銜接、打基礎。）

4.課堂總結。

今天我們學習了什么？是怎么展開研究的？

【課后回望】

這節(jié)課從學生的前測問題和素材導入，通過學生對自己作品的觀察、評價、分類，層層深入。從靜態(tài)初識到動態(tài)抽象，再到回歸生活，課堂探究氛圍濃厚。其教學思路主要有以下特點。

一、前置探究，探查前概念，為教學尋起點

“學為中心”是設計探究作業(yè)的指導思想，明確“環(huán)節(jié)”要充分挖掘，呈現(xiàn)學生原有的認知基礎。特別是在借班上課的情況下，能夠提前把握班級整體水平及學生水平間的差異，為課堂的推進選擇一個適切的起點。我們從前測中看到，學生對于概念的認知水平還是比較低的，為此前測設計是從畫一條直線進入，通過小故事進行引導，讓學生自主開展對兩條直線位置的自我研究，這是對學生原有認知水平能力的挖掘。課堂第一環(huán)節(jié)中所呈現(xiàn)的不同水平層次作品，是對各水平層次學生前置探究的呈現(xiàn)。不同水平層次的思考階梯式呈現(xiàn)，不同中探尋相同，經(jīng)驗得以重組提升。從另一個角度看，也是對課堂時間的填補，有效解決了課堂上學生探究時間不夠、思考不充分的困惑。

二、課中互評，加工前經(jīng)驗，為提升尋支點

“經(jīng)驗再造”是設計探究作業(yè)的內(nèi)核本質(zhì)，強調(diào)“學習”要主動提取，改造學生原有認知經(jīng)驗。通過層次性的素材呈現(xiàn)和交流評價，不同水平層次的經(jīng)驗在相互的碰撞中提煉出共性的經(jīng)驗提升支點。教學中主要分兩個層次來落實。首先基于生生互動，通過對作品進行評價，學生的認知經(jīng)驗在調(diào)取、修正、重建中實現(xiàn)提升，輔以課堂教學、評價，實現(xiàn)靜態(tài)下兩直線位置關系概念的初步形成，關注學生自我習得素養(yǎng)的養(yǎng)成；其次，借助運動的變換，在變化中找“不變”，進一步加深對概念本質(zhì)的體驗，關注學生辯證科學素養(yǎng)的養(yǎng)成。

三、課后探究，應用新思考，為建構尋創(chuàng)點

“知識建構”是設計探究作業(yè)的最終歸屬，強調(diào)“評價”要有效夯實，發(fā)展學生現(xiàn)有認知經(jīng)驗。除了對知識的點對點鞏固以外，還要思考如何與學生更多的“能力線”“思維面”掛鉤。這不僅僅是作業(yè)形式的改變，更是學生學習方式的改變，為學生在學習探究能力發(fā)展、思維廣度提升上提供可創(chuàng)新的“點”。在練習環(huán)節(jié)，生活中的“平行與垂直”，用抽象的眼光看待線關系的存在，將數(shù)學與生活進行關聯(lián)，體會生活中處處有數(shù)學；數(shù)學中的“平行與垂直”，用建模的眼光看待線關系的存在，將知識前后串聯(lián)，感悟數(shù)學中處處皆關聯(lián)。