阿布都沙拉木·阿布都克力木，諶 勛，吾爾尼沙·依明尼亞孜

(1. 新疆大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，烏魯木齊 830044； 2. 上海交通大學(xué) 物理與天文學(xué)院，上海 200240)

近年來，眾多宇宙學(xué)和天文觀測證據(jù)都強(qiáng)烈暗示著宇宙中存在大量的暗物質(zhì)[1].理論物理學(xué)家對暗物質(zhì)的本質(zhì)有若干猜想，其中最為流行的理論之一[2-3]認(rèn)為暗物質(zhì)是一種參與某種弱相互作用的大質(zhì)量粒子(WIMP).在極低本底環(huán)境下，利用高靈敏的粒子探測器對暗物質(zhì)進(jìn)行直接探測是研究WIMP的重要手段.

在過去的三十多年時(shí)間內(nèi)，國際上進(jìn)行了多項(xiàng)暗物質(zhì)直接探測實(shí)驗(yàn)研究，但是除了個別被廣泛質(zhì)疑的信號外，大部分實(shí)驗(yàn)都沒有找到暗物質(zhì)的跡象[4-7].近年來，基于二相型液氙技術(shù)的暗物質(zhì)直接探測實(shí)驗(yàn)將暗物質(zhì)探測的靈敏度提高了多個數(shù)量級，其中由我國主導(dǎo)的PandaX-II 暗物質(zhì)直接探測實(shí)驗(yàn)更是基于當(dāng)時(shí)世界上最大的5.4×104kg·d的數(shù)據(jù)集，于2017年給出了對質(zhì)量大于100 GeV/c2(1 eV/c2=1.782×10-36kg)的暗物質(zhì)與普通物質(zhì)自旋無關(guān)散射截面的最強(qiáng)限制[6].

自2017年以來，PandaX-II 實(shí)驗(yàn)還分別發(fā)表了關(guān)于暗物質(zhì)與普通物質(zhì)自旋相關(guān)散射、軸子暗物質(zhì)及非彈性散射暗物質(zhì)的研究結(jié)果[8-10].由于數(shù)據(jù)分析沒有找到超出本底的信號，因此僅給出了相應(yīng)的排除曲線.在這些分析中，剖面似然比(PLR)[11]被用于構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，并結(jié)合一種被稱為CLs的方法[12]來估計(jì)需要檢驗(yàn)的物理量的可能取值.本文以暗物質(zhì)與普通物質(zhì)的非彈性散射過程為例，結(jié)合PandaX-II 實(shí)驗(yàn)在2016年獲取的數(shù)據(jù)，詳細(xì)討論如何運(yùn)用PLR及CLs方法來計(jì)算暗物質(zhì)與核子的等效彈性截面上限.

1 PandaX-II 實(shí)驗(yàn)及其數(shù)據(jù)分析

PandaX-II 實(shí)驗(yàn)是一個運(yùn)用二相型(氣/液)氙時(shí)間投影室(TPC)技術(shù)來進(jìn)行暗物質(zhì)直接探測的實(shí)驗(yàn)[13].PandaX-II 使用的TPC大致為一個直徑約60 cm，高約60 cm的圓柱形，內(nèi)部裝有大約580 kg的液氙.TPC上下各有一個陣列，由55個直徑3 inch(1 inch=2.54 cm)的光電倍增管(PMT)組成，用于探測閃爍光信號.粒子在液氙里面與氙原子核或核外電子發(fā)生散射，這個過程中部分轉(zhuǎn)移的能量會產(chǎn)生可以被PMT陣列捕獲的閃爍光信號(通常被稱為S1)；還有一部分能量將氙電離，產(chǎn)生自由電子，這些電子在TPC的強(qiáng)電場作用下漂移到氣態(tài)氙中，并產(chǎn)生可以被PMT接收的正比閃爍光信號(通常被稱為S2).采用PMT接收到的光電子(PE)數(shù)目來表示光信號的強(qiáng)度.根據(jù)一般的暗物質(zhì)理論，WIMP與原子核散射的截面遠(yuǎn)大于其與電子散射的截面，因此它在探測器里面發(fā)生核反沖的概率更大[14].核反沖過程中產(chǎn)生的自由電子更容易發(fā)生重結(jié)合，這會增大S1并減少S2；該特征可以用于分辨電子反沖的本底[15].

PandaX-II 實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析目標(biāo)為在理論建議的反沖能量區(qū)間內(nèi)尋找出可能的超出本底預(yù)期的核反沖信號.為了完成這個目標(biāo)，探測器記錄到的信號需要根據(jù)刻度得到的參數(shù)進(jìn)行均勻性修正，并通過一系列數(shù)據(jù)質(zhì)量篩選，最終得到待定信號區(qū)間內(nèi)的候選粒子，并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法對候選粒子進(jìn)行檢驗(yàn).關(guān)于數(shù)據(jù)修正和篩選的細(xì)節(jié)，可以參考文獻(xiàn)[4].

在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)之前，需要理解本底信號的分布.PandaX-II 中的本底主要包括如下來源：① 來自于探測器部件內(nèi)的放射性同位素雜質(zhì)釋放出的伽馬光子在液氙內(nèi)產(chǎn)生的電子反沖事件；② 液氙內(nèi)部氪、氡等放射性同位素雜質(zhì)和氙的放射性同位素衰變引起的電子反沖事件；③ 探測器部件內(nèi)釋放出的中子在液氙內(nèi)產(chǎn)生的核反沖事件；④ 物理上沒有關(guān)聯(lián)的S1和S2由于偶然符合形成的“假”事件.使用放射源對探測器進(jìn)行刻度的分析，結(jié)果表明電子反沖和核反沖事例之間存在較大的區(qū)分度(見圖1).此外，本底水平也需要通過其他方法進(jìn)行初步估計(jì).例如，來自探測器材料的本底貢獻(xiàn)可以基于測得的探測器材料的放射性強(qiáng)度，進(jìn)行Monte Carlo模擬來進(jìn)行估計(jì)，氙里面的85Kr放射性同位素本底則可以通過測得的85Kr衰變到85Rb過程中的β-γ符合過程的數(shù)目來進(jìn)行估計(jì)[4].

圖1 PandaX-II 實(shí)驗(yàn) 2016年核反沖與電子反沖的事例分布Fig.1 The distribution of nuclear recoil events and electron recoil events in PandaX-II 2016 dataset

一般來說，如果在暗物質(zhì)的直接探測實(shí)驗(yàn)中沒有觀察到明顯超出本底預(yù)期的信號，那么數(shù)據(jù)分析的最終結(jié)果是給出暗物質(zhì)與普通物質(zhì)發(fā)生相互作用的截面上限.銀河系內(nèi)的暗物質(zhì)密度為一個由天文學(xué)所給出的固定輸入?yún)?shù)[16]，因此實(shí)驗(yàn)給出的截面上限是一個和暗物質(zhì)質(zhì)量相關(guān)的值，最終結(jié)果表現(xiàn)為在一定的暗物質(zhì)質(zhì)量區(qū)間內(nèi)所給出的一條連續(xù)曲線，即所謂的排除線.目前基于液氙的幾個實(shí)驗(yàn)的最新結(jié)果都是基于PLR構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，從而給出了對應(yīng)的排除線[4-7].

2 剖面似然比方法

粒子物理學(xué)家通常運(yùn)用頻率論的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)或者貝葉斯檢驗(yàn)來探索新物理[17].在頻率論的框架下，當(dāng)處理設(shè)置上限問題時(shí)，通常將測得數(shù)據(jù)同時(shí)包含本底和信號的假設(shè)作為待檢驗(yàn)的零假設(shè)(H0)，并將數(shù)據(jù)中僅有本底的假設(shè)作為備擇假設(shè)(H1).一個假設(shè)H和觀測到的數(shù)據(jù)的符合程度是通過計(jì)算P值來估計(jì)的，即在該假設(shè)成立的情況下，得到觀測數(shù)據(jù)或者與H偏差更大的數(shù)據(jù)的概率.通常當(dāng)計(jì)算得到的P值低于某一給定閾值時(shí)，可以認(rèn)為假設(shè)被排除.

(1)

為計(jì)算方便，一般使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)被定義為

tμ=-2lnλ(μ)

(2)

由前文可知，tμ越大意味著數(shù)據(jù)和假設(shè)之間的偏差也越大.用于量化數(shù)據(jù)和模型之間的差值的P值可以定義為

(3)

式中：f(tμ|μ)是在信號強(qiáng)度μ固定的情況下進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)得到的tμ的分布，通常需要進(jìn)行大量的Monte Carlo模擬來得到；tμ,ob則根據(jù)實(shí)際的觀測數(shù)據(jù)得到.

在使用剖面似然比方法設(shè)置信號強(qiáng)度的上限時(shí)，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)被進(jìn)一步定義為

(4)

(5)

這樣定義的P也通常被表示為Ps+b，說明這是針對同時(shí)存在信號(s)和本底(b)所做的檢驗(yàn).

通常，如果要以1-α的置信水平來設(shè)置被檢驗(yàn)的物理量μ的上限，就需要在使得Pμ≥α的μ的可能取值當(dāng)中找到一個最大的μlimit.

3 CLs方法

一些實(shí)驗(yàn)需要檢驗(yàn)的信號強(qiáng)度的數(shù)值非常小，會得到相近的f(qμ|μ)與f(qμ|0)的分布，從而在接受某個μ值時(shí)，其對應(yīng)的P值與信號不存在(μ=0)時(shí)的P值相當(dāng)接近，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)在該μ值附近已缺乏靈敏度.

為了解決這個問題，CLs方法[17]被用來對P值進(jìn)行修正.該方法需要計(jì)算在僅有本底假設(shè)下的P值，即

新修正值被定義為

對于某一個特定的置信水平1-α，若根據(jù)某個信號強(qiáng)度μ計(jì)算得到CLs≤α,則拒絕這個假設(shè).由于1-Pb<1，CLs值通常大于對應(yīng)的Ps+b，從而能得到更加保守的結(jié)果.由此可見，CLs并非置信水平(Confidence Levels)，它只是一個出于實(shí)用主義而給出的名稱，該方法在高能物理實(shí)驗(yàn)里面得到了廣泛運(yùn)用.PandaX-II 在發(fā)布2016年數(shù)據(jù)的幾個分析結(jié)果都使用了CLs方法來給出對應(yīng)物理量限制.

4 PandaX-II 對暗物質(zhì)非彈性散射截面的限制

4.1 WIMP與核子的非彈性散射

為了解釋DAMA/LIBRA實(shí)驗(yàn)中的疑似暗物質(zhì)信號[18]，一些理論模型考慮暗物質(zhì)存在多個能級，能級間具有質(zhì)量劈裂δ，從而暗物質(zhì)會和原子核發(fā)生非彈性散射，從低能態(tài)躍遷到高能態(tài)[19-21].由于質(zhì)量劈裂的存在，非彈性散射需要一個最低的暗物質(zhì)運(yùn)動速度的存在，相互作用的相空間也被壓縮.在文獻(xiàn)[10]中，PandaX-II 基于2016年獲取的數(shù)據(jù)來對暗物質(zhì)與核子的彈性散射等效截面進(jìn)行了限制.

根據(jù)暗物質(zhì)與核子發(fā)生非彈性散射的微分事例率計(jì)算公式，并考慮到部分參數(shù)來自天文學(xué)的輸入，最終暗物質(zhì)非彈散射的事例率依賴于3個參數(shù)，分別是暗物質(zhì)粒子的質(zhì)量mχ, 暗物質(zhì)粒子的質(zhì)量劈裂δ以及彈性散射極限下的零動量暗物質(zhì)與核子的作用截面(以下簡稱等效截面)σn[10]，其中σn為該分析中的目標(biāo)物理量.選取暗物質(zhì)質(zhì)量mχ分別為1和10 TeV/c2作為參考質(zhì)量，分析結(jié)果將得到在不同δ情況下σn的上限.

4.2 似然函數(shù)的構(gòu)造

為了構(gòu)造對應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)，需要寫出對應(yīng)的似然函數(shù).由于PandaX-II 首批實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)包含了不同條件下所得的數(shù)據(jù)，可根據(jù)條件劃分為nset個數(shù)據(jù)集，因此似然函數(shù)可以寫為不同數(shù)據(jù)集各自似然函數(shù)的乘積形式

其中：函數(shù)G為高斯函數(shù)，表示暗物質(zhì)的測量誤差δdm和本底的測量誤差δbj的影響，這些誤差也作為待擬合的冗余參數(shù)；bj表示不同種類的本底；σdm為信號截面，即我們所關(guān)心的等效截面；σbj則表示不同本底的截面，由相關(guān)數(shù)據(jù)分析給出.在PandaX-II 實(shí)驗(yàn)首批數(shù)據(jù)里面，主要的本底分為5類：① 液氙內(nèi)溶解的放射性85Kr 產(chǎn)生的電子反沖本底；② 放射性127Xe 產(chǎn)生的電子反沖本底；③ 其他來源的電子反沖本底；④ 無關(guān)的S1及S2偶然符合導(dǎo)致的本底；⑤ 來自探測器組件內(nèi)放射性雜質(zhì)產(chǎn)生的中子本底.具體來說，每個數(shù)據(jù)集的似然函數(shù)則可寫成

4.3 事例S1和S2的聯(lián)合分布

對于暗物質(zhì)信號來說，可由公式得到其能量分布，而根據(jù)能量生成S1和S2的聯(lián)合分布需要使用Noble Element Simulation Technique(NEST)模型[22]，該模型描述了液氙內(nèi)沉積的能量如何轉(zhuǎn)化為信號S1和S2，在液氙暗物質(zhì)實(shí)驗(yàn)中得到廣泛應(yīng)用，模型中的一些自由參數(shù)需要使用刻度數(shù)據(jù)去進(jìn)行優(yōu)化.對于電子反沖和中子反沖的本底，使用基于Geant4[23]的Monte Carlo模擬得到能譜，同樣運(yùn)用NEST模型獲得其S1及S2的聯(lián)合分布.偶然符合的本底的聯(lián)合分布通過將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得到的單S1事例信號和單S2事例信號進(jìn)行大量隨機(jī)匹配而得到.

對于不同的暗物質(zhì)質(zhì)量及質(zhì)量劈裂，信號能譜具有不同的形狀，從而得到的S1和S2分布也不盡相同.不同的等效截面則會影響信號窗口內(nèi)的總事例數(shù).圖2顯示了在暗物質(zhì)質(zhì)量為1 TeV/c2及等效截面為10-40cm2時(shí)，不同質(zhì)量劈裂給出的暗物質(zhì)事例在信號窗口內(nèi)的聯(lián)合分布；采用歸一化事例密度表示，顏色越深，密度越高，則事例數(shù)越多.

mχ=1 TeV/c2, σn=10-40 cm2圖2 不同的質(zhì)量劈裂對應(yīng)的暗物質(zhì)在PandaX-II 探測器中的信號聯(lián)合分布Fig.2 The dark matter signal distribution in PandaX-II detector at different mass splitting values

4.4 應(yīng)用PLR方法擬合候選事例

在首期79.6天內(nèi)，PandaX-II 實(shí)驗(yàn)記錄到了 24 502 402 個事例.經(jīng)過挑選后，在3 PE≤S1≤100 PE，100 (raw) PE≤S2≤12 000 PE的信號窗口內(nèi)保留 716 個事例(其中raw表示原始未修正信號)，其分布如圖3所示.未觀測到明顯超出本底的信號.

圖3 PandaX-II 實(shí)驗(yàn)2016年數(shù)據(jù)經(jīng)過篩選后在信號窗口中的分布Fig.3 The distribution of the candidate events from PandaX-II 2016 data in the signal window

假設(shè)暗物質(zhì)質(zhì)量為1 TeV/c2，在δ=0～300 keV/c2的區(qū)域內(nèi)平均選取20個點(diǎn).對于每個被選取的δ，計(jì)算預(yù)期得到1個暗物質(zhì)事例所需要的等效截面，在等效截面附近選取一系列掃描點(diǎn)σdm，并針對每個截面掃描點(diǎn)，用所有保留的候選事例來計(jì)算其對應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)qμ,ob.

為計(jì)算Ps+b，需要根據(jù)掃描點(diǎn)σdm，擬合得到本底的δbj，從信號及本底的S1和S2聯(lián)合分布出發(fā)進(jìn)行大量Monte Carlo模擬，生成模擬事例，使用這些模擬事例對選取的掃描點(diǎn)進(jìn)行擬合，以得到信號+本底假設(shè)下qμ的分布f(qμ|μ)，從而計(jì)算出Ps+b.圖4給出了當(dāng)暗物質(zhì)δ=120 keV/c2，假設(shè)等效散射截面σdm=7.615×10-42cm2時(shí)qμ的概率密度分布；根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出對應(yīng)的qμ,ob=3.983，從而得到Ps+b=0.032.

同時(shí)需要根據(jù)擬合得到的本底δb，使用本底的聯(lián)合分布來進(jìn)行Monte Carlo模擬，生成僅有本底的模擬事例，并使用這些模擬事例對選取的掃描點(diǎn)進(jìn)行擬合，以得到僅有本底假設(shè)下的qμ分布f(qμ|0)，并計(jì)算出1-Pb.圖4中同樣給出示例參數(shù)在僅有本底假設(shè)下的qμ分布，由該分布可以得到對應(yīng)的1-Pb=0.148.

δ=120 keV/c2, σdm=7.615×10-42 cm2圖4 qμ的概率密度分布Fig.4 The probability density distribution of qμ

這樣，我們可得到每個掃描點(diǎn)σdm，qμ,ob及CLs值之間的對應(yīng)關(guān)系.通過在CLs值接近0.1的附近迭代選取更多掃描點(diǎn)并重復(fù)上述過程，使最終計(jì)算得到的CLs值與0.1的差值小于某一預(yù)設(shè)誤差，從而得到在對應(yīng)δ置信水平為90%的等效截面上限.最終將這些對應(yīng)不同δ的σ上限繪制在一張圖上，就得到了置信水平為90%的等效截面排除線，如圖5中紅色實(shí)線所示.

圖5 PandaX-II 實(shí)驗(yàn)2016年數(shù)據(jù)對于暗物質(zhì)與核子非彈散射過程中的等效截面的90%置信水平排除曲線Fig.5 Upper limits at 90% confidence level on the effective cross section of WIMP-nucleon in inelastic scattering set by the PandaX-II 2016 data

使用CLs方法時(shí)通常會同時(shí)給出誤差帶，計(jì)算方式為利用僅有本底假設(shè)的Monte Carlo模擬數(shù)據(jù)，運(yùn)用上文方法得出置信水平為90%的等效截面.多組模擬得到截面分布的一倍及二倍標(biāo)準(zhǔn)差作為一倍及二倍標(biāo)準(zhǔn)差的誤差帶上下限.圖6給出了對應(yīng)于暗物質(zhì)質(zhì)量劈裂為120 keV/c2時(shí)，根據(jù)僅有本底假設(shè)的Monte Carlo數(shù)據(jù)所計(jì)算得到的90%置信度的截面分布.因?yàn)檎`差帶是由Monte Carlo模擬給出，而排除線是由數(shù)據(jù)給出，所以數(shù)據(jù)的漲落可能導(dǎo)致部分區(qū)域排除線落在一倍標(biāo)準(zhǔn)差之外.

圖6 由僅有本底假設(shè)的蒙卡模擬數(shù)據(jù)所計(jì)算得到的90%置信度的截面上限分布(δ=120 keV/c2)Fig.6 The distribution of upper limits of the effective cross section at 90% confidence level calculated from MC simulation with background-only hypothesis (δ=120 keV/c2)

5 結(jié)語

PandaX-II 實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)包含了S1和S2的值.為了充分利用這些信息，PandaX-II 的數(shù)據(jù)分析結(jié)合應(yīng)用了PLR和CLs方法，對暗物質(zhì)的截面性質(zhì)給出限制.本文基于PLR方法中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的構(gòu)造，具體介紹了PandaX-II 實(shí)驗(yàn)中構(gòu)造PLR所需的似然函數(shù)如何從數(shù)據(jù)中得到，以及如何計(jì)算最終的排除曲線及誤差帶，希望能為其他類似實(shí)驗(yàn)或者需要運(yùn)用該方法的領(lǐng)域提供參考.

致 謝本文主要工作來源于季向東教授、劉江來教授領(lǐng)導(dǎo)的PandaX-II 暗物質(zhì)直接探測實(shí)驗(yàn)，該課題得到上海市粒子物理與宇宙學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室、教育部粒子物理與星系宇宙學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的支持.在此表示感謝!