張永寧 薛永剛 陳 皓 李 江 付曉慶

(西安應(yīng)用光學(xué)研究所 西安 710065)

0 引言

探地雷達(dá)是一種有效的淺層隱藏目標(biāo)(巖石、泥土、礫石等材料)探測技術(shù)。利用電磁波在地下介質(zhì)中傳播時遇到存在電性差異的分界面時發(fā)生反射，根據(jù)接收到的電磁波振幅強(qiáng)度、波形和時間的變化等特征參數(shù)推斷地下介質(zhì)的空間位置、形態(tài)、埋藏深度和結(jié)構(gòu)等信息。通常合成孔徑成像要求采集大量的時空數(shù)據(jù)，通過探地雷達(dá)掃描感興趣的區(qū)域并且記下空間域反射回來的時間信號。常用的探地雷達(dá)成像算法如時域標(biāo)準(zhǔn)反投影算法[2]和距離偏移算法[3]，都是利用標(biāo)量波動方程建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式，從而對目標(biāo)散射數(shù)據(jù)進(jìn)行成像。通常地下潛在目標(biāo)僅占雷達(dá)探測區(qū)域很小部分，以上算法為了得到更好的成像效果，按照奈奎斯特采樣率對地下目標(biāo)反射信號進(jìn)行采樣，在沒有考慮目標(biāo)區(qū)域所占探測區(qū)域很小一部分的先驗知識，其要求探地雷達(dá)對目標(biāo)回波信號進(jìn)行采樣時，在滿足奈奎斯特采樣定理的條件下，盡量設(shè)置高的采樣率，以獲取足夠多的原始成像數(shù)據(jù)，這些算法導(dǎo)致探地雷達(dá)采樣數(shù)據(jù)量大、硬件設(shè)計復(fù)雜、測量時間較長。

壓縮感知理論是建立在逼近原理和稀疏信號表示方法基礎(chǔ)上的新研究領(lǐng)域，它充分地利用了雷達(dá)目標(biāo)回波信號結(jié)構(gòu)所具有的稀疏特性，利用欠奈奎斯特率采樣數(shù)據(jù)的非相關(guān)測量實現(xiàn)高維稀疏信號的感知。壓縮感知算法摒棄了原始信號采樣中的冗余信號，并通過連續(xù)的時間信號變換處理，得到原始信號的壓縮樣本，最后在雷達(dá)數(shù)字信號處理中采用優(yōu)化處理算法來處理壓縮后的原始信號樣本。目前壓縮感知理論在通信、圖像處理、光學(xué)、微波成像等眾多領(lǐng)域引起高度關(guān)注。本文利用探地雷達(dá)探測目標(biāo)區(qū)域具有稀疏性的先驗知識，以壓縮感知為理論基礎(chǔ)，通過對合成孔徑雷達(dá)回波信號的稀疏性進(jìn)行分析，提出了合成孔徑探地雷壓縮感知成像算法。該算法不但能提高探地雷達(dá)的成像性能，同時還可以縮短數(shù)據(jù)采集時間、降低探地雷達(dá)采集系統(tǒng)硬件成本，實現(xiàn)了以較少資源實現(xiàn)探地雷達(dá)的高分辨率探測成像。

1 壓縮感知的基本內(nèi)容

當(dāng)信號在某個變換域上可稀疏表示或者可進(jìn)行壓縮時，可用與變換矩陣非相干的測量矩陣將變換系數(shù)線性投影為低維觀測向量[4]，這種系數(shù)線性投影法具有重建信號所必需的所有重要信息，通過進(jìn)一步求解稀疏最優(yōu)化問題，可以從低維觀測向量精確地重建原始高維信號。

將給定的信號在己知函數(shù)集上進(jìn)行分解形成信號稀疏變換，通過在變換域上表達(dá)原始信號，用少量的基函數(shù)來準(zhǔn)確地重構(gòu)出原始信號。

RN中的離散信號x[n],n=1,2,…,N表示為

(1)

壓縮感知理論直接對稀疏信號進(jìn)行采樣，x為任意N維K階的稀疏信號，s通過x在空間RN的M=c(μ2(Φ,ψ)logN)K(M<

y=Φx=ΦΨs

(2)

式(2)中y表示M維隨機(jī)測量值，Φ為M×N維隨機(jī)測量矩陣，常量C一般很小，μ(Φ,ψ)是Φ與ψ之間的相關(guān)值。當(dāng)Φψ滿足有限等距特性[5]時，通過求解l1范數(shù)約束最優(yōu)化問題

(3)

可從欠定方程式(2)的M個測量數(shù)據(jù)中用稀疏表示s還原原始信號x。

2 壓縮感知合成孔徑探地雷達(dá)成像原理

探地雷達(dá)使用雷達(dá)電磁脈沖對地下成像，當(dāng)發(fā)射電磁波從不同的電介質(zhì)邊界做出反射時，接收天線記錄反射回來的信號。本文使用常規(guī)的點目標(biāo)模型，利用該模型得出延遲時間的反射回的接收信號

(4)

s(t)是發(fā)射信號，τi(p)是天線在第i個孔徑點時收發(fā)天線和目標(biāo)p之間總的往返時間延遲，σp是目標(biāo)的反射系數(shù)，Ai,p是衰減和傳播損失的縮放比例因子。

通過探地雷達(dá)在空間中移動來收集從不同的掃描區(qū)域反射回的時間數(shù)據(jù)，這些掃描點的集合，構(gòu)成了合成孔徑雷達(dá)的接收時空數(shù)據(jù)。系統(tǒng)使用收發(fā)天線分開固定裝置，收發(fā)天線間距為dtr，如圖1(a)所示。計算傳輸時間τi必須知道從發(fā)射天線到目標(biāo)，再到接收天線波的傳輸路徑，以及不同介質(zhì)中的波速。

圖1 探地雷達(dá)數(shù)據(jù)組圖

兩種不同的媒介如空氣和土壤有不同的電介質(zhì)特性，根據(jù)斯涅爾折射定律改變波的傳播方向，波的折射對于擬域成像特別關(guān)鍵，因此精確計算折射點的方法至關(guān)重要[6]。確定折射點后，圖1(a)中的d1:4,i四個部分的距離路徑可計算得到，時間τi的計算為

(5)

隨著收發(fā)天線的移動收集掃描區(qū)域的數(shù)據(jù)，一個單目標(biāo)在x=0，深度在10cm位置處時，探地雷達(dá)天線沿單道方向從-70cm到70cm進(jìn)行掃描，得到一個單點目標(biāo)時空域空間變換曲線響應(yīng)圖如圖(b)，當(dāng)采集這個感興趣的區(qū)域的數(shù)據(jù)時，這個過程叫合成孔徑成像。

忽略目標(biāo)之間的相互影響，探地雷達(dá)在掃描點(ux,uy)的時空數(shù)據(jù)的測量值計算為

(6)

τ(ux,uy,x,y,z)是從發(fā)射天線到目標(biāo)空間點(x,y,z)再到接收天線的總的傳輸時間，σ(x,y,z)是在目標(biāo)空間點(x,y,z)的反射系數(shù)，AL(ux,uy,x,y,z)代表傳播損失。使用測量值d(ux,uy,t)的目的是為了產(chǎn)生反射剖面，即目標(biāo)空間的成像。

標(biāo)準(zhǔn)成像算法對每一個時空域如圖1(b)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配濾波，時域標(biāo)準(zhǔn)反投影算法[6]表達(dá)式為

f(x,y,z)=?w(ux,uy)d(ux,uy,t)×
δ(t-τ(ux,uy;x,y,z))dtduxduy

(7)

w(ux,uy)是在掃描區(qū)域的加權(quán)函數(shù)，通常用于減小圖像的旁瓣，δ()是脈沖響應(yīng)。

2.1 創(chuàng)建探地雷達(dá)數(shù)據(jù)字典

在探地雷達(dá)工程應(yīng)用中，當(dāng)雷達(dá)對地下目標(biāo)進(jìn)行探測時，目標(biāo)探測區(qū)域通?？烧J(rèn)為是由多個離散的散射中心組成，目標(biāo)散射中心只占據(jù)雷達(dá)探測區(qū)域的很小一部分空間單元。把雷達(dá)探測成像區(qū)域均勻的離散分成N個點散射目標(biāo)，通過離散的空域目標(biāo)空間πT創(chuàng)建每一個離散空域探地雷達(dá)模型。該模型產(chǎn)生一個有限系列的點目標(biāo)β={π1,π2,…,πN} ，每一個πj是三維向量[xj,yj,zj]，對于i孔徑點，ψi的j列是相對于目標(biāo)在πj的接收信號，第j列的n個元素可以表示成公式(8)所示。

(8)

其中：tn=t0+n/Fs0≤n≤Nt-1，分母是時間信號能量，F(xiàn)s是采樣頻率，t0是初始時間，Nt是暫存采樣數(shù)目，對β中每一個可能的目標(biāo)點重復(fù)計算式(8)，在i孔徑點產(chǎn)生字典ψi的大小為Nt×N，接收信號表示為

ζi=ψib

(9)

其中向量b表示加權(quán)系數(shù)，其滿足稀疏性，表示為探測目標(biāo)像矩陣中的各個元素。如果探測目標(biāo)處在πj網(wǎng)格處時，向量b的第j個元素即為πj對應(yīng)的反射系數(shù)，否則其元素值為0。

2.2 壓縮感知數(shù)據(jù)獲取

標(biāo)準(zhǔn)探地雷達(dá)接收器通常需要很高的采樣率，當(dāng)目標(biāo)空間是稀疏時，該文提出的基于壓縮感知的數(shù)據(jù)采集模型用一定量的雷達(dá)測量信號來重構(gòu)雷達(dá)稀疏信號。一般情況下，信號x的測量值寫成y=Mx，M是測量矩陣。在第i個孔徑處

βi=φiζi=φiψib

(10)

βi是測量向量，Фi是M×Nt的測量矩陣(M?Nt)。壓縮感知理論要求矩陣ΦΨ滿足約束等距特性，保證Фi的行不能由ψi的列稀疏表示，反之亦然。隨機(jī)測量矩陣Фi服從獨立同分布或者伯努利分布。

2.3 壓縮感知探地雷達(dá)成像

(11)

(12)

其中：ui=φini～N(0,σ2)，ni為系統(tǒng)噪聲向量。b的重建問題可通過以下方法得到

(13)

或者

min‖b‖1s.t. ‖β-Ab‖2〈ε2

(14)

其中A=Фψ，ε1,2是正規(guī)化參數(shù)。通過求解式(13)、式(14)代表的約束問題，可以較高概率地從含有噪聲隨機(jī)測量信號中重構(gòu)出加權(quán)系數(shù)向量b。

3 實驗仿真及分析

選面積為900cm2的地下二維模擬區(qū)域進(jìn)行探測試驗，用π來標(biāo)記目標(biāo)空間。將地下二維目標(biāo)空間劃分成30×30=900個等面積的網(wǎng)格，記作∏=[∏1,…,∏j,…,∏900]T，目標(biāo)空間π的加權(quán)系數(shù)向量則用b=[b1,…,bj,…,b900]T表示。在地下模擬目標(biāo)空間內(nèi)隨機(jī)的放置4個模擬點目標(biāo)，目標(biāo)分布情況如圖2(a)所示。

反投影成像算法成像結(jié)果如圖2(f)所示，該算法首先計算出孔徑i處的探測信號從發(fā)射天線經(jīng)目標(biāo)空間第πj個目標(biāo)反射進(jìn)入接收機(jī)后的延時量τi(πj)，并將所有孔徑中具有相同延時量的回波信號進(jìn)行相加，利用全部目標(biāo)空間512×900個目標(biāo)回波數(shù)據(jù)恢復(fù)出目標(biāo)函數(shù)b。

圖2 仿真探測試驗組圖

4 結(jié)束語

通過數(shù)據(jù)仿真和實驗結(jié)果表明，基于壓縮感知的探地雷達(dá)成像算法與傳統(tǒng)探地雷達(dá)成像算法相比，具有分辨率高，采集數(shù)據(jù)少，硬件實現(xiàn)簡單以及更易于目標(biāo)辨識等優(yōu)點。在實際探地雷達(dá)實時成像應(yīng)用中，需要進(jìn)一步研究效率更高的凸優(yōu)化問題計算方法，并且選擇使用一個更廣義的測量矩陣，即一個完整的隨機(jī)矩陣代替現(xiàn)有對角陣Ф，更好地實現(xiàn)基于壓縮感知探地雷達(dá)實時成像的工程應(yīng)用目的。