楊艷

攀枝花學院交通與汽車工程學院,四川 攀枝花617000

飛行器在發(fā)射、飛行過程中將經(jīng)受復雜且嚴酷的振動環(huán)境，為了保證飛行器的高可靠性，必須通過地面振動環(huán)境試驗。合理地制定振動環(huán)境條件，對飛行器的研制至關重要。過低的環(huán)境條件將導致欠試驗，使飛行器在地面試驗中無法充分暴露潛在缺陷，飛行器在實際環(huán)境下發(fā)射、飛行可能失??；過高的環(huán)境條件將導致過試驗，使飛行器必須通過高于實際環(huán)境的地面試驗，從而導致飛行器研制難度的增加，進而造成研制周期過長、經(jīng)費浪費等[1,2]。當有大量的實測環(huán)境數(shù)據(jù)時，基于統(tǒng)計歸納方法所制定的環(huán)境條件與實際環(huán)境最為接近。但對于新研飛行器而言，存在較多的不確定參數(shù)，且實測環(huán)境數(shù)據(jù)匱乏，故而導致制定環(huán)境條件本身的需要與飛行器研制對環(huán)境條件的需求往往是矛盾的。在這種情況下，準確高效的振動環(huán)境預示則是解決問題的必然選擇[3]。

然而，飛行器是一個十分復雜的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，復雜結(jié)構(gòu)中往往存在著大量的彈性連接（例如螺栓連接），彈性連接對結(jié)構(gòu)振動特性的影響不可忽視[4]。因此，合理地等效彈性連接是準確進行結(jié)構(gòu)振動環(huán)境預示的一個重要前提。文獻[5,6]利用六自由度標量彈簧-阻尼系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)中的彈性連接，對考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)振動環(huán)境預示方法進行了初步研究，并取得了一定的研究成果，但這種等效方法沒有考慮彈性連接各自由度間的耦合作用，與工程實際并不相符。文獻[7]通過大量的計算、比對，并結(jié)合相關的有限元理論知識，由數(shù)值結(jié)果反推出BUSH 單元的剛度矩陣，發(fā)現(xiàn)BUSH 單元單個結(jié)點的剛度矩陣并非對角陣，存在垂向移和轉(zhuǎn)角的耦合剛度項，可更為準確地等效工程實際結(jié)構(gòu)中的彈性連接。鑒于此，BUSH 單元也在航天領域結(jié)構(gòu)建模中得到了廣泛應用。但是，直接利用傳統(tǒng)的FEM 對飛行器的振動環(huán)境進行預示時，若要提高預示精度，則需對飛行器的結(jié)構(gòu)進行精細化建模，這會導致計算成本驟增，故需開發(fā)更為高效的結(jié)構(gòu)振動環(huán)境預示方法。文獻[8,9]指出，F(xiàn)IMSM為高效處理復雜結(jié)構(gòu)動力學特性問題的方法，故利用FIMSM 對考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)振動環(huán)境進行準確高效地預示具有切實的可行性。

綜上所述，本研究利用MSC.Nastran 軟件中的BUSH 單元等效復雜結(jié)構(gòu)中的彈性連接，基于FIMSM 對考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率進行了理論推導，并通過算例仿真驗證了該方法的正確性。本研究所得結(jié)論具有一定的理論研究和工程應用價值。

1 BUSH 單元剛度矩陣

文獻[7]基于數(shù)值結(jié)果反推的研究思路，首先，利用DMAP 語言輸出BUSH 單元的剛度矩陣；然后，改變輸入?yún)?shù)并記錄剛度矩陣的變化規(guī)律；最后，通過分析大量的計算結(jié)果獲取BUSH 單元剛度矩陣Kb的解析表達式。剛度矩陣Kb按2 個結(jié)點進行分塊，如下所示：

上式中，4 個分塊矩陣K11、K12、K21和K22的解析表達式分別如下所示：

式中：ki（i=1,2,…,6）為BUSH 單元的6 個輸入?yún)?shù)；L為單元長度。通過查閱文獻[10]可知，BUSH 單元與剪切梁單元的剛度矩陣形式相同，都存在垂向位移和轉(zhuǎn)角的耦合剛度項，故與六自由度標量彈簧-阻尼系統(tǒng)相比，BUSH 單元可更為準確地等效工程實際結(jié)構(gòu)中的彈性連接。

2 考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率

如圖1 所示，設整體結(jié)構(gòu)是由P和Q兩部分組成，且P和Q之間通過n個規(guī)格相同的彈性連接（pi～qi，i=1,2,…,n）進行連接。

圖1 整體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic chart of overall structure

圖2 子結(jié)構(gòu)劃分示意圖Fig.2 Schematic chart of substructure partition

為了提高計算效率，本研究利用FIMSM 對圖1 所示考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率進行計算。FIMSM 的基本步驟為[11]：1）根據(jù)結(jié)構(gòu)特點和分析要求，將整體結(jié)構(gòu)劃分成若干固定界面的子結(jié)構(gòu)；2）基于FEM 提取各子結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息，計算各子結(jié)構(gòu)參加模態(tài)綜合的假設模態(tài)集，即低階保留主模態(tài)和約束模態(tài)；3）根據(jù)界面位移協(xié)調(diào)條件，利用各子結(jié)構(gòu)的假設模態(tài)集進行模態(tài)綜合，建立整體結(jié)構(gòu)自由度縮減后的振動方程，并進一步開展計算分析。

對于圖1 所示的整體結(jié)構(gòu)，若忽略彈性連接的影響，可將其劃分成P和Q兩個子結(jié)構(gòu)進行處理，則對應的界面結(jié)點集Pv和Qv分別為：

文獻[11]指出，相鄰子結(jié)構(gòu)間的界面位移協(xié)調(diào)是FIMSM 所要求的。然而對于圖1 所示的子結(jié)構(gòu)P和子結(jié)構(gòu)Q而言，由于二者之間為彈性連接，故Pv和Qv中對應界面結(jié)點的位移并不連續(xù)，若直接利用FIMSM 計算其固有頻率，則會產(chǎn)生一定的誤差甚至錯誤。此時，若將子結(jié)構(gòu)P和子結(jié)構(gòu)Q之間的彈性連接單獨劃分成一個只有界面結(jié)點的連接子結(jié)構(gòu)C，則不僅能夠滿足子結(jié)構(gòu)的劃分原則，還可通過連接子結(jié)構(gòu)C將子結(jié)構(gòu)P和子結(jié)構(gòu)Q的界面位移協(xié)調(diào)起來。因此，本研究將圖1 所示的整體結(jié)構(gòu)劃分成P、Q和C3 個獨立的子結(jié)構(gòu)進行處理，如圖2 所示。

待子結(jié)構(gòu)劃分完成后，首先基于FEM 提取主子結(jié)構(gòu)λ（λ=P,Q）的物理參數(shù)，即質(zhì)量矩陣Mλ和剛度矩陣Kλ；然后按照內(nèi)部結(jié)點u和界面結(jié)點v將主子結(jié)構(gòu)λ的質(zhì)量矩陣Mλ和剛度矩陣Mλ進行分塊整理，如下所示：

此時，根據(jù)子結(jié)構(gòu)主模態(tài)和約束模態(tài)的定義，可得主子結(jié)構(gòu)λ的主模態(tài)和約束模態(tài)的計算公式分別為[11]：

式中：ω為角頻率；I為單位矩陣。假設選取前r（r＜＜n，從而實現(xiàn)自由度的縮減及計算效率的提高）階主模態(tài)作為子結(jié)構(gòu)λ的低階保留主模態(tài)，則子結(jié)構(gòu)λ參加模態(tài)綜合的假設模態(tài)集φλ可寫為：

對于圖1 所示的彈性連接而言，由于其質(zhì)量很小，對整體結(jié)構(gòu)振動特性的影響可忽略不計[8,9,12]。對于彈性連接的剛度而言，本研究采用BUSH 單元對其進行等效。因此，連接子結(jié)構(gòu)C的質(zhì)量矩陣MC和剛度矩陣KC可分別寫為：

同理，根據(jù)式(5)，可得連接子結(jié)構(gòu)C參加模態(tài)綜合的假設模態(tài)集φC為：

式中：φC c為連接子結(jié)構(gòu)C的約束模態(tài)。待獲得各子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣以及參加模態(tài)綜合的假設模態(tài)集后，可將整體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K和模態(tài)矩陣φ分別寫為：

設整體結(jié)構(gòu)的位移列向量為X，則有：

式中：Xλ u和Xλ v分別為主子結(jié)構(gòu)λ的內(nèi)部結(jié)點和界面結(jié)點位移列向量；XCλ v為連接子結(jié)構(gòu)C與主子結(jié)構(gòu)λ對應的界面結(jié)點位移列向量。記整體結(jié)構(gòu)模態(tài)矩陣φ的模態(tài)坐標為Y，則有：

引入界面位移協(xié)調(diào)條件為：

式中：LP和LQ為坐標旋轉(zhuǎn)變換矩陣。對式(10)～(12)以及式(13)進行整理可得：

引入獨立變換矩陣S對Y進行獨立變換，變換過程如下所示：

式中：Z即為整體結(jié)構(gòu)獨立的模態(tài)坐標。此時，則可得整體結(jié)構(gòu)對應于獨立模態(tài)坐標Z的模態(tài)質(zhì)量矩陣MZ和模態(tài)剛度矩陣KZ分別為：

因此，基于FIMSM 建立的圖1 所示整體結(jié)構(gòu)自由度縮減后的無阻尼自由振動方程為：

記式(17)所示振動方程的模態(tài)矩陣為Φ，則其計算公式和表達式分別為：

此時，由瑞利商公式可得圖1 所示整體結(jié)構(gòu)的第i階角頻率ωi為：

上述過程即為利用BUSH 單元等效結(jié)構(gòu)中的彈性連接，并基于FIMSM 推導所得考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率表達。由于FIMSM 未考慮各主子結(jié)構(gòu)高階主模態(tài)的影響，故可大幅提升計算效率。

3 算例驗證

為了驗證上述方法的正確性，設計了一個如圖3 所示具有彈性連接的算例結(jié)構(gòu)，在利用BUSH單元等效彈性連接的前提條件下，分別利用FIMSM 和FEM 對該結(jié)構(gòu)的前30 階固有頻率進行計算，并對計算結(jié)果進行對比。

圖3 中，P、Q和R為三根相同的矩形截面長梁，截面尺寸和梁長度分別為0.04 m×0.02 m 和0.5 m，利用剪切梁單元對其進行單元劃分，單元屬性參見表1；C為2 個完全相同的彈性連接，利用BUSH 單元來等效，單元屬性參見表2。

圖3 算例結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schemaric structure of the diffset

表1 剪切梁單元屬性Table 1 Element attributes of the shear beam

表2 BUSH 單元屬性Table 2 Element attributes of BUSH

在利用FIMSM 計算時，分別保留主子結(jié)構(gòu)P、Q和R的前10 階作為低階保留主模態(tài)參加模態(tài)綜合；而在利用FEM 進行計算時，選用的則是整體結(jié)構(gòu)的全部模態(tài)。兩種方法的計算結(jié)果見表3。

表3 固有頻率計算結(jié)果Table 3 Calculating results from intrinsic frequencies

由表3 可知，與傳統(tǒng)的FEM 相比，F(xiàn)IMSM 對圖3 所示算例結(jié)構(gòu)前30 階固有頻率的相對計算誤差不超過±1.31%。綜上所述，利用BUSH 單元等效彈性連接，F(xiàn)IMSM 可對考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率進行準確高效地計算。

4 結(jié)論

本研究利用MSC.Nastran 軟件中的BUSH 單元等效彈性連接，基于FIMSM 對考慮彈性連接的結(jié)構(gòu)固有頻率進行了理論推導，并通過算例仿真對該方法的正確性進行了驗證。結(jié)果表明：利用BUSH 單元等效彈性連接，F(xiàn)IMSM 可對具有彈性連接結(jié)構(gòu)的振動環(huán)境進行準確高效地預示。本研究所得結(jié)論具有一定的理論研究和工程應用價值。