王曉明 朱一心

(1.首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,北京 100048; 2.山東交通學(xué)院理學(xué)院,山東 濟南 250307)

0 引 言

線性代數(shù)是高等院校理工、經(jīng)濟、管理等專業(yè)必修的基礎(chǔ)課.由于課程內(nèi)容具有較強抽象性，所以在教學(xué)中加入可視化的數(shù)學(xué)實驗演示，有助于對內(nèi)容的理解[1].以往可視化教學(xué)局限于對數(shù)學(xué)概念的解釋.如孔祥強和劉秀英[2]提到利用Maple軟件的動畫功能做出函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的圖形、極坐標(biāo)系下的曲線圖形、球頂錐體的立體圖形等.孫欣等[1]利用Matlab軟件做出二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型的圖形，從而解釋了二次曲線在正交變換下的幾何圖形保持不變；做出正定(負定)二次型的圖形，從圖形上解釋了這2種二次型的不同.這些可視化內(nèi)容只是做出數(shù)學(xué)概念的具體圖形，局限于對數(shù)學(xué)概念的解釋，并沒有幫助到學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念與實際技術(shù)、工程中的應(yīng)用的聯(lián)系.

STEM(科技、技術(shù)、工程和教學(xué))教育是當(dāng)前國際教育界探索21世紀(jì)新型態(tài)能力培養(yǎng)的重要理念和舉措[3]，旨在加強科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)等學(xué)科的整合，加強知識概念與現(xiàn)實世界經(jīng)驗之間的聯(lián)系，強調(diào)問題導(dǎo)向，進而引導(dǎo)學(xué)習(xí)者進行深度學(xué)習(xí),是一種跨學(xué)科綜合教育的形態(tài)[4].結(jié)合STEM教育理念，本文以線性代數(shù)課程中矩陣及矩陣計算的教學(xué)為例，融合數(shù)字圖像處理的基礎(chǔ)技術(shù)，設(shè)計了具體的可視化教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生將書本上的知識和實踐應(yīng)用結(jié)合起來，是對信息化技術(shù)與教學(xué)融合的有益探索.

1 線性代數(shù)的可視化教學(xué)案例

線性代數(shù)理論性強、抽象度高，難以直觀理解.本案例將《數(shù)字圖像處理(Matlab版)》[5]中的圖像基本操作引入到大學(xué)線性代數(shù)“矩陣及矩陣計算”相關(guān)概念的教學(xué)中，一方面增強學(xué)生對矩陣及計算方法的理解，另一方面也直觀地展示了矩陣相關(guān)知識在科學(xué)技術(shù)中的具體應(yīng)用.

1.1 矩陣及其運算概念講解

矩陣的數(shù)學(xué)定義及矩陣計算定義.參見教材[6]，此處不贅述.面對抽象的矩陣定義以及矩陣計算，學(xué)生初步接觸會產(chǎn)生疑問：為什么要定義矩陣？定義有什么意義？為什么針對矩陣要定義如此的計算？當(dāng)然可以舉例線性方程組系數(shù)矩陣來說明這樣定義有意義，但畢竟還是數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的概念，仍脫離不了抽象感.

1.2 應(yīng)用舉例

事實上矩陣是一般二維信息的常規(guī)表述方式，針對二維信息的處理也是以矩陣基本計算為基礎(chǔ)的.數(shù)字圖像就是一個直觀的例子.黑白圖像數(shù)字化后本身就是以矩陣形式存儲.

(1)數(shù)字圖像的矩陣表示.

八位單通道數(shù)字圖像(黑白照片)通過0～255 這256個整數(shù)表示由黑到白的256個灰度階，將由黑到白的亮度變化平均分成256份，數(shù)值越大，亮度越高.由于圖像是二維分布的，所以在計算機內(nèi)通常以矩陣形式存儲.圖1為1個512×512的圖像，其數(shù)據(jù)對應(yīng)于一個512×512的矩陣.為了直觀展示圖像與矩陣的對應(yīng)關(guān)系，放大其中1個5×5 的局部區(qū)域，并標(biāo)明其每個像素位置的亮度值.

(2)圖像亮度變化與矩陣加法.

圖1 灰度圖像及亮度值

通過矩陣加法可以改變圖像的亮度.比如圖1的每個元素給定同樣增量，增量為正，則亮度提升，如圖2(a)所示；反之亮度降低，如圖2(b)所示.矩陣計算的局部演示如下式所示：

圖2 圖像亮度變化效果

(3)圖像底片效果與矩陣減法.

通過一張白色圖像與原始圖像做差，可以得到底片反轉(zhuǎn)的效果，如圖3所示.具體計算如下式所示，一個所有元素為255的矩陣減去原始圖像矩陣為：

圖3 底片反轉(zhuǎn)效果

(4)圖像亮度、對比度調(diào)節(jié)與矩陣數(shù)乘.

原圖乘一個>1的數(shù)，將提升圖像亮度和對比度，如圖4(a)所示，原圖乘一個<1的數(shù)，將降低圖像亮度和對比度，如圖4(b)所示，局部計算如下所示：

圖4 圖像亮度、對比度變化效果

(5)圖像線性疊加與矩陣線性計算.

圖像線性疊加可以通過矩陣的線性相加得到，疊加效果如圖5所示.下式展示了圖像局部線性疊加的過程：

圖5 通過矩陣線性計算得到的圖像疊加效果

圖像線性疊加是生成視頻線性轉(zhuǎn)場效果(由一幅圖像漸變?yōu)榱硪环鶊D像)的主要方式．設(shè)A、B對應(yīng)于兩個圖像(矩陣)，A到B完整的線性轉(zhuǎn)場效果模型為：(1-α)A+αB，其中α從0連續(xù)變化到1.在課堂教學(xué)中可以利用α變化設(shè)計動畫，展示完整的轉(zhuǎn)場過程.

(6)矩陣運算拓展.

在課堂上，除了展示課本上矩陣計算對應(yīng)的案例，還可以增加課外的矩陣計算方法，一方面可以拓展學(xué)生思路，使學(xué)生知識域不局限于書本；另一方面也可以加深學(xué)生對知識應(yīng)用的理解，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.如針對圖像處理與矩陣計算的關(guān)系，可以再增加卷積的知識，不必展開描述，點到即可.

圖7 通過銳化濾波器、模糊濾波器和浮雕濾波器產(chǎn)生的濾波效果

卷積在信號處理里具有廣泛應(yīng)用，是圖像處理的基本操作之一. 其是一種線性運算,應(yīng)用在圖像處理中又稱圖像濾波.圖像的卷積計算由圖像矩陣與1個濾波器矩陣通過下面方式完成：對圖像中每個點，計算鄰域和濾波器矩陣的對應(yīng)元素的乘積，然后疊加，作為該位置的新值,具體公式如下：

其中,G為原圖像，F(xiàn)為濾波器矩陣，H為濾波后的圖像.具體計算過程如圖6所示.

下面給出幾種常用的卷積矩陣，如：銳化濾波器矩陣、模糊濾波器矩陣和浮雕濾波器矩陣的卷積矩陣，具體分別是：

其對應(yīng)的處理效果見圖7.

由上述例子可以看出，圖像濾波實際上就是把1個點的像素值用它鄰域點的像素值的加權(quán)平均代替.如模糊濾波器矩陣，就是用平均加權(quán)達到模糊效果，鄰域選擇越大，模糊效果越強.而浮雕濾波器矩陣，當(dāng)其左上角的像素值相對右下角較大時，濾波后變成暗色，形成凹陷陰影效果，且像素值差距越大，凹陷陰影效果越明顯；反之若右下角的像素值相對左上角較大時，濾波后變成亮色，形成凸起受光效果，像素值差距越大，凸起受光效果越明顯.理解了圖像濾波的內(nèi)在含義，就可以通過選擇鄰域(m,n)大小和精心設(shè)計權(quán)值來構(gòu)造濾波器矩陣，從而基于矩陣卷積運算達到預(yù)期的圖像處理效果.課堂教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生獨立設(shè)計濾波器矩陣，以加強對卷積計算的理解，如設(shè)計浮雕濾波器矩陣，實現(xiàn)光從左下角照射的浮雕效果.

1.3 抽象提升

數(shù)字圖像處理案例的引入，使學(xué)生很直觀地感受到了矩陣定義的實用價值以及矩陣運算在實際生活中的具體使用方式、效果.提升了學(xué)生對矩陣相關(guān)知識點的認識深度與應(yīng)用能力，與日常生活的具體事物相聯(lián)系，對事物本身的認識深度提高.通過運算拓展，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)概念并不是封閉的、一成不變的，而是開放性的，相關(guān)概念可以根據(jù)需求拓展.

上述具體應(yīng)用案例，展示了以圖像為代表的二維信息處理與矩陣概念及計算方法的關(guān)系，表明一般二維信息處理，都可以借助矩陣及矩陣計算實現(xiàn).這時學(xué)生再去理解課本上針對抽象數(shù)字的矩陣計算例題、習(xí)題，就不再感覺言之無物而將矩陣、矩陣計算看作數(shù)字游戲.

2 案例特點

本教學(xué)案例將圖像處理與數(shù)學(xué)相結(jié)合，為數(shù)學(xué)課程教學(xué)設(shè)計提供了一定的借鑒作用.包括：(1)圖像處理基礎(chǔ)內(nèi)容簡單，適用于普通教師很快掌握；(2)研究對象直觀，方便學(xué)生理解.信息技術(shù)的發(fā)展、手機的普遍使用，使數(shù)字圖像應(yīng)用在生活中已司空見慣.圖像與數(shù)學(xué)概念相關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)對象可視化，圖像處理技術(shù)同數(shù)學(xué)計算相對應(yīng)，實現(xiàn)了計算過程的可視化；(3)圖像處理是AI技術(shù)基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科技前沿領(lǐng)域.數(shù)學(xué)與前沿領(lǐng)域的結(jié)合，更容易引起學(xué)生興趣，同時也有利于學(xué)生對相關(guān)領(lǐng)域技能的認識和培養(yǎng)；(4)Matlab有圖像處理工具包支持，容易上手.本案例實驗由Matlab編程完成.

3 結(jié)束語

弗賴登塔爾說：“要保證有活力(是指數(shù)學(xué)知識的活力)，就必須教給學(xué)生充滿著聯(lián)系的數(shù)學(xué).”[7]STEM教育不是教授學(xué)生抽象、孤立的學(xué)科知識，而是加強了科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)等學(xué)科的整合，把學(xué)生學(xué)習(xí)的零碎知識變成相互聯(lián)系的統(tǒng)一整體.結(jié)合STEM教育理念的跨學(xué)科整合這一核心特征，本文設(shè)計了矩陣及其運算的教學(xué)案例，將數(shù)字圖像處理的基礎(chǔ)技術(shù)應(yīng)用到教學(xué)課堂中，以可視化形式、跨學(xué)科的知識關(guān)聯(lián)，將矩陣的相關(guān)概念在具體應(yīng)用案例中予以呈現(xiàn)，在增強學(xué)生知識理解的同時，讓學(xué)生也認識到線性代數(shù)廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生的視野.此案例拋磚引玉，為信息技術(shù)融入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實踐起到了一定的借鑒作用.