黃海新，孫文豪，李環(huán)宇，程壽山

(1.河北工業(yè)大學(xué) 土木與交通學(xué)院，天津 300401；2.交通運輸部 公路科學(xué)研究所，北京 100080)

耐久性是體現(xiàn)混凝土橋梁結(jié)構(gòu)正常運營及服役年限的重要方面，能計入影響因素隨機特性的可靠度是耐久性評定的重要指標[1-4]。但對復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)體系而言，大量的組成構(gòu)件導(dǎo)致其失效路徑眾多且彼此間存在相關(guān)性，可靠度求解難度很大[5]，而微分等價遞歸算法[6]是解決這一問題的有效途徑。李昕等[7]對標準導(dǎo)管架平臺進行安全評價，采用微分等價遞歸算法獲得其系統(tǒng)可靠度。劉揚等[8]采用微分等價遞歸算法對一簡支鋼梁在均布荷載下的承載能力進行了分析，快速識別出其主要失效模式。陳向前等[9]采用微分等價遞歸算法高效并精確地生成雙層框架的當量失效狀態(tài)。目前，該算法主要限于對結(jié)構(gòu)當前靜態(tài)承載能力評定方面的應(yīng)用，尚未引入到具有明顯時變特征的結(jié)構(gòu)體系耐久性可靠度評估中。

在碳化耐久性評估方面，貝葉斯方法能考慮構(gòu)件動態(tài)變化特性并能做出適時更新，能將橋梁客觀檢測數(shù)據(jù)與主觀先驗?zāi)Ｐ拖嗳诤?，并能計入檢測信息和實際信息的誤差[10-16]。劉均利等[10]通過貝葉斯方法根據(jù)檢測信息對各碳化模型權(quán)重進行更新，降低了模型的隨機性。李英民等[11]等用貝葉斯方法對混凝土試件的碳化規(guī)律進行評測。樊學(xué)平等[12]采用貝葉斯動態(tài)模型對橋梁中一片主梁進行了健康檢測和評價?？梢?，貝葉斯方法已構(gòu)建出了信息動態(tài)更新的理論框架，在修正模型以提升橋梁工況預(yù)測精度方面已展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景，但主要集中于構(gòu)件層次的動態(tài)評估。

為實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)體系的耐久性可靠度動態(tài)評估，本文結(jié)合微分等價遞歸算法在體系可靠度求解和貝葉斯方法在信息更新方面各自的優(yōu)勢，將微分等價遞歸算法嵌入碳化深度動態(tài)預(yù)測模型中，建立了結(jié)構(gòu)體系碳化耐久性可靠度評估模型和計算流程，并基于MATLAB平臺開發(fā)了計算程序。通過對上承式鋼筋混凝土拱橋構(gòu)件和體系的碳化耐久性分析，初步顯示了所提方法對工程結(jié)構(gòu)體系動態(tài)更新、危險構(gòu)件篩選和維護優(yōu)先次序確定方面的重要價值。

1 碳化深度貝葉斯動態(tài)線性模型的建立

1.1 貝葉斯動態(tài)線性模型簡介

貝葉斯動態(tài)模型是由英國統(tǒng)計學(xué)家Harrison教授和Stevens教授提出的，其功能可實現(xiàn)對未來數(shù)據(jù)的動態(tài)概率預(yù)測。模型主要由式(1)、式(2)兩個方程確定[10-12]。

觀測方程：

yt=FtTθt+vt,(vt～N[0,Vt])

(1)

狀態(tài)方程：

θt=Gtθt-1+ωt,(ωt～N[0,Wt])

(2)

式中：yt表示t時刻的觀測數(shù)據(jù)；θt為t時刻的狀態(tài)；Ft為t時刻狀態(tài)與觀測數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；vt為t時刻的測量誤差；Gt描述了狀態(tài)參數(shù)從t-1時刻到t時刻的變化；ωt則描述了狀態(tài)變化過程中的隨機性。對于常用的時間序列動態(tài)線性模型，F(xiàn)t,Gt均具有平穩(wěn)性。

具體公式可由貝葉斯定理推導(dǎo)。

1)一步預(yù)測和后驗分布

①t-1時刻后驗分布

(θt-1/Dt-1)～N[mt-1,Ct-1]

(3)

②t時刻先驗分布

(θt/Dt-1)～N[at,Rt]

(4)

式中：

at=Gtmt-1；Rt=GtCt-1GtT+Wt

③t時刻一步預(yù)測分布

(yt/Dt-1)～N[ft,Qt]

(5)

式中：ft=FtTat；Qt=FtTRtFt+Vt

④t時刻后驗分布

(θt/Dt)～N[mt,Ct]

(6)

式中：mt=at+Aet;Ct=Rt-AtAtTQt;At=RtFtQt-1;et=yt-ft。

2)k步預(yù)測分布

在已知Dt的情況下，可對未來的狀態(tài)進行預(yù)測，θt+κ和yt+κ分布為

狀態(tài)分布：

(θt+κ/Dt)～N[at(κ),Rt(κ)]

(7)

預(yù)測分布：

(yt+κ/Dt)～N[ft(κ),Qt(κ)]

(8)

式中：at(κ)=Gt+κat(κ-1)；Rt(κ)=Gt+κRt(κ-1)Gt+κT+Wt+κ;ft(κ)=Ft+κTat(κ);Qt(κ)=Ft+κTRt(κ)Ft+κ+Vt+κ。

3)濾波遞推

在已知Dt的情況下，可由對過去的狀態(tài)進行預(yù)測，θt-κ分布為

(θt-κ/Dt)～N[at(-κ),Rt(-κ)]

(9)

式中：at(-κ)=mt-κ+Bt-κ[at(-κ+1)-at-κ(1)];

Rt(-κ)=Ct-κ-Bt-κ[Rt-κ(1)-Rt(-κ+1)]Bt-κT;

Bt=CtGt+1TRt+1-1

1.2 構(gòu)建碳化深度貝葉斯動態(tài)線性預(yù)測模型

目前，學(xué)者們[17-19]常用的碳化深度模型為

(10)

式中：c(t)為t時刻(單位：年)的碳化深度,mm；而系數(shù)K則和材料、環(huán)境等因素相關(guān)。

為計入碳化過程中的隨機擾動，并考慮測量結(jié)果與真實狀態(tài)之間的誤差，需將上述碳化模型納入貝葉斯動態(tài)更新框架下來描述。但從式(10)可見，碳化深度模型是時間的非線性函數(shù)，貝葉斯動態(tài)線性模型中的轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)換關(guān)系Ft和Gt難以直接確定。為此，這里先對原始碳化模型作進行一步轉(zhuǎn)換。經(jīng)觀察，對式(10)兩邊取平方，可得

c(t)2=K2t

(11)

引入新的變量函數(shù)y(t)，令

y(t)=c(t)2

(12)

yt=y(t)+vt,(vt～N[0,Vt])

(13)

(14)

由式(14)可看出，碳化耐久性貝葉斯動態(tài)線性模型在不進行觀測修正時，預(yù)測變量均值和t仍成線性關(guān)系，即有y(t+1)=y(t)+Δ(t)。據(jù)此，結(jié)合式(3)～式(6)，可對當前狀態(tài)碳化深度進行修正；式(7)～式(9)能根據(jù)修正后的結(jié)果對過去數(shù)據(jù)進行濾波以及對將來數(shù)據(jù)進行預(yù)測。

1.3 模型構(gòu)件層次算例測試

模型的正確性和適用性需通過工程實踐加以檢驗，通過標準碳化實驗來獲得實際碳化數(shù)據(jù)，見圖1。試件尺寸為100 mm×100 mm×500 mm，碳化箱自動調(diào)節(jié)二氧化碳濃度為(20±3)%，相對濕度為(70±5)%，溫度為(20±2)℃。每次測量結(jié)果的平方作為檢測值，檢測結(jié)果見表1。

圖1 試驗照片

表1 碳化深度實測值Table 1 Experimental results of carbonation depth

將每次更新數(shù)據(jù)進行開方，即可得到碳化深度歷次更新數(shù)據(jù)，更新結(jié)果見圖2。從圖2可見，前兩次檢測數(shù)據(jù)與牛荻濤模型預(yù)測數(shù)據(jù)差別不大，更新效果不明顯，更新后曲線和先驗?zāi)Ｐ蛶缀踔睾希珡牡?次檢測開始，檢測數(shù)據(jù)與模型上一次更新數(shù)據(jù)差別較大，每次更新之后的數(shù)據(jù)開始趨向檢測值，表明體現(xiàn)結(jié)構(gòu)自身特征的信息逐漸被傳統(tǒng)模型所吸納。

圖2 先驗?zāi)Ｐ?碳化深度更新結(jié)果Fig.2 Update results of carbonation depth based on prior model

圖3 先驗?zāi)Ｐ?碳化深度更新結(jié)果Fig.3 Update results of carbonation depth based on prior model

由圖3可見，因前2次檢測數(shù)據(jù)均比模型預(yù)測結(jié)果大，更新后的曲線先向上偏移，而隨著第3次檢測數(shù)據(jù)的減小，更新后曲線開始向下回落。由于先驗?zāi)Ｐ?來源于試驗結(jié)果的回歸，因此，最終更新后的數(shù)據(jù)逼近于先驗?zāi)Ｐ汀?/p>

為便于進一步辨析兩個先驗?zāi)Ｐ蜌v次更新結(jié)果的細微差別，表2給出了部分主要數(shù)據(jù)，其中，檢測數(shù)據(jù)見表1。

表2 先驗?zāi)Ｐ?和2碳化深度更新值Table 2 Update results of carbonation depth for prior model 1 and 2

綜合圖2和圖3可見，先驗?zāi)Ｐ筒煌瑫Ω逻^程尤其初期產(chǎn)生一定的影響，但隨著檢測數(shù)據(jù)量逐漸增大，更新的結(jié)果卻相差無幾，對比結(jié)果見圖4。由此建議，對于某一實際工程而言，當無檢測數(shù)據(jù)或檢測數(shù)據(jù)較少時，可基于專家經(jīng)驗或相近地區(qū)類似橋梁結(jié)構(gòu)的檢測結(jié)果作為待評估工程的初始先驗?zāi)Ｐ?，而后隨著實測數(shù)據(jù)的增加，模型會動態(tài)地自動修正為能反饋實際結(jié)構(gòu)自身特點的客觀模型，并且可以證明只要實測數(shù)據(jù)足夠，貝葉斯動態(tài)線性模型總能逼近于結(jié)構(gòu)的真實狀態(tài)，初始先驗?zāi)Ｐ蛯ζ溆绊懖淮蟆？紤]到碳化過程本就是一個隨機過程，在多種因素影響下很難和理論結(jié)果完全一致，以動態(tài)的模型來處理碳化過程，能更有效的適應(yīng)檢測數(shù)據(jù)與理論模型間的偏差。此處更新模型有效性的證實為后面將其應(yīng)用于拱橋體系可靠度分析奠定了基礎(chǔ)。

圖4 兩種先驗?zāi)Ｐ妥罱K更新結(jié)果對比Fig.4 Final update results between two prior

2 體系耐久性可靠度模型和求解

2.1 體系耐久性可靠度模型的建立

實際工程中，體系往往由若干個構(gòu)件組成，因此在計算體系可靠度時，通常需先計算構(gòu)件的可靠度。若以碳化深度達到鋼筋表面作為正常使用極限狀態(tài)，則可取抗力R為保護層厚度C0，效應(yīng)S為碳化深度c(t)，考慮碳化深度的時間效應(yīng)，則

構(gòu)件功能函數(shù)為

Xi(t)=R-S=C0-c(t)

(15)

失效概率

Pfi(t)=P[c(t)>C0]

(16)

可靠度指標

(17)

對于橋梁結(jié)構(gòu)耐久性而言，首先，要保證整體結(jié)構(gòu)處于相對安全狀態(tài)，同時亦應(yīng)保證各個構(gòu)件均處于安全狀態(tài)，即各個構(gòu)件碳化深度均未達到鋼筋表面。反之，若結(jié)構(gòu)中任一構(gòu)件因碳化到鋼筋而失效，則結(jié)構(gòu)體系可認定已處于非安全狀態(tài),故整個耐久性結(jié)構(gòu)體系可視為一個串聯(lián)體系。同時，各構(gòu)件并非相互獨立，構(gòu)件間的相關(guān)性不應(yīng)忽略，由此，合理的體系耐久性可靠度計算模型可構(gòu)建如下。

PfS(t)=1-Φn(…，βi(t),…,βj(t),…,γij(t),…)

(18)

式中：βi(t)、βj(t)分別為構(gòu)件i和構(gòu)件j可靠度指標；γij(t)為其相關(guān)系數(shù)；Φn(·)為n維標準正態(tài)概率分布函數(shù)，當隨機變量為非標準正態(tài)分布時，可將其先轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布。

2.2 體系可靠度求解算法

當失效構(gòu)件為n個時，在求解體系可靠度時需要對n維概率密度函數(shù)進行整體積分，計算較為復(fù)雜，而微分等價遞歸算法能有效地解決這一問題[6]，其原理是，采用逐次遞歸的方式將n維概率函數(shù)計算問題最終變成僅需對一個一維失效概率來處理。鑒于該算法目前主要集中于對并聯(lián)體系承載能力可靠度的分析，故需給出作為串聯(lián)體系的橋梁結(jié)構(gòu)體系耐久性可靠度的求解過程。其求解思路是，先對失效事件取對立事件，將串聯(lián)化為并聯(lián)求解，最終再取對立，得到串聯(lián)體系可靠度。具體為，設(shè)Ei表示構(gòu)件i的失效事件，即i構(gòu)件碳化深度達到了鋼筋表面，則一個串聯(lián)體系的失效事件為

Es=E1∪E2∪…∪En

(19)

串聯(lián)體系不失效事件為

(20)

可以看出，串聯(lián)體系不失效事件為各構(gòu)件不失效事件的并聯(lián)，由此可利用對立事件使用微分等價遞歸算法。這里定義前n個極限狀態(tài)方程的等價方程為

(21)

式中：具體實施時E(n)由等價遞推方程獲得。

則體系不失效概率為

(22)

進而可求得體系的可靠度指標

βs=-Φ-1(1-Prs)

(23)

2.3 體系可靠度動態(tài)更新流程

在求解結(jié)構(gòu)體系可靠度時，若結(jié)合碳化深度貝葉斯動態(tài)線性模型，即計算構(gòu)件可靠度時，先利用檢測數(shù)據(jù)對各構(gòu)件碳化深度進行動態(tài)更新，再根據(jù)更新后的結(jié)果，采用微分等價遞歸算法計算結(jié)構(gòu)體系可靠度，則可獲得結(jié)構(gòu)體系耐久性可靠度動態(tài)分析模型，具體更新流程見圖5。

圖5 體系可靠度動態(tài)更新流程Fig.5 Dynamic update process of system

圖5中，Ci(t,κ)表示構(gòu)件i在k時刻更新后在t時刻的碳化深度預(yù)測值；y(i,κ)為構(gòu)件i在k時刻的檢測值；βi(t，κ)為構(gòu)件i在k時刻更新后在t時刻的可靠度指標；βs(t,κ)為k時刻更新后在t時刻的體系可靠度指標。從流程圖中可見，貝葉斯動態(tài)線性模型完成了對碳化深度的動態(tài)更新修正，即

Ci(t,κ)=F1[Ci(κ,κ-1),y(i,κ)]

(24)

構(gòu)件可靠度計算可表示為

βi(t,κ)=F2[Ci(t,κ)]

(25)

微分等價遞歸算法則完成了構(gòu)件層次可靠度到體系層次可靠度的計算，即

β(t,κ)=F3[β1(t,κ),…，βi(t,κ)，…]

(26)

其中,F1、F2和F3分別經(jīng)由式(3)～式(9)、式(15)～式(17)和式(21)～式(23)獲得。由此，最終實現(xiàn)利用檢測數(shù)據(jù)對橋梁體系耐久性可靠度的動態(tài)更新，計算程序采用MATLAB平臺編制。

3 拱橋耐久性體系可靠度貝葉斯動態(tài)分析

3.1 工程簡介和檢測數(shù)據(jù)的獲取

某上承式鋼筋混凝土箱型拱橋，計算跨徑81 m，計算矢高13.5 m。由于該橋梁檢測數(shù)據(jù)缺乏，難以收集到其歷年檢測數(shù)據(jù)，因此，采取在試驗室開展混凝土碳化試驗，以試驗數(shù)據(jù)來代替橋梁實測數(shù)據(jù)，二者間的對應(yīng)關(guān)系按照二氧化碳濃度比采用等量代換的原則進行。雖然，室內(nèi)碳化與野外工程實際環(huán)境碳化存在一定的差異，但本文著眼于檢測數(shù)據(jù)能否對先驗?zāi)Ｐ瓦M行融入并加以修正，重點在于考證更新后預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果向?qū)嶋H數(shù)據(jù)趨近的能力，故檢測數(shù)據(jù)此時主要起到導(dǎo)向靶的功能，其室內(nèi)外數(shù)值的差異并不影響對模型修正能力及對處于同一種碳化環(huán)境下結(jié)構(gòu)體系和構(gòu)件耐久性可靠度變化規(guī)律的探究。

對于鋼筋混凝土拱橋而言，主要構(gòu)件為橋道系、拱上立柱和主拱圈，考慮實際橋梁均是帶載荷工作，各構(gòu)件受力不盡相同，而這可能會對碳化速率帶來一定的影響，故試驗中也以承載混凝土為研究對象來模擬受載下不同構(gòu)件的碳化。拉壓加載方式如圖6所示，施加荷載大小依據(jù)有限元模型計算結(jié)果。

圖6 加載裝置

碳化試驗中，在分別到達3、7、14、28 d時將試件取出切割，并測量其碳化深度，結(jié)果如圖7和表3所示。

圖7 拱橋各構(gòu)件碳化深度對比Fig.7 Carbonation depth comparison of each component of the arch

表3 各構(gòu)件碳化試驗結(jié)果Table 3 Carbonation experimental results of each component

從圖7和表3可見，對于簡支橋道板而言，其下緣受拉應(yīng)力，甚至存在微裂縫，導(dǎo)致二氧化碳更加容易進入混凝土內(nèi)部參加反應(yīng)，其碳化速率應(yīng)大于無應(yīng)力時碳化速率；而主拱圈和拱上立柱則為偏心受壓構(gòu)件，在適當?shù)膲簯?yīng)力作用下，混凝土更加密實，一定程度上阻礙了二氧化碳的進入，減緩了碳化速率。

3.2 動態(tài)更新結(jié)果分析

圖8給出了構(gòu)件和體系碳化耐久性可靠度指標歷次更新結(jié)果。

圖8 耐久性可靠度更新結(jié)果Fig.8 Update results of durability

隨著檢測數(shù)據(jù)對先驗?zāi)Ｐ偷牟粩嗳谌?，各?gòu)件和體系可靠度指標均產(chǎn)生了不同幅度的修正。從構(gòu)件層面，對比圖8(a)、(b)、(c)可發(fā)現(xiàn)，拱圈和立柱可靠度指標曲線更新后變緩，可靠度指標變大，而橋面板更新后曲線則變陡，可靠度指標變小，主要與各構(gòu)件自身的受力特性對碳化速率的影響有關(guān)。相對于存在彎拉區(qū)碳化速率快的橋面板而言，以受壓為主碳化速率較慢的拱圈和立柱，其在相同時間內(nèi)混凝土碳化深度較小(見表3)，由式(17)可知其對應(yīng)的可靠度指標自然相對較大。

相比于構(gòu)件，體系可靠度修正幅度相對較小。究其原因在于，體系可靠度需計入構(gòu)件間的相關(guān)性，致使雖然更新后拱圈和立柱可靠度變大，橋面板可靠度指標變小，但相互融合后結(jié)果對整體可靠度的修正則較為平緩，這再一次說明構(gòu)件只是體系的一部分，其更新幅度并不能完全代表體系的變化程度。圖9進一步給出了更新后構(gòu)件與體系間可靠度指標的對比圖。

圖9 更新后構(gòu)件與體系耐久性可靠度對比Fig.9 Durability reliability comparison of components

從圖9可見，構(gòu)件可靠度總會大于體系可靠度。若以構(gòu)件可靠度評價體系可靠度，不僅會因構(gòu)件選取不同導(dǎo)致評價結(jié)果差異較大，且不論如何選擇，都會對工程運營帶來一定的風險。因此，在評價橋梁結(jié)構(gòu)耐久性時，建議應(yīng)以體系而非以構(gòu)件為標準進行可靠性評定，這也是后期維修加固指導(dǎo)的重要依據(jù)。

4 結(jié)論

為實現(xiàn)耐久性可靠度動態(tài)評估從構(gòu)件層次到體系層次的提升，利用貝葉斯動態(tài)線性模型對混凝土碳化預(yù)測先驗?zāi)Ｐ瓦M行了動態(tài)更新，考慮構(gòu)件間的相關(guān)性建立了體系耐久性評估模型，據(jù)此對拱橋體系耐久性可靠度進行了分析，主要結(jié)論及建議如下：

1)構(gòu)建的混凝土碳化貝葉斯動態(tài)線性模型，能不斷吸收檢測信息并自動修正為能反饋實際結(jié)構(gòu)自身特點的客觀模型，且隨著實測數(shù)據(jù)的增加，更新后模型的預(yù)測結(jié)果對先驗?zāi)Ｐ偷囊蕾嚩冉档汀?/p>

2)將微分等價遞歸算法嵌入貝葉斯理論框架，建立了具有明顯時變特征的體系耐久性可靠度動態(tài)評估方法，計算流程明晰，易操作。

3)具有碳化耐久性串聯(lián)特點的拱橋體系可靠度始終低于拱圈、立柱和橋面板的可靠度，表明僅依據(jù)單一構(gòu)件可靠度來評價體系耐久性可靠度工程中存在風險，此點在結(jié)構(gòu)健康評定和維修加固時應(yīng)予以注意。