楊一都，閉 海，張 宇

(貴州師范大學 數學科學學院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

考慮下列反散射中的Stekloff特征值問題:

(1)

問題(1)是一個特征值參數出現(xiàn)在邊界上的非自共軛特征值問題，且不滿足一致橢圓條件，不能被二階橢圓特征值問題的標準理論所覆蓋。在2016年，Cakoni等[1]研究了該問題的數學性質，證明了它的特征值是Neumann-to-Dirichlet算子(緊算子)的特征值，并提出了它的變分公式和協(xié)調有限元逼近。在文獻[1]工作的基礎上，劉杰等[2]證明了有限元特征值的誤差估計，閉海等[3]研究了二網格離散和局部有限元方案，張宇等[4]研究了多網格校正方案與自適應有限元法，楊一都等[5]研究非協(xié)調有限元逼近。

本文進一步研究問題(1)的數學性質。我們將證明相應(1)的共軛Stekloff特征值問題的i階廣義共軛特征向量是Stekloff特征值問題(1)的i階廣義特征向量的共軛?；谶@一性質，我們改進現(xiàn)有文獻中Stekloff特征值問題二網格離散方案[3]和多網格離散方案[4]。

1 Stekloff特征值問題及其共軛

并定義連續(xù)半雙線性型

a(u,v):=(▽u,▽v)-k2(nu,v), ?u,v∈H1(Ω)。

為敘述簡單起見，記λ=-μ。

(1)的變分公式是[1]：求(λ,u)∈C×H1(Ω),u≠0，使得

a(u,v)=λ〈u,v〉, ?v∈H1(Ω)。

(2)

設{πh}是Ω的形狀正規(guī)網格族[7]，h是πh的網格直徑，Vh?H1(Ω)是定義在πh上的分片m(m≥1)次多項式空間。

問題(1)的有限元近似是：求(λh,uh)∈C×Vh，uh≠0，使得

a(uh,vh)=λh〈uh,vh〉, ?vh∈Vh。

(3)

與原特征值問題(2)或(1)相應的共軛特征值問題是：求(λ*,u*)∈C×H1(Ω)，u*≠0，使得

(4)

(5)

對特征值問題(2)相應的邊值問題定義解算子A:H1(Ω) →H1(Ω)滿足

a(Af,v)=〈f,v〉, ?v∈H1(Ω)。

(6)

由(2)和(6)得

a(u,v)=a(λAu,v),?v∈H1(Ω)

則問題(2)有等價算子形式：

Au=λ-1u。

(7)

對問題(3)相應的方程定義解算子Ah:H1(Ω)→Vh滿足

a(Ahf,v)=〈f,v〉, ?v∈Vh。

(8)

由(3)和(8)得

a(uh,v)=a(λhAhuh,v),?v∈Vh，

則問題(3)有等價的算子形式：

(9)

稱使得N((λ-1-A)α)=N((λ-1-A)α+1)的最小正整數α為λ-1-A的陡度，這里N表示零空間。稱q=dimN((λ-1-A)α)為λ的代數重數。

在文獻[7]中683頁及693頁討論了廣義特征向量的階：稱使得下式成立的最小整數i為算子A的相應于λ的廣義特征向量u的階：

(A-λ-1)iu=0。

(10)

顯然，1階廣義特征向量就是特征向量。ui是i(i>1)階廣義特征向量的充分必要條件是存在i-1階廣義特征向量ui-1滿足

a(ui,v)=λ〈ui,v〉+λa(ui-1,v), ?v∈H1(Ω)。

(11)

為方便閱讀，下面給出證明：如果存在i-1階廣義特征向量ui-1使得(11)成立，則根據A的定義，有

a(ui,v)=λa(Aui,v)+λa(ui-1,v), ?v∈H1(Ω),

于是

(λ-1-A)ui=ui-1,

因此，就有

(λ-1-A)iui=(λ-1-A)i-1ui-1=0，

即(10)成立。

反之，若ui是i階廣義特征向量，則(λ-1-A)ui是i-1階廣義特征向量，表示為

(λ-1-A)ui=ui-1。

據此我們推出

a((λ-1-A)ui,v)=a(ui-1,v), ?v∈H1(Ω),

進而

a(ui,v)=λa(Aui,v)+λa(ui-1,v), ?v∈H1(Ω),

a(ui,v)=λ〈ui,v〉+λa(ui-1,v), ?v∈H1(Ω)

即(11)成立。

稱使得下式成立的最小正整數i為算子Ah的相應于λh的廣義特征向量uh的階：

(12)

(13)

A*的相應于λ*的i階廣義特征向量u*i滿足

(14)

(15)

證明因為(λ,u)是(2)的第j個特征對，所以

a(u,v)=λ〈u,v〉, ?v∈H1(Ω)。

(16)

根據a(·,·)和內積的定義可得

將上述兩個式子代入(16)，得到

由于(λh,uh)是(3)的第j個特征對，所以

a(uh,v)=λh〈uh,v〉, ?v∈Vh。

(17)

根據a(·,·)和內積的定義可得

將上述兩個式子代入(17)，得

□

因為ui∈M(λ)是i階廣義特征向量，所以

a(ui,v)=λ〈ui,v〉+λa(ui-1,v), ?v∈H1(Ω)。

(18)

根據a(·,·)和內積的定義可得

a(ui,v)=(▽ui,▽v)-k2(nui,v)

將上述3個式子代入(18)，得

(19)

定理2表明

對一般的非自共軛特征值問題，在構造多網格離散、自適應方法等高效計算格式時，通常需要計算原特征值問題及其共軛問題。對問題(1)，基于定理1和2，我們只需解原特征值問題，從而減少了計算量，進一步提高了計算方法的效率。

2 應用

特征值問題的二網格和多網格離散方法是一個備受關注的重要課題(見文獻[9-14]等)。對于Stekloff特征值問題(1)，閉海等提出了二網格離散[3]，張宇等提出了多網格校正方案[4]?；诙ɡ?和定理2，我們可以對文獻[3,4]中建立的的計算方法進行改進。

2.1 Stekloff特征值問題的二網格離散

許進超[9]對特征值問題建立了基于反迭代的二網格方案。閉海等[3]成功地將其應用到Stekloff特征值問題(1)?；诙ɡ?和定理2，本小節(jié)對文獻[3]中二網格方案進行改進，提出求解Stekloff特征值問題(1)的兩種新的二網格離散。

二網格方案Ⅰ

步1 在粗網格πH上解(3)：求(λH,uH)∈C×VH,uH≠0使得

a(uH,v)=λH〈uH,v〉, ?v∈VH。

步2 在細網格πh(h

a(uh,v)=λH〈uH,v〉, ?v∈Vh;

步3計算廣義Rayleigh商

二網格方案II

步1 與方案I的步1相同。

步2 在細網格πh(h

(▽uh,▽v)+(uh,v)=λH〈uH,v〉+((k2n+1)uH,v), ?v∈Vh;

步3 計算廣義Rayleigh商

文獻[3]中方案1和2需要解原特征值問題和共軛特征值問題，而本文中二網格方案I和II只需要求解原特征值問題，且明顯地，當λ是單特征時，文獻[3] 中定理4.1和4.2仍然成立。

2.2 Stekloff特征值問題的多網格校正方案

基于多水平校正，林群和謝和虎[11]建立了一種新型多網格方案，并且它被張宇等[4]成功應用到Stekloff特征值問題(1)。基于定理1和定理2，本節(jié)對文獻[4]中多網格校正方案進行改進。

首先，給定初始網格πh1=πH。通過正規(guī)方法對πh1加密得到三角形網格序列{πhl}，并且

這里ξ是一個整數。

基于該網格序列，定義如下線性協(xié)調有限元空間(m=1)：

VH=Vh1?Vh2?…?Vhn?H1(Ω)。

定義

一步校正

步2 定義新的有限元空間：

將上述兩步表示為

現(xiàn)在，我們使用上述校正步建立(1)的多網格校正方案。

多網格校正方案

步1 對j=k,…,k+q-1，在粗網格πH上解(3)：

求(λj,H,uj,H)∈C×VH使得‖uj,H‖0,?Ω=1且

a(uj,H,v)=λj,H〈uj,H,v〉, ?v∈VH,

步2 對l=1,2,…,n-1，

結束。

文獻[4]中方案4.1需解原特征值問題及共軛特征值問題，而本文中多網格校正方案僅需要解原特征值問題，且易知文獻[4]中定理4.1仍然成立。