徐天宇，張立翔

(昆明理工大學建筑工程學院，云南 昆明 650500)

水分對于植物的生理生態(tài)有著重要的作用,它直接或間接影響著植物生長發(fā)育過程中的各種生理活動[1].木質部是連接根系和冠層的主要輸水通道，水分由根系通過木質部到達葉片部，而輸送的通道就是分布在木質部內(nèi)部的導管和管胞[2].導管和管胞長短不一，內(nèi)徑一般為微米量級[3-5]，管內(nèi)組織結構凸凹不均，分布較為復雜，導致導管水分傳輸?shù)挠嬎爿^為困難，目前仍以試驗觀測為主要手段[6-7].

為彌補試驗觀測的不足，一些學者采用CFD的方法構建木質部導管輸水模型，探索導管流動特性.如ROTH[8]建立了導管二維簡化模型，分析環(huán)紋導管的流動特性，得出水分流動特性與環(huán)紋間距的關系.徐天宇等[9]建立植物單管胞阻力計算的數(shù)學模型，研究紋孔結構與植物管胞內(nèi)徑及電阻率的關系，得出紋孔深度、紋孔直徑、紋孔塞直徑是影響管胞電阻率的主要因素.陳琦等[10]使用低雷諾數(shù)k-ε模型對管胞具緣紋孔進行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)紋孔的壓降與紋孔塞直徑成正比，與紋孔直徑、紋孔深度成反比.大多數(shù)研究是對導管環(huán)紋、穿孔板和管胞紋孔的建模分析，而木質部導管成熟后的二次生長階段會產(chǎn)生環(huán)紋、螺紋、網(wǎng)紋和孔紋等不同形式的次生加厚[11]，不同導管增厚形式對水分輸運不盡相同，體現(xiàn)木質部輸水方式的多樣性，其中陳琦等[12]使用SSTk-ε模型對導管內(nèi)壁環(huán)紋和螺紋增厚流動進行了數(shù)值模擬，而木質部導管成熟后期，木質部導管會產(chǎn)生更加復雜的網(wǎng)紋增厚[13]，其增厚方式對水分輸運的影響研究鮮見報道.

文中提出一種網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量分布模型，模擬木質導管網(wǎng)紋增厚對水分輸運的影響.結合伯努利方程和層流模型的數(shù)值模擬，通過等效阻力系數(shù)的變化，分析導管內(nèi)壁網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量、螺紋間距、網(wǎng)紋高度、網(wǎng)紋寬度等因素對導管內(nèi)部微流動的影響，揭示植物生長過程中通過木質部導管增厚的機制對導管水分輸送的控制機理.

1 內(nèi)壁網(wǎng)紋增厚導管模型

1.1 增厚導管模型

植物木質部導管內(nèi)壁二次生長的增厚形式如圖1所示.圖1c,d顯示了從網(wǎng)紋增厚到孔紋增厚的過渡過程，而孔紋增厚后期會產(chǎn)生聯(lián)通兩導管的紋孔結構，其中內(nèi)壁網(wǎng)紋增厚是木質部二次增厚的一個常見的典型結構，也是水分輸運的重要途徑[11]，因此，文中通過對網(wǎng)紋增厚模型進行建模，探究其對水分輸運的影響.

圖1 木質部二次增厚示意圖

1.2 內(nèi)壁網(wǎng)紋增厚模型

設植物木質部導管內(nèi)壁網(wǎng)紋增厚可用具有不同數(shù)量且具有一定尺度大小的螺旋線建模，如圖2所示.圖3為內(nèi)壁網(wǎng)紋增厚模型沿內(nèi)壁分布的剖面示意，其中箭頭代表水分運動方向；Z1，Z2，…，Zn分別表示斷面1、斷面2，…，斷面n.從圖中可以看出，液體進入截面凸部斷面2時，由于壁面網(wǎng)紋增厚導致斷面收縮，形成進口收縮流，同時也造成凸部出口斷面擴散流.由于凸部產(chǎn)生的收縮-擴散流增加流體與壁面的摩擦和碰撞，產(chǎn)生較大的局部能量損失.

圖2 內(nèi)壁網(wǎng)紋增厚導管模型

圖3 內(nèi)壁網(wǎng)紋增厚模型的流動示意

Fig.3 Diagram of flow path in reticulated thickening model

假設任意斷面間的流動滿足伯努利方程，則從進口至出口各斷面z1，z2，…，zn間分段寫出伯努利方程為

(1)

式中:pn,vn分別為斷面n處的平均壓力和流速;ρ為液體質量密度;g為重力加速度;zn為斷面處的位置水頭;ξn-1為斷面n-1到斷面n的局部損失系數(shù);λ為沿程損失系數(shù);ln-1為相鄰兩斷面間的長度.將式(1)各式等號兩邊各項依次相加得

(2)

由導管的連續(xù)性方程知

v1A1=v2A2=v3A3=…=vnAn,

(3)

式中:Ai(i=1,2,…,n)為相應斷面處的通流面積.將式(3)代入式(2)得

(4)

若令，

(5)

式(4)簡化為

(6)

可表示為

(7)

或用流量表示為

(8)

式中:ξ稱為導管的等效損失系數(shù);Δp為導管進口至出口的壓力差;L=zn-z1為導管長度(垂直高度);Q為導管內(nèi)平均流量.顯然，ξ反映了導管內(nèi)部網(wǎng)紋增厚及幾何特性對流動的影響，而式(7)-(8)則反映了植物導管幾何特性、水分輸送力以及輸送驅動力之間的物理力學關系，揭示了植物導管水分的輸送機理.

2 CFD數(shù)值模擬

2.1 控制方程

為了確定網(wǎng)紋增厚導管的等效損失系數(shù)ξ，在已知邊界條件的情況下，還需確定導管計算段進出口間的壓差Δp.鑒于管內(nèi)壁凸點的復雜性，文中采用CFD數(shù)值模擬的方法確定Δp.因導管內(nèi)Re數(shù)小于1，根據(jù)文獻[14-15]的報道，使用層流模型進行結果對比具有更好的計算精度.

2.2 網(wǎng)格設計

考慮到網(wǎng)紋增厚凸部結構的不規(guī)整性，網(wǎng)格劃分使用四面體或六面體的非結構網(wǎng)格.在凸部突出的區(qū)域，由于幾何曲率變化較大，在凸部采用網(wǎng)格加密的方式進行細化.網(wǎng)格規(guī)模以出/入口壓降預測精度為依據(jù)，進行網(wǎng)格無關性檢驗(見表1)，表中N為網(wǎng)格數(shù)量，PDD為壓降差異,標準網(wǎng)格和細化網(wǎng)格的網(wǎng)格密度計算預測的壓降差異為0.24%，認為網(wǎng)格數(shù)對計算結果已沒有影響，因此采用標準網(wǎng)格密度，其總單元數(shù)為724 230個.網(wǎng)紋壁面網(wǎng)格分布形式如圖4所示.

表1 網(wǎng)格密度無關性檢驗

圖4 網(wǎng)紋壁面網(wǎng)格分布

2.3 邊界條件

當前，木質部導管水分運動的力學機理尚不完全清楚，文中仍按流體力學的基本原理設定水分運動的邊界條件.壁面采用非滑移條件，進口已知速度取為0.003 m/s[5]，壓力出口為環(huán)境氣壓.同時，為減緩入口、出口人為邊界的影響，在進口和出口段設置足夠長的計算過渡段.

2.4 數(shù)值實現(xiàn)

計算硬件平臺為高性能計算系統(tǒng)，使用5臺PowerCube-S01云立方漢柏高性能并行計算機，計算軟件為ANSYS FLUENT17.1.通過數(shù)值模擬計算出不同條件下導管段的壓降Δp，再利用式(7)計算導管的等效損失系數(shù)，并分析網(wǎng)紋增厚導管內(nèi)部的流動特性.

3 計算結果

為便于比較分析，取導管網(wǎng)紋模型長度為300 μm，內(nèi)徑為30 μm，紋寬和紋高為4 μm，軸向紋間距為20 μm，螺旋線數(shù)量為4，分別對不同導管模型進行計算，分析導管的流動特性.

3.1 凸點分布特性的影響

3.1.1 網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量

在其他參數(shù)設定的情況下，改變導管網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量，通過CFD數(shù)值模擬，可得到導管內(nèi)部的壓力、流速等流場參數(shù)，由此可得到導管進/出口壓力差Δp、導管流量Q等流動參數(shù)，再根據(jù)式(7)即可算出網(wǎng)紋增厚導管的等效損失系數(shù)ξ如表2所示,表中N1為網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量，Qa為平均流量，ξ為等效損失系數(shù).

由表2可知，隨網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量增加，網(wǎng)紋導管內(nèi)平均流量減小，總壓降增大，等效損失系數(shù)也逐漸增大，當網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量增加到8條時，壓降增大約16.34%，等效損失系數(shù)增大約26.45%.這表明，隨著網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量增加，網(wǎng)紋導管中的過流面積減小，平均流量減小，而網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量增加同時會導致導管內(nèi)壁的阻力增大，因此導管內(nèi)的壓降增大，等效損失系數(shù)隨之增大.顯然，隨螺旋線數(shù)量的增加，導管的輸送阻力明顯加大，輸送能力將降低.

表2 導管內(nèi)網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量對壓降和等效損失系數(shù)的影響

Tab.2 Effects of number of helical curls on pressure drop and flow resistance coefficient

參數(shù)N1/條Δp/PaQa/(10-13m3·s-1)ξ210.228.3310 387數(shù)值411.118.2511 895811.898.2213 134

3.1.2 導管內(nèi)徑

在其他參數(shù)設定的情況下，等效損失系數(shù)的計算方法相同，結果見表3，表中l(wèi)v為導管內(nèi)徑.

表3 導管內(nèi)徑對壓降和等效損失系數(shù)的影響

Tab.3 Effects of vessel inner diameter on pressure drop and flow resistance coefficient

參數(shù)lv/μmΔp/PaQa/(10-13m3·s-1)ξ3011.118.2511 895數(shù)值406.0314.854 335503.6723.29951

由表3可知，隨導管內(nèi)徑增加，網(wǎng)紋導管內(nèi)平均流量增大，總壓降減少，等效損失系數(shù)也逐漸減小，當導管內(nèi)徑增加到50 μm時，壓降減少了約66.97%，等效損失系數(shù)減少約92.01%.這表明，隨著導管內(nèi)徑增加，網(wǎng)紋導管中的過流面積增大，平均流量增大，而網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量、網(wǎng)紋高度、網(wǎng)紋寬度等導管內(nèi)壁的阻力參數(shù)不變，因此導管內(nèi)的壓降降低，等效損失系數(shù)隨之降低，輸送能力提高.

3.1.3 螺紋間距

在其他參數(shù)設定的情況下，等效損失系數(shù)的計算方法相同，結果見表4,表中ds為螺紋間距.

表4 導管內(nèi)螺紋間距對壓降和等效損失系數(shù)的影響

Tab.4 Effect of helical curl spacing on pressure drop and flow resistance coefficient

數(shù)值ds /μmΔp/PaQa/(10-13m3·s-1)ξ1011.658.2212 780數(shù)值2011.118.2511 8952511.018.3311 524

由表4可知，隨導管內(nèi)螺紋間距增加，網(wǎng)紋導管內(nèi)平均流量增加，總壓降減小，等效損失系數(shù)也逐漸減小，當導管內(nèi)螺紋間距增加到25μm時，壓降減少約5.49%，等效損失系數(shù)減少約9.83%.這表明，螺紋間距的增大，使網(wǎng)紋導管內(nèi)部網(wǎng)紋螺旋線旋轉圈數(shù)減少，內(nèi)部總體阻力減少且網(wǎng)紋增厚過流面積增大，壓降減少，等效損失系數(shù)降低，輸送能力提高.

3.1.4 網(wǎng)紋高度

在其他參數(shù)設定的情況下，等效損失系數(shù)的計算方法相同,結果見表5，表中hv為網(wǎng)紋高度.

表5 導管內(nèi)網(wǎng)紋高度對壓降和等效損失系數(shù)的影響

Tab.5 Effects of reticulated curl height on pressure drop and flow resistance coefficient

參數(shù)hv/μmΔp/PaQa/(10-13m3·s-1)ξ2.39.538.449 151數(shù)值3.010.028.3210 2964.011.118.2511 8955.012.768.2114 455

由表5可知，隨導管內(nèi)網(wǎng)紋高度增加，網(wǎng)紋導管內(nèi)平均流量減小，總壓降增大，等效損失系數(shù)也逐漸增大，當導管內(nèi)網(wǎng)紋高度增加到5.0 μm時，壓降增大約33.89%，等效損失系數(shù)增大約57.96%.這表明，隨著導管網(wǎng)紋高度增加，網(wǎng)紋增厚處的截面面積變小，導致木質部導管的整體流動通道變小，平均流量減少，木質部導管的局部流動阻礙的變大，產(chǎn)生更多的能量損失，從而使得導管壓降增加，等效損失系數(shù)增大，輸送能力降低.

3.1.5 網(wǎng)紋寬度

在其他參數(shù)設定的情況下，等效損失系數(shù)的計算方法相同.結果見表6，表中bv為網(wǎng)紋寬度.

表6 導管內(nèi)網(wǎng)紋寬度對壓降和等效損失系數(shù)的影響

Tab.6 Effects of reticulated curl width on pressure drop and flow resistance coefficient

參數(shù)bv/μmΔp/PaQa/(10-13m3·s-1)ξ2.310.568.3010 955 數(shù)值3.010.678.2811 1684.011.118.2511 8955.011.578.2312 631

由表 6 可知，隨導管內(nèi)網(wǎng)紋寬度增加，網(wǎng)紋導管內(nèi)平均流量減小，總壓降增大，等效損失系數(shù)也逐漸增大，當導管內(nèi)網(wǎng)紋高度增加到5.0 μm時，壓降增大約9.56%，等效損失系數(shù)增大約15.30%.這表明，隨著導管網(wǎng)紋寬度增加，網(wǎng)紋導管中的阻力增大，總壓降減少，且流體過流面積減少，平均流量減少，輸送能力降低.但對比網(wǎng)紋高度，其對等效損失系數(shù)的影響較小.

綜合上述5種情況分析結果可發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)紋模型使用伯努利方程建模，結合CFD數(shù)值模擬，可將木質部導管內(nèi)壁網(wǎng)紋增厚產(chǎn)生的阻力機制用等效水頭損失系數(shù)模擬，得出網(wǎng)紋高度對輸送效率的影響最大，螺旋線數(shù)量的影響次之，網(wǎng)紋寬度和網(wǎng)紋螺紋間距的影響最小.因網(wǎng)紋高度的增加會導致導管流動壁面凸部在徑向方向增大，會使壁面的回旋流動區(qū)域變大，導致等效內(nèi)徑更小，輸送效率影響最大，網(wǎng)紋增厚其他參數(shù)變化相對網(wǎng)紋高度只單純在結構阻力方面對輸水效率的影響，因此對于網(wǎng)紋導管增厚水分輸運最主要影響因素是結構變化導致的回旋流動區(qū)域大小的變化，回旋流動區(qū)域越大，等效內(nèi)徑越小，輸送能力越低，反之則越高.

3.2 網(wǎng)紋導管內(nèi)部流動特性分析

選取網(wǎng)紋增厚導管進行流場分析.其中模型長度為300 μm，內(nèi)徑為30 μm，紋寬和紋高為4 μm，軸向紋間距為20 μm，螺旋線數(shù)量為8，圖5為網(wǎng)紋增厚導管中流體整體壓力分布云圖，圖6為網(wǎng)紋增厚導管中速度分布云圖.從圖5中可以看出導管整體壓力變化,其入口壁面壓強較大，隨著流體流動，壓強均勻減小，當在近壁面遇到網(wǎng)紋凸部時，因流動遇到阻力，使流動方向產(chǎn)生突變，局部能量損失增大，使凸部前后產(chǎn)生了較大壓差.圖6中流體沿導管壁面流動的整體流速很小，由于增厚網(wǎng)紋的存在，使凸部壁面流動產(chǎn)生了局部回旋流動，此時導管流體流動的等效內(nèi)徑小于實際導管內(nèi)徑，也解釋了網(wǎng)紋增厚參數(shù)變化導致流量降低，壓降增大的原因.

圖5 網(wǎng)紋增厚導管中流體的壓力分布云圖

Fig.5 Pressure contours in reticulated thickening vessel

圖6 流體沿導管壁面流動示意圖

Fig.6 Fluid velocity contours and streamline in cross-sections in reticulated thickening vessel

3.3 不同類型增厚導管與光滑導管結構流阻分析

為了研究木質部導管的水分傳輸效率，對不同類型增厚導管和理想光滑導管進行比較分析(見表7)，計算導管由不同增厚結構引起的結構流阻，計算公式為

(9)

式中：F表示結構流阻；ξs為相同內(nèi)徑理想光滑管道的等效損失系數(shù).顯然，結構流阻越接近于1，導管的傳輸效率就越接近理想管道.

表7 不同增厚結構導管和光滑管等效損失系數(shù)計算值

Tab.7 Calculated flow resistance coefficients of different thickening vessels and smooth vessel

D/μmξ網(wǎng)紋管ξ螺紋管ξ環(huán)紋管ξ光滑管3011 89511 13211 4998 126404 3353 9344 1492 81950951895923426

選取網(wǎng)紋、螺紋、環(huán)紋3種不同類型增厚導管與光滑導管進行阻力分析，其中不同增厚導管的參數(shù)為長度為300 μm，紋寬和紋高為4 μm，軸向紋間距為20 μm，其中網(wǎng)紋導管的螺旋線數(shù)量為4；得到不同增厚導管等效損失系數(shù)見表6，D為導管內(nèi)徑，所示通過式(9)計算得出導管內(nèi)徑大小與導管的結構流阻之間的變化規(guī)律如圖7所示.圖中計算得出不同類型增厚導管的結構流阻θfr與導管內(nèi)徑大小成正比，增厚導管內(nèi)徑D越大，在其他設置條件一致的情況下，結構流阻越大.

圖7 不同增厚導管的結構流阻與內(nèi)徑的關系

Fig.7 Relationship between flow resistance coefficientand inner diameter for different thickening vessels

3種導管增厚類型中網(wǎng)紋增厚導管整體結構流阻最大，環(huán)紋增厚導管次之，螺紋增厚導管最小.以導管網(wǎng)紋增厚為例，在導管內(nèi)徑D=30 μm 時，結構流阻的比值為31.67%;導管內(nèi)徑為D=50 μm 時，結構流阻的比值為55.21%，說明內(nèi)徑增加，導管增厚的結構引起的阻力所占比重越小，導管的流動特性越接近光滑管道.表7中，3種不同導管增厚結構，在導管內(nèi)徑較小時，導管等效損失系數(shù)大，說明內(nèi)部結構特征影響水分傳輸效率大，因此作為3種增厚結構中最復雜的網(wǎng)紋結構其阻力最大，且網(wǎng)紋結構更容易使導管產(chǎn)生回旋流動區(qū)域，而環(huán)紋增厚比螺紋增厚阻力大的原因可能是螺紋與導管徑向呈一定角度，對回旋流動區(qū)域產(chǎn)生一定擾動，使其回旋流動區(qū)域減小，阻力減小.在導管內(nèi)徑較大時，3種增厚結構對等效損失系數(shù)的影響基本一致，說明在導管尺寸較大時內(nèi)部結構變化對流動阻力影響很小，這與文獻[2，12]等研究結論相似.

4 結 論

1) 導管內(nèi)徑、螺旋線數(shù)量、螺紋間距、網(wǎng)紋高度和網(wǎng)紋寬度對流動阻力有顯著的影響.等效損失系數(shù)與網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量、網(wǎng)紋高度、網(wǎng)紋寬度成正比，與導管內(nèi)徑、螺紋間距成反比；總壓降與網(wǎng)紋螺旋線數(shù)量、網(wǎng)紋高度、網(wǎng)紋寬度成正比，與導管內(nèi)徑、螺紋間距成反比.

2) 對比3種不同導管增厚結構，網(wǎng)紋增厚導管整體結構流阻最大，環(huán)紋增厚導管次之，螺紋增厚導管最小，且增厚導管的結構流阻與導管內(nèi)徑大小成正比，內(nèi)徑越大，增厚導管的傳輸效率就越接近理想光滑管道.

3) 導管網(wǎng)紋增厚對水分輸運影響通過網(wǎng)紋結構變化和網(wǎng)紋結構引起回旋流動共同作用，且回旋流動區(qū)域大小是影響網(wǎng)紋導管水分輸運的主要因素所在.