賈雷明，田 宙

（1. 清華大學(xué)工程物理系，北京 100084；2. 西北核技術(shù)研究院，陜西 西安 710024）

在爆轟激波管[1]或強(qiáng)爆炸[2]等環(huán)境中，激波陣面或爆炸火球釋放出的熱輻射，先于激波到達(dá)固壁表面并發(fā)生能量沉積，致使壁面附近形成具有較高溫度的氣體層，稱為“熱層”（thermal layer）。由于熱層內(nèi)氣體聲速大于周圍空氣，熱層內(nèi)激波陣面會(huì)超越空氣中激波陣面?zhèn)鞑?，?dǎo)致流場(chǎng)中出現(xiàn)前驅(qū)波和渦旋等結(jié)構(gòu)。與不考慮熱層時(shí)的情形相比，固壁附近的流場(chǎng)參量也會(huì)發(fā)生改變。因此，激波與熱層作用常被應(yīng)用于流場(chǎng)診斷和控制[3-5]。

為了認(rèn)識(shí)激波與熱層作用機(jī)制，人們針對(duì)不同形式的激波與熱層作用，開展了大量的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬工作[6-18]。在理論分析方面，已有的工作則主要關(guān)注豎直平面激波與水平熱層作用，在這類作用中，熱層高度是唯一的長(zhǎng)度尺寸，隨著激波傳播距離遠(yuǎn)大于熱層高度，流動(dòng)會(huì)進(jìn)入準(zhǔn)自相似階段，流場(chǎng)結(jié)構(gòu)近似呈比例發(fā)展，此時(shí)可假定流動(dòng)定常，從而使理論分析簡(jiǎn)化。

最早，Griffith[6]針對(duì)熱層與周圍空氣物性差異較小的情形，在與入射激波固連的坐標(biāo)系中，假定流動(dòng)定常，采用線性小擾動(dòng)理論求解二維定常Euler 方程組，得到了激波陣面形狀和波后流場(chǎng)參量分布。針對(duì)熱層與空氣物性差異較大的情形，小擾動(dòng)方法不再適用，因此人們又建立了新的理論方法，主要用于計(jì)算固壁附近的流場(chǎng)參量。Shreffler 等[7]將熱層高度近似為零，認(rèn)為入射激波后的流體在一維簡(jiǎn)單稀疏波的作用下膨脹加速，形成沿固壁運(yùn)動(dòng)的楔形“活塞”，驅(qū)動(dòng)物質(zhì)界面偏折和前驅(qū)波傳播；在與楔形“活塞”固連的坐標(biāo)系內(nèi)，假定流動(dòng)定常，給定前驅(qū)波傳播方向，就可以求得楔形“活塞”內(nèi)流體的壓力和速度。但是，該理論方法不能計(jì)算熱層內(nèi)的激波強(qiáng)度，且需利用實(shí)驗(yàn)或數(shù)值模擬確定前驅(qū)波傳播方向。Hess[19]和Mirels[20]等則認(rèn)為，隨著流動(dòng)進(jìn)入準(zhǔn)自相似階段，熱層內(nèi)激波傳播速度應(yīng)與入射激波傳播速度相等，由此計(jì)算熱層內(nèi)激波的強(qiáng)度。為了計(jì)算固壁附近的流場(chǎng)參量，Mirels[20]進(jìn)一步假定：（1）在與入射激波陣面固連的坐標(biāo)系中，入射激波后流體在定常等熵波作用下膨脹加速，形成沿固壁運(yùn)動(dòng)的“活塞”；（2）在與熱層內(nèi)激波陣面固連的坐標(biāo)系中，穿越激波后的熱層氣體在定常等熵波作用下減速增壓，直至與“活塞”內(nèi)流體壓力相等，而速度則滿足一定的線性比例關(guān)系。但是，速度比例系數(shù)依賴于具體的工況條件，需借助于實(shí)驗(yàn)或數(shù)值模擬確定；同時(shí)，在流動(dòng)準(zhǔn)自相似階段，熱層內(nèi)激波速度會(huì)趨近于某一值，而該值通常大于入射激波速度。

綜上，Shreffler[7]、Hess[19]和Mirels[20]等的理論方法均基于某種流動(dòng)定常假定，且由于未對(duì)熱層內(nèi)激波傳播進(jìn)行詳細(xì)求解，這些方法大都依賴于特定的經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，而經(jīng)驗(yàn)參數(shù)又需要借助于實(shí)驗(yàn)或數(shù)值模擬確定。本文中圍繞豎直平面激波與水平熱層作用，對(duì)Mirels[20]理論方法進(jìn)行改進(jìn)：（1）分析熱層內(nèi)激波傳播過程，然后基于激波動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算熱層內(nèi)激波傳播，從而舍棄“熱層內(nèi)激波速度與入射激波速度相等”的假定；（2）考慮到整個(gè)流場(chǎng)是在入射激波后流體而非入射激波的推動(dòng)下發(fā)展，因此在與入射激波后流體固連的坐標(biāo)系中，假定入射激波后流體在定常等熵波作用下形成沿固壁運(yùn)動(dòng)的“活塞”；（3）“活塞”內(nèi)流體與其毗鄰的熱層氣體，應(yīng)滿足壓力和速度連續(xù)，從而不再引入速度比例系數(shù)。本文中將通過與數(shù)值模擬結(jié)果、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和已有理論方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證上述改進(jìn)的合理性。

1 理論計(jì)算方法

初始時(shí)刻，固壁附近布有性質(zhì)均勻的水平熱層，其高度為h，并與周圍空氣處于等壓靜止?fàn)顟B(tài)，見圖1(a)，圖中實(shí)線表示激波，短劃線表示物質(zhì)界面。在t=0 時(shí)刻，豎直平面激波I 到達(dá)熱層左側(cè)界面處，并與之發(fā)生作用，產(chǎn)生透射激波T 和反射波R。波T 和R 分別向物質(zhì)界面左右兩側(cè)傳播，見圖1(b)，圖中點(diǎn)P1為波T 陣面與熱層上側(cè)界面的交點(diǎn)。記波I 和T 的傳播速度分別為DI、DT，由于DT＞DI，當(dāng)波T 超越上方空氣中的波I 后，位于波T 后的高壓流體會(huì)向上方空氣中膨脹，驅(qū)動(dòng)形成透射激波P，該透射激波P 被稱為“前驅(qū)波”，見圖1(c)。同時(shí)，由于激波與熱層界面作用存在斜壓效應(yīng)，即 ?p×?ρ ≠0，流場(chǎng)中會(huì)有渦量產(chǎn)生并沿物質(zhì)界面沉積，最終在流場(chǎng)不穩(wěn)定性的影響下，形成渦旋。與不考慮熱層時(shí)的情形相比，流場(chǎng)演化更加復(fù)雜。

1.1 熱層內(nèi)透射激波傳播

在t=0 時(shí)刻，波T 和R 后的流場(chǎng)參量可借助于一維Riemann 問題的精確求解方案[21]給出。

在t＞0 時(shí)刻，波T 超越波I 沿?zé)釋由蟼?cè)界面?zhèn)鞑ァＳ捎诔跏紩r(shí)刻波T 陣面與熱層上界面垂直，因此波T 沿?zé)釋由蟼?cè)界面的折射為非正規(guī)折射。本文中利用Whitham 提出的幾何激波動(dòng)力學(xué)（geometrical shock dynamics，后文簡(jiǎn)稱為GSD）理論[22-23]，計(jì)算波T 沿?zé)釋由蟼?cè)界面的非正規(guī)折射。GSD 理論常用于近似求解二維/三維激波陣面的傳播。

非正規(guī)折射的發(fā)生，是因?yàn)椴ê罅鲌?chǎng)中的擾動(dòng)追趕上了波T。記波T 獨(dú)自沿?zé)釋由蟼?cè)界面折射（即不考慮波I 的存在）時(shí)，點(diǎn)P1沿界面的移動(dòng)速度為DP1。如果DP1＞DI，則波T 沿界面的折射僅與波T 強(qiáng)度和界面兩側(cè)的物性參數(shù)有關(guān)；如果DP1＜DI，則波T 沿界面的折射還會(huì)受到波I 的影響。接下來，分別對(duì)這兩種情形進(jìn)行討論。

1.1.1 折射不受波I 影響

此時(shí)，在點(diǎn)P1附近，熱層氣體經(jīng)過波T 后壓力增加，然后向上方空氣中膨脹，形成前驅(qū)波P 和反射稀疏波R1；稀疏波R1沿波T 陣面?zhèn)鞑?，使得波T 強(qiáng)度減小、波陣面發(fā)生彎曲，記彎曲后的波陣面為波T′；在熱層上方，前驅(qū)波P 與波I 作用，形成激波R2、R3、T1和新的物質(zhì)界面，見圖2，圖中實(shí)線表示激波，短劃線表示物質(zhì)界面，點(diǎn)線表示稀疏波。

圖2 波T 沿界面的非正規(guī)折射（DP1＞DI）Fig.2 Irregular refraction of wave T at the horizontal material interface (DP1＞DI)

依據(jù)GSD 理論，建立波T 與T′之間的近似關(guān)系，

式中：Ma為激波馬赫數(shù)，θ 為激波傳播方向與水平方向的夾角，A=A(Ma)為射線管面積函數(shù)，下標(biāo)T、T′分別表示波T 和T′的相關(guān)參數(shù)。本文中約定，所有的角度均以逆時(shí)針方向?yàn)檎?/p>

在點(diǎn)P1附近，波T′后流場(chǎng)并不均勻，因此不能利用雙波或三波理論來求解點(diǎn)P1附近的流場(chǎng)。考慮到擾動(dòng)是從界面下方的流場(chǎng)中產(chǎn)生的，然后跨越界面向上方流場(chǎng)傳播。當(dāng)穩(wěn)定的折射結(jié)構(gòu)形成時(shí)，在點(diǎn)P1附近，波P 與波T′陣面應(yīng)保持連續(xù)，且流場(chǎng)不再發(fā)生變化。此時(shí)，界面下方流場(chǎng)中的擾動(dòng)不會(huì)再跨越界面向上方傳播，否則波P 后流場(chǎng)將再次發(fā)生改變。因此，界面下方流場(chǎng)中擾動(dòng)與波T′陣面交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與波后物質(zhì)界面重合，即

式中：αT′為擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)軌跡與水平方向的夾角，δT′為波T′后物質(zhì)界面與水平方向的夾角。根據(jù)GSD 理論，有

式中：

γ 為比熱比。建立與點(diǎn)P1固連的坐標(biāo)系，記為 ?1，根據(jù)斜激波關(guān)系式，有

式中：ξ 為波T′后壓力與波前壓力之比，Ma0為坐標(biāo)系 ?1中波T′前流場(chǎng)馬赫數(shù)。波T′與P 陣面在點(diǎn)P1處保持連續(xù)，且波后流場(chǎng)壓力相等，再聯(lián)立式（1）～（4），即可求得點(diǎn)P1附近波T′、P 后流場(chǎng)以及點(diǎn)P1沿界面的傳播速度DP1。

在熱層上方，可利用激波關(guān)系式求解波P 與波I 作用后的流場(chǎng)分布。

1.1.2 折射受波I 影響

當(dāng)DP1＜DI時(shí)，波T 沿界面的折射會(huì)受到熱層上方波I 的影響。此時(shí)，除了在界面下方流場(chǎng)有稀疏波產(chǎn)生外，在界面上方的流場(chǎng)中還產(chǎn)生了壓縮波，記為R4，它會(huì)沿著波I 陣面向上傳播，使得波I 陣面向前彎曲，形成前驅(qū)波P，見圖3。流動(dòng)本身具有極強(qiáng)的非線性，隨著時(shí)間發(fā)展壓縮波R4會(huì)逐漸演化成激波，并與波I 和P 組成三波結(jié)構(gòu)，類似于斜激波在固壁的馬赫反射。三波點(diǎn)附近的流場(chǎng)近似采用三波理論描述。

圖3 波T 沿界面的非正規(guī)折射（DP1＜DI）Fig.3 Irregular refraction of wave T at the horizontal material interface (DP1＜DI)

波T 與T′之間仍近似滿足式（1）。在點(diǎn)P1附近，由于折射受到波I 的影響，因此式（2）不再成立。本文中采用Catherasoo 等[24]建立的激波在非均勻介質(zhì)中的傳播理論，描述界面兩側(cè)波T′和波P 參數(shù)所滿足的關(guān)系，有

式中：MaP為波P 的馬赫數(shù)，c1、c2分別為波前未擾動(dòng)空氣和熱層氣體的聲速，

式中：DP為波P 傳播速度，θP為波P 傳播方向與水平方向夾角，其余物理量意義同式（3）。假定波P 陣面保持平直，聯(lián)立式（1）、（5）和三波理論，即可求得點(diǎn)P1附近波T′和P 后的流場(chǎng)。

上述理論方法適用于波R1到達(dá)固壁之前的時(shí)刻。記波T 后流場(chǎng)聲速為cT，在t=h/cT時(shí)，波R1到達(dá)固壁并發(fā)生反射，形成新的反射稀疏波，稀疏波后激波陣面仍保持與固壁垂直，可利用式（1）求解激波參數(shù)。在t＞h/cT時(shí)，新的反射稀疏波會(huì)沿著波T′陣面向上傳播。當(dāng)反射稀疏波到達(dá)熱層上側(cè)界面后，又會(huì)發(fā)生反射，流場(chǎng)可利用上述理論方法進(jìn)行求解。新生成的反射稀疏波又會(huì)向著固壁運(yùn)動(dòng)。如果忽略流場(chǎng)中其他擾動(dòng)的影響，這個(gè)過程會(huì)不斷持續(xù)下去，熱層內(nèi)激波陣面的構(gòu)型也會(huì)發(fā)生周期性變化，激波強(qiáng)度逐漸減小，見圖4，圖中t1～t5表示不同的時(shí)刻，點(diǎn)劃線表示稀疏波與波T 陣面交點(diǎn)軌跡，為了記述方便，將任意時(shí)刻熱層內(nèi)激波陣面統(tǒng)一記為波T。真實(shí)情況中，流場(chǎng)左側(cè)的擾動(dòng)勢(shì)必會(huì)趕上波T，圖4 所示的過程并不會(huì)一直持續(xù)下去。

圖4 熱層內(nèi)激波傳播Fig.4 Shock propagation with time in the thermal layer

1.2 固壁附近流場(chǎng)

當(dāng)激波走過的距離遠(yuǎn)大于熱層高度h時(shí)，流動(dòng)進(jìn)入準(zhǔn)自相似階段。此時(shí)，流場(chǎng)參量可以近似看作是變量x/t和y/t的函數(shù)。將固壁附近流場(chǎng)劃分成五個(gè)區(qū)域，見圖5，其中區(qū)域1 是驅(qū)動(dòng)渦旋發(fā)展的流體區(qū)域，區(qū)域2、3 是渦旋區(qū)域，渦旋與固壁之間的流體即為沿固壁運(yùn)動(dòng)的“活塞”，區(qū)域4 是經(jīng)過波T 壓縮后的熱層氣體，區(qū)域5 是處于未擾動(dòng)狀態(tài)的熱層氣體。圖5 中，點(diǎn)P1為波T 與熱層上側(cè)物質(zhì)界面的交點(diǎn)，點(diǎn)P2～P5為區(qū)域1～5 的分界點(diǎn)。

圖5 固壁附近流場(chǎng)區(qū)域劃分示意圖Fig.5 Illustration of flow field division near the wall

在區(qū)域1 中，初始時(shí)刻波I 與界面作用形成反射波R，波R 沿固壁向界面左側(cè)傳播。由于pR≠pI，界面附近又會(huì)產(chǎn)生擾動(dòng)分別向熱層上方和固壁傳播。這些擾動(dòng)傳播的結(jié)果，是使得流場(chǎng)恢復(fù)到均衡狀態(tài)，本文中近似選取波I 后流體狀態(tài)作為均衡狀態(tài)。

在區(qū)域2、3 中，物質(zhì)界面與固壁組成了收縮-擴(kuò)張管道，點(diǎn)P3處為收縮與擴(kuò)張管道的連接處。區(qū)域1中的流體先經(jīng)過收縮管道進(jìn)行加速減壓，再經(jīng)過擴(kuò)張管道減速升壓后，到達(dá)點(diǎn)P4附近。建立與區(qū)域1中流體固連的坐標(biāo)系 ?2，在坐標(biāo)系 ?2中觀察區(qū)域2、3 處的流動(dòng)，假定流動(dòng)滿足準(zhǔn)一維定常絕熱條件，有

式中：ρ 為密度，u為速度，下標(biāo)2、4L 分別表示點(diǎn)P2和點(diǎn)P4附近界面左側(cè)的流場(chǎng)參量。點(diǎn)P2附近流場(chǎng)參量即為區(qū)域1 中流場(chǎng)參量。

在區(qū)域4 中，熱層氣體穿過波T 后，壓力和速度增加。波T 與固壁相交于點(diǎn)P5，建立與點(diǎn)P5固連的坐標(biāo)系 ?5。 在坐標(biāo)系 ?5中觀察，物質(zhì)界面、固壁與波T 組成擴(kuò)張管道，假定管道內(nèi)流動(dòng)滿足準(zhǔn)一維定常絕熱條件，則有

式中：下標(biāo)4R、5 分別表示點(diǎn)P4附近界面右側(cè)、點(diǎn)P5附近的流場(chǎng)參量，D5為波T 沿固壁的運(yùn)動(dòng)速度。在點(diǎn)P4附近，界面兩側(cè)流場(chǎng)滿足連續(xù)條件，即

Hess[19]認(rèn)為流動(dòng)從初始時(shí)刻到進(jìn)入準(zhǔn)自相似階段的時(shí)間尺度與h和流體聲速之比具有相同的量級(jí)。同時(shí)考慮到熱層左側(cè)流場(chǎng)也應(yīng)達(dá)到均衡狀態(tài)，本文中選取流動(dòng)進(jìn)入準(zhǔn)自相似階段的時(shí)間為

式中：cR為波R 后流場(chǎng)聲速，N為常數(shù)。至此，根據(jù)上一小節(jié)的理論方法計(jì)算固壁附近波T 強(qiáng)度，聯(lián)立式（6）～（10）即可求解點(diǎn)P4附近的流場(chǎng)參量。

2 結(jié)果與討論

2.1 MaI=2.00，0.1≤ρtl/ρa(bǔ)ir≤0.9 時(shí)的計(jì)算結(jié)果

給定波I 馬赫數(shù)MaI=2.00，波前流場(chǎng)壓力p0=0.100 MPa，空氣密度ρa(bǔ)ir=1.00 kg/m3，熱層高度h=0.50 m，空氣和熱層氣體比熱比均取γ=1.40。計(jì)算區(qū)域0＜x＜15.00 m 和0＜y＜10.00 m，熱層左側(cè)界面位于x=2.00 m 處。設(shè)定九種不同的工況，即熱層氣體密度ρtl分別取0.10、0.20、0.30、0.40、0.50、0.60、0.70、0.80、0.90 kg/m3，利用本文理論方法計(jì)算固壁附近流場(chǎng)參量。

同時(shí)，利用動(dòng)力學(xué)軟件ANSYS Autodyn Euler-FCT 求解器進(jìn)行數(shù)值模擬。圖6 所示為三種工況條件下相應(yīng)時(shí)刻壓力p和水平速度u沿固壁分布的數(shù)值模擬結(jié)果，Grid 1 和Grid 2 分別表示不同的網(wǎng)格劃分方案，即dx=dy=0.01 m 和dx=dy=0.02 m，dx和dy分別為沿x和y方向的網(wǎng)格尺寸。兩種網(wǎng)格方案所得到的結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了網(wǎng)格收斂性，后續(xù)的數(shù)值模擬均選用Grid 1。

圖6 不同工況條件下壓力p 和水平速度u 沿固壁的分布Fig.6 Profiles of pressure and horizontal velocity along the wall in different cases

2.1.1 流場(chǎng)中的激波結(jié)構(gòu)

將DP1＞DI和DP1＜DI時(shí)流場(chǎng)中的激波結(jié)構(gòu)（見圖2～3）分別記為W1 和W2。兩者的區(qū)別主要體現(xiàn)為，界面上方流場(chǎng)中的激波結(jié)構(gòu)分別為五波和三波結(jié)構(gòu)。表1 為不同工況條件下，t＜h/cT時(shí)刻熱層內(nèi)波T 相關(guān)參數(shù)的理論計(jì)算結(jié)果，pT、pT′分別為波T 以及點(diǎn)P1附近波T′后的壓力。對(duì)于MaI=2.00，當(dāng)ρtl=0.87 kg/m3時(shí)，DP1=DI=748.33 m/s。圖7 為t=0.5 ms 時(shí)刻壓力等值線圖的數(shù)值模擬結(jié)果，等值線間隔取為Δp=(pmax?pmin)/20，pmax、pmin為對(duì)應(yīng)工況和時(shí)刻的壓力最大值和最小值。此時(shí)，波R1未到達(dá)固壁。

表1 流場(chǎng)中激波結(jié)構(gòu)類型Table 1 Wave structure types above material interface

圖7 t=0.5 ms，不同工況下的壓力等值線圖Fig.7 Pressure contour lines at t =0.5 ms in different cases

當(dāng)ρtl≤0.60 kg/m3時(shí)，界面上方為五波結(jié)構(gòu)，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果基本吻合。受到波后流場(chǎng)中擾動(dòng)的影響，波R2、R3和T1后的流場(chǎng)區(qū)域并不均勻。當(dāng)ρtl=0.70 kg/m3和0.80 kg/m3時(shí)，理論計(jì)算結(jié)果顯示界面上方為五波結(jié)構(gòu)，而在數(shù)值模擬結(jié)果中并未明顯觀測(cè)到波R2。這是因?yàn)閮煞N工況處于波系類型由W1 向W2 的過渡區(qū)附近，根據(jù)理論方法得到的兩種工況中波R2馬赫數(shù)MaR2分別為1.20 和1.16，強(qiáng)度較弱。也可能是由于理論方法采用激波動(dòng)力學(xué)理論近似描述波T 陣面彎曲，所得到的DP1略大于真實(shí)值，此時(shí)波系類型實(shí)為W2，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果存在偏差。

當(dāng)ρtl=0.90 kg/m3時(shí)，界面上方的波系為三波結(jié)構(gòu)，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致。波P 陣面略向前彎曲，理論計(jì)算得到波R4馬赫數(shù)MaR4=1.02，接近聲波。

2.1.2 固壁附近流場(chǎng)參量

選取工況ρtl=0.50 kg/m3，闡釋固壁附近流場(chǎng)特征及參量的演化。圖8 為t=13.0 ms 時(shí)刻流場(chǎng)密度云圖的數(shù)值模擬結(jié)果?？諝夂蜔釋託怏w經(jīng)過激波壓縮后，被卷入流場(chǎng)后方的渦旋中。隨著時(shí)間發(fā)展，波T 傳播距離大于14h，流動(dòng)進(jìn)入準(zhǔn)自相似階段。圖9 為t=10.0、12.0、14.0 和16.0 ms 時(shí)刻固壁附近壓力p和密度ρ 分布的數(shù)值模擬結(jié)果。熱層左側(cè)的流場(chǎng)，近似恢復(fù)到波I 后的狀態(tài)，這與本文理論方法關(guān)于圖5 中區(qū)域1 的假定是一致的。點(diǎn)P4、P5附近的壓力和密度隨時(shí)間基本不變。在時(shí)間間隔Δt=2.0 ms 內(nèi)，波T 的位移分別為1.61、1.65 和1.62 m，也隨時(shí)間基本不變。

圖8 t=13.0 ms，流場(chǎng)密度云圖分布（ρtl=0.50 kg/m3）Fig.8 Density contour at t=13.0 ms with ρtl=0.50 kg/m3

圖9 不同時(shí)刻，物理量沿固壁分布（ρtl=0.50 kg/m3）Fig.9 Parameters vs. x along the wall at different time instants with ρtl=0.50 kg/m3

接下來，利用本文的理論方法，對(duì)不同工況下流場(chǎng)進(jìn)入準(zhǔn)相似階段后點(diǎn)P4、P5附近的流場(chǎng)參量進(jìn)行計(jì)算。其中，流場(chǎng)進(jìn)入自相似階段的時(shí)刻按式（11）計(jì)算，并取N=2.5，假定波T 后稀疏波以波T 后流場(chǎng)聲速在熱層內(nèi)往返傳播。表2 為不同工況下物理量p4、u4、ρ4L、ρ4R和p5的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果，其中，TA 表示理論計(jì)算結(jié)果，NS 表示數(shù)值模擬結(jié)果，ε=|TA-NS|/NS 為理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果的偏差，t*為數(shù)值模擬結(jié)果的取值時(shí)刻。t*的確定應(yīng)保證物理量趨近于漸近值，本文采用“在時(shí)間間隔Δt=0.5 ms 內(nèi)物理量ρ4L數(shù)值變化不超過2%”作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。

表2 不同工況條件下固壁附近流場(chǎng)參量Table 2 Parameter values near the rigid wall for different cases

當(dāng)熱層不存在時(shí)，波I 后固壁附近流場(chǎng)的壓力為0.450 MPa。熱層的出現(xiàn)，使得固壁附近激波峰值壓力降低，且峰值壓力隨ρtl減小而減小。對(duì)于不同的工況條件，流場(chǎng)參量的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果的偏差均小于10%，驗(yàn)證了理論方法的合理性。

2.2 與Shreffler 和Mirels 理論方法的比較

選取與上一小節(jié)相同的工況參數(shù)，分別利用Shreffler[7]理論方法和Mirels[20]理論方法對(duì)固壁附近流場(chǎng)參量p4、u4和p5進(jìn)行計(jì)算，并與本文理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，見圖10。在Shreffler 理論方法中，前驅(qū)波陣面與水平方向的夾角α 根據(jù)sin2α=ρtl/ρa(bǔ)ir確定，該式的計(jì)算結(jié)果已被證實(shí)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為吻合[3,11]。在Mirels 理論方法中，速度比例系數(shù)k(k=u4L/u4R)描述的是點(diǎn)P4附近界面兩側(cè)速度之比，且0＜k≤1.0。k值依賴于具體的工況條件，Mirels 根據(jù)其理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或數(shù)值模擬結(jié)果是否吻合來確定k值，但并沒有給出k與工況條件的具體關(guān)系。此處，初步選取k=1.0，0.3，0.01 進(jìn)行計(jì)算，以涵蓋k可能的取值范圍。

圖10 不同理論方法的計(jì)算結(jié)果(MaI=2.00)Fig.10 Results from various theoretical methods with MaI=2.00

從圖10 可以發(fā)現(xiàn)，Shreffler 理論方法僅能給出p4和u4，其中p4的結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果偏差較大，u4的結(jié)果則與數(shù)值模擬結(jié)果較為接近。Mirels 理論方法給出的p4與數(shù)值模擬結(jié)果的偏差大小與k值有關(guān)，當(dāng)k=0.3 時(shí)，ρth≈0.28 kg/m3的結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果最接近，當(dāng)k=0.01 時(shí)，ρth≈0.70 kg/m3的結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果最接近；對(duì)于任意的k值，u4的結(jié)果均與數(shù)值模擬結(jié)果存在較大偏差；隨著ρtl/ρa(bǔ)ir趨近于1，p5的結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果偏差逐漸減小。本文理論方法所給出的p4、u4和p5，與數(shù)值模擬結(jié)果偏差均小于10%，表明本文理論方法在此類工況條件下優(yōu)于Shreffler 理論方法和Mirels 理論方法。

2.3 Zaslavskii 實(shí)驗(yàn)

Zaslavskii[14]利用氮?dú)馀c氫氣的混合氣體構(gòu)建熱層，在激波管中開展了MaI=1.36 的豎直平面激波與水平熱層作用實(shí)驗(yàn)，并測(cè)量了不同 ρtl/ρa(bǔ)ir（ρtl/ρa(bǔ)ir＜0.5）條件下波T 沿固壁走過約12h后的強(qiáng)度ξT=pT/p0，按照2.1 節(jié)所采用的準(zhǔn)則判斷，流動(dòng)進(jìn)入準(zhǔn)自相似階段。Zaslavskii 并未詳細(xì)給出流場(chǎng)初始狀態(tài)參數(shù)p0、ρa(bǔ)ir等，但由于ξT是一個(gè)無量綱量且不依賴于p0、ρa(bǔ)ir等物理量的具體數(shù)值，因此本文在開展理論計(jì)算和數(shù)值模擬時(shí)，不失一般性，取p0=0.101 MPa、ρa(bǔ)ir=1.225 kg/m3、γ=1.4，且N=2.5。圖11 給出了ρtl/ρa(bǔ)ir=0.1、0.2、0.3、0.4 和0.5 時(shí)波T 強(qiáng)度ξT和固壁附近p4、u4的理論計(jì)算結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果，并與Zaslavskii 測(cè)量得到的ξT進(jìn)行比較。

對(duì)于MaI=1.36 和ρtl/ρa(bǔ)ir≤0.5，由于入射激波速度小于熱層內(nèi)氣體聲速，Shreffler 理論方法和Mirels 理論方法均不再適用，因此圖11 中僅列出了本文理論方法的計(jì)算結(jié)果。圖11(a)為波T 強(qiáng)度ξT，對(duì)于不同的ρtl/ρa(bǔ)ir，數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果最大偏差約8.60%。圖11(b)、(c)分別為點(diǎn)P4附近的流場(chǎng)壓力p4和速度u4，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果較為吻合，其中p4對(duì)應(yīng)的最大偏差為13.8%，u4對(duì)應(yīng)的最大偏差為20.6%，隨著ρtl/ρa(bǔ)ir增大，偏差逐漸減小。

圖11 不同理論方法的計(jì)算結(jié)果(MaI=1.36)Fig.11 Results from various theoretical methods with MaI=1.36

3 結(jié) 論

當(dāng)豎直平面激波與固壁附近水平熱層作用時(shí)，流場(chǎng)中會(huì)出現(xiàn)渦旋和前驅(qū)波等結(jié)構(gòu)。為了更為準(zhǔn)確地計(jì)算流動(dòng)處于準(zhǔn)自相似階段時(shí)固壁附近的流場(chǎng)參量，本文對(duì)已有的Mirels[20]理論方法進(jìn)行了以下三個(gè)方面的改進(jìn)：

（1）舍棄“熱層內(nèi)激波速度與入射激波速度相等”的假定，基于激波動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算熱層內(nèi)激波與波后稀疏波作用；

（2）在與入射激波后流體而非入射激波陣面固連的坐標(biāo)系中，入射激波后流體在定常等熵波作用下，形成沿固壁運(yùn)動(dòng)的“活塞”；

（3）不再引入速度比例系數(shù)，而是假定“活塞”內(nèi)流體與其毗鄰的熱層氣體，滿足壓力和速度連續(xù)。

設(shè)定不同的工況，利用本文中改進(jìn)后的理論方法計(jì)算固壁附近流場(chǎng)參量，并與數(shù)值模擬結(jié)果、已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及Shreffler 理論方法和Mirels 理論方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。給定入射激波馬赫數(shù)2.00 和熱層與空氣密度之比0.10≤ρtl/ρa(bǔ)ir≤0.90，對(duì)于熱層上界面處擾動(dòng)未到達(dá)固壁之前的流場(chǎng)激波類型，本文理論方法與數(shù)值模擬所給出的結(jié)果基本一致，但由于激波動(dòng)力學(xué)理論自身存在一定近似，因此在激波類型發(fā)生轉(zhuǎn)變的區(qū)域附近，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果還存在一定的偏差；當(dāng)流動(dòng)進(jìn)入準(zhǔn)自相似階段后，本文理論方法得到的熱層內(nèi)激波強(qiáng)度以及物質(zhì)界面兩側(cè)流場(chǎng)壓力、速度和密度等流場(chǎng)參量，與數(shù)值模擬結(jié)果偏差均小于10%，明顯優(yōu)于Shreffler 理論方法和Mirels 理論方法。

給定入射激波馬赫數(shù)1.36 和熱層與空氣密度之比0.10≤ρtl/ρa(bǔ)ir≤0.50，由于此時(shí)入射激波速度小于熱層內(nèi)氣體聲速，Shreffler 理論方法和Mirels 理論方法不再適用，而本文的理論方法依然可以應(yīng)用；本文理論計(jì)算得到的熱層內(nèi)激波強(qiáng)度，與數(shù)值模擬結(jié)果和已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為吻合，與數(shù)值模擬結(jié)果最大偏差約8.60%，物質(zhì)界面處流場(chǎng)壓力、速度的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果最大偏差約20%。

通過以上對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，與現(xiàn)有的Shreffler 和Mirels 理論方法相比，本文的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果和已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更為吻合，且其適用范圍也更為廣泛。本文的研究結(jié)果可加深對(duì)激波與熱層作用機(jī)理的認(rèn)識(shí)，為建立斜面或球面激波與熱層作用流場(chǎng)的理論計(jì)算方法提供參考。