趙雷雷，于曰偉，周長(zhǎng)城，楊福興

(1. 山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，山東 淄博 255049；2. 北京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100876)

康復(fù)機(jī)器人輪椅屬于康復(fù)醫(yī)療機(jī)械，為康復(fù)病人進(jìn)行身體鍛煉和參與社會(huì)活動(dòng)提供了便利[1-2].隨著社會(huì)的發(fā)展，機(jī)器人輪椅使用者的出行需求在不斷增大[3].機(jī)器人輪椅在行進(jìn)過(guò)程中，路面不平順隨機(jī)激勵(lì)導(dǎo)致的人體振動(dòng)不可避免，對(duì)病人的康復(fù)和舒適性產(chǎn)生了不利影響[4].因此，如何有效降低機(jī)器人輪椅的振動(dòng)引起了人們的極大關(guān)注.

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞機(jī)器人輪椅的振動(dòng)及舒適性問(wèn)題展開(kāi)了相關(guān)研究，但尚未給出抑制人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)在路面不平順隨機(jī)激勵(lì)下振動(dòng)的解析優(yōu)化數(shù)學(xué)模型.文獻(xiàn)[5]對(duì)輪椅坐墊阻尼特性進(jìn)行了研究，但未給出阻尼特性的匹配方法；文獻(xiàn)[6]為了便于輪椅減振系統(tǒng)設(shè)計(jì)，提出了兩段連桿式人體振動(dòng)模型；文獻(xiàn)[7]分析了行進(jìn)過(guò)程中輪椅的振動(dòng)傳遞特性及對(duì)病人的影響，但并未提出有效的振動(dòng)抑制方法.文獻(xiàn)[8]基于人體-輪椅6自由度模型對(duì)輪椅在正弦激勵(lì)下人體振動(dòng)進(jìn)行了仿真，但對(duì)機(jī)器人輪椅隨機(jī)振動(dòng)沒(méi)有詳細(xì)研究，更未給出相應(yīng)的抑制措施.文獻(xiàn)[9]基于Q-Learning算法提出了一種新的機(jī)器人輪椅使用者舒適性評(píng)價(jià)方法，這對(duì)機(jī)器人輪椅的振動(dòng)及舒適性評(píng)價(jià)具有一定的參考價(jià)值，但未給出機(jī)器人輪椅抑振優(yōu)化模型及方法.文獻(xiàn)[10]建立了電動(dòng)輪椅坐墊舒適度數(shù)學(xué)模型，為輪椅設(shè)計(jì)提供了參考，但未提出坐墊減振特性匹配方法.由此可見(jiàn)，人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)在路面不平順隨機(jī)激勵(lì)下的振動(dòng)抑制方法有待進(jìn)一步研究.

為了有效抑制人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)的振動(dòng)，本文以不平順隨機(jī)路面作為機(jī)器人輪椅典型行駛路況，建立人體-機(jī)器人輪椅垂向振動(dòng)模型；探究路面不平順隨機(jī)激勵(lì)下人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特性，進(jìn)而創(chuàng)建人體-機(jī)器人輪椅抑振參數(shù)的解析優(yōu)化模型及方法.

1 人體-機(jī)器人輪椅垂向振動(dòng)模型

對(duì)于康復(fù)機(jī)器人輪椅，若建立復(fù)雜的振動(dòng)模型進(jìn)行振動(dòng)分析，不僅需要大量的處理工作，而且在機(jī)器人輪椅的設(shè)計(jì)初期，建立精確振動(dòng)模型所需要的參數(shù)常常是未知的.因此，需要對(duì)機(jī)器人輪椅進(jìn)行簡(jiǎn)化，以便快速地對(duì)輪胎、坐墊等減振元件的設(shè)計(jì)參數(shù)作出合理的選擇，避免反復(fù)試驗(yàn)，從而降低研發(fā)成本.路面激勵(lì)對(duì)人體影響較大的振動(dòng)主要集中在1.0～10.0 Hz.人體是一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)，為了便于理論計(jì)算，將人體視為剛體質(zhì)量并忽略機(jī)器人輪椅的幾何特征，創(chuàng)建人體-機(jī)器人輪椅垂向振動(dòng)模型，如圖1所示.在該模型中，將坐墊及輪胎均簡(jiǎn)化為具有線性剛度和阻尼的減振元件.圖1中：m1和m2分別為椅身質(zhì)量和人體質(zhì)量；K1和C1分別為所有輪胎的總垂向剛度和總阻尼；K2和C2分別為坐墊剛度和阻尼；z1和z2分別為椅身質(zhì)量和人體質(zhì)量相對(duì)于各自靜平衡位置的垂向位移；q為路面高程.輪胎及坐墊主要隔離垂向振動(dòng)，故本文僅對(duì)人體-機(jī)器人輪椅的垂向振動(dòng)進(jìn)行分析.

圖1 人體-機(jī)器人輪椅垂向振動(dòng)模型Fig.1 Vertical vibration model of human-wheelchair

根據(jù)牛頓第二定律，可得上述模型的振動(dòng)微分方程為

(1)

機(jī)器人輪椅常在人行道上行駛，其路面形式有水泥、瀝青及鋪磚等.不同路面的鋪裝形式對(duì)機(jī)器人輪椅通行的影響主要通過(guò)路面形成的激振頻率來(lái)完成.當(dāng)機(jī)器人輪椅在瀝青或水泥等隨機(jī)路面上行駛時(shí)，可將路面譜抽象為滿足一定條件的白噪聲，其時(shí)域模型為[11]

(2)

上述隨機(jī)路面模型的速度功率譜密度可表示為

(3)

式中：ω=2πf且f為激振頻率.

2 振動(dòng)響應(yīng)解析式

幅頻特性分析能直觀地呈現(xiàn)振動(dòng)系統(tǒng)在不同頻率下的減振性能，加速度方均根分析可用于整體減振性能評(píng)估[12-13].為此，本節(jié)基于人體-機(jī)器人輪椅垂向振動(dòng)模型，推導(dǎo)了人體振動(dòng)加速度頻響函數(shù)及方均根解析式，并提出了振動(dòng)響應(yīng)系數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)振動(dòng)響應(yīng)的解析描述.

2.1 人體振動(dòng)加速度頻響函數(shù)

僅討論人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度及阻尼參數(shù)，只能對(duì)特定的康復(fù)機(jī)器人輪椅進(jìn)行振動(dòng)分析和設(shè)計(jì).因此，為了使討論的物理量具有更廣泛的理論指導(dǎo)意義，引入以下輔助變量：

其中：rk為剛度比；rm為質(zhì)量比；ω1為椅身無(wú)阻尼固有圓頻率；ω2為人體無(wú)阻尼固有圓頻率；ξ1為輪胎減振系統(tǒng)的阻尼比；ξ2為坐墊減振系統(tǒng)的阻尼比；η為固有圓頻率比.

根據(jù)引入的變量，對(duì)式(1)進(jìn)行恒等變換，可得

(4)

對(duì)式(4)化簡(jiǎn)，可得

(5)

ξ1η+ξ1rm)ω2+ω4]

(6)

式中：j為虛數(shù)單位.

2.2 人體振動(dòng)加速度方均根響應(yīng)及響應(yīng)系數(shù)

(7)

(8)

式中：h(t)為脈沖響應(yīng)函數(shù).

人體振動(dòng)加速度的功率譜密度可表示為

Ga(ω)=E[a(t)a(t+τ)] =

(9)

將式(3)代入式(9)，可得

(10)

人體振動(dòng)加速度方均根響應(yīng)可表示為

(11)

將式(10)及代入式(11)，整理可得

(12)

根據(jù)留數(shù)定理，對(duì)式(12)積分，可得

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)行恒等變形得

(14)

式中：ρ定義為人體振動(dòng)加速度響應(yīng)系數(shù)，即

(15)

由式(15)可知：ρ的單位為s-1.5；ρ與rk，rm，ω2，ξ2及ξ1有關(guān)，與u及Gq(n0)無(wú)關(guān).可見(jiàn)ρ僅由人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)參數(shù)決定；ρ值越小，表征機(jī)器人輪椅在隨機(jī)路況下的減振性能越好.

3 人體-機(jī)器人輪椅的抑振分析及優(yōu)化模型

3.1 人體-機(jī)器人輪椅阻尼參數(shù)的抑制規(guī)律分析

輪胎和坐墊作為減振元件，其剛度主要起到支撐和振動(dòng)緩沖作用，而其阻尼起到振動(dòng)衰減作用.為了有效抑制并衰減人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)在路面不平順隨機(jī)激勵(lì)下的振動(dòng)，下文重點(diǎn)分析ξ1和ξ2對(duì)人體振動(dòng)加速度頻響函數(shù)及ρ的影響規(guī)律.

圖2 不同ξ1時(shí)的|H(jω)|Fig.2 Surface of |H(jω)| with different values of ξ1

圖3 不同ξ2時(shí)的|H(jω)|Fig.3 Surface of |H(jω)| with different values of ξ2

圖4 ρ隨ξ1和ξ2的變化曲線Fig.4 Curves of ρ versus ξ1 and ξ2

由圖2可知：人體和椅身共振頻率分別為2.4和9.0 Hz；當(dāng)ξ1較大時(shí)，可有效抑制人體和椅身共振峰值，但卻引起了10.0 Hz后區(qū)域幅值的增大.由圖3可知：增大ξ2可有效降低人體共振峰，且對(duì)椅身共振峰影響很小，但卻引起了兩共振峰之間非共振區(qū)幅值的明顯增大.由此可見(jiàn)，ξ1和ξ2過(guò)大或者過(guò)小均不利于抑制人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)的振動(dòng).圖4(a)表明，ρ隨著ξ1的增大先減小后增大，故ξ1存在最優(yōu)值使ρ最小化.由圖4(b)可知，ξ2也存在最優(yōu)值使ρ最小化.因此，可通過(guò)優(yōu)化ξ1和ξ2降低人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)的振動(dòng).

3.2 人體-機(jī)器人輪椅抑振參數(shù)的解析優(yōu)化模型

以ρ最小為優(yōu)化目標(biāo)，以ξ1和ξ2為抑振優(yōu)化變量，建立目標(biāo)函數(shù)J：

min{J(ξ1,ξ2)}=min{ρ}

(16)

坐墊減振系統(tǒng)和輪胎減振系統(tǒng)均為小阻尼隔振系統(tǒng)，故滿足如下約束條件：

(17)

對(duì)式(16)求ξ2的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，得

(18)

式中：

對(duì)式(16)求ξ1的偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0，得

(19)

式中：

聯(lián)系式(18)和(19)，可得

(20)

式(20)所有解中滿足式(17)的實(shí)數(shù)解即為使得目標(biāo)函數(shù)J最小化的最優(yōu)解，簡(jiǎn)記為(ξ1op,ξ2op).最優(yōu)解(ξ1op,ξ2op)僅與rk和rm有關(guān)，與u及Gq(n0)無(wú)關(guān).

在求得(ξ1op,ξ2op)后，根據(jù)ξ1和ξ2的定義式，可得輪胎及坐墊的最優(yōu)阻尼(C1op,C2op)為

(21)

4 優(yōu)化實(shí)例及數(shù)值模擬

某型號(hào)四輪康復(fù)機(jī)器人輪椅系統(tǒng)的參數(shù)為:K1=80 N/mm，K2=16 N/mm，m1=25 kg，m2=70 kg；機(jī)器人輪椅行駛工況為：u=1.0 m/s，水泥人行道Gq(n0)=2.56×10-4m-3.

4.1 解析優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)上述解析優(yōu)化模型，可得ξ1op和ξ2op分別為0.55和0.22，C1op和C2op分別為 1 556 N·s/m和466 N·s/m，每個(gè)輪胎的阻尼為389 N·s/m.機(jī)器人輪椅以u(píng)=1.0 m/s行駛在Gq(n0)=2.56×10-4m-3的水泥人行道上時(shí)，根據(jù)式(13)可得不同ξ1和ξ2情況下的σa，如圖5所示.當(dāng)ξ1=0.554且ξ2=0.219 5 時(shí)，σa最小且最小值為0.56 m/s2.此外，根據(jù)解析優(yōu)化結(jié)果，可知輪胎及坐墊的最優(yōu)阻尼比分別在0.5和0.2左右，避免了傳統(tǒng)上在0～1之間選取阻尼比的盲目性.

圖5 不同ξ1和ξ2時(shí)的σaFig.5 Surface of σa with different values of ξ1 and ξ2

4.2 數(shù)值模擬

以式(2)生成的時(shí)域信號(hào)作為輸入，利用MATLAB軟件自帶的ode45算法對(duì)式(1)進(jìn)行求解，進(jìn)而對(duì)機(jī)器人輪椅行進(jìn)在隨機(jī)水泥路面時(shí)的人體振動(dòng)加速度進(jìn)行數(shù)值模擬.輸入信號(hào)如圖6所示.

圖6 水泥路面不平順隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)Fig.6 Random excitation signal of cement pavement

以σa最小為目標(biāo)，C1和C2為變量，利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化.當(dāng)σa達(dá)到最小值時(shí)，可得C1=1 551 N·s/m，C2=469 N·s/m.解析優(yōu)化模型得出結(jié)果與其相對(duì)偏差分別為0.3%和0.6%，表明解析優(yōu)化模型與數(shù)值模擬是一致的.解析優(yōu)化模型與機(jī)器人輪椅u及Gq(n0)無(wú)關(guān)，故無(wú)需建立數(shù)值模型進(jìn)行多次模擬優(yōu)化.與以C1和C2為優(yōu)化變量相比較，解析優(yōu)化模型以無(wú)量綱阻尼比ξ1和ξ2為優(yōu)化變量，更具有理論指導(dǎo)價(jià)值.因此，該模型便于指導(dǎo)輪胎和坐墊的快速選型及設(shè)計(jì).

5 結(jié)語(yǔ)

本文建立了人體-機(jī)器人輪椅垂向振動(dòng)模型，提出了機(jī)器人輪椅在隨機(jī)路面激勵(lì)時(shí)的人體振動(dòng)加速度響應(yīng)系數(shù)ρ；以ξ1和ξ2為優(yōu)化變量，創(chuàng)建了人體-機(jī)器人輪椅抑振參數(shù)的解析優(yōu)化模型.通過(guò)理論分析、實(shí)例優(yōu)化及模擬驗(yàn)證，可知：

(1)ρ僅由人體-機(jī)器人輪椅系統(tǒng)參數(shù)決定；ρ值越小，則機(jī)器人輪椅在隨機(jī)路況下減振性能越好.

(2) 增大ξ1，可同時(shí)抑制人體和椅身共振峰值，但會(huì)引起椅身共振區(qū)后區(qū)域幅值增大；增大ξ2可有效降低人體共振峰，對(duì)椅身共振峰影響很小，但會(huì)引起人體和椅身共振峰之間區(qū)域幅值的明顯增大.

(3) 解析優(yōu)化模型得出優(yōu)化結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果的相對(duì)偏差分別為0.3%和0.6%，證明了解析優(yōu)化模型的正確性.

(4) 解析優(yōu)化模型與機(jī)器人輪椅行進(jìn)速度及隨機(jī)路面譜密度無(wú)關(guān)，僅和人體與椅身的質(zhì)量比及輪胎與坐墊的剛度比有關(guān)，且以無(wú)量綱的阻尼比ξ1和ξ2為優(yōu)化變量，便于指導(dǎo)康復(fù)機(jī)器人輪椅設(shè)計(jì)人員快速進(jìn)行輪胎和坐墊選型及設(shè)計(jì).