曹伯芳，姜金平，曹蘭蘭

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

0 引言

設Ω是R3中帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，我們考慮以下帶阻尼項的三維Navier-Stokes方程：

(1)

阻尼在自然界中普遍存在，它來自于流體的運動阻力，描述各種物理現(xiàn)象，比如多孔介質(zhì)流，阻力或摩擦效應以及一些耗散現(xiàn)象[1-2]。從物理學角度來看，耗散對于非線性引起的構形中能量的聚積起著重要的擴散作用，影響著相應的非線性方程解的長時間動力學行為。因此，許多數(shù)學家和物理學家都開始關注具有耗散項的非線性方程, 關于這方面的研究已有很多(如文獻[3-5])。

當α=0，問題(1)就為經(jīng)典的3D Navier-Stokes方程，近幾十年來關于3D Navier-Stokes方程已有大量的研究(見[6-12])。

關于方程(1)解的適定性問題，Cai[13]首次利用Galerkin逼近的方法討論了3D Navier-Stokes方程的柯西問題，在β≥1時和β≥7/2分別存在弱解和強解，進一步驗證7/2≤β≤5強解是唯一的。

隨后在文獻[14]中，Zhang等證明了問題(1)在β>3時強解是全局存在的，在3<β≤5時強解是唯一的。

本文我們考慮利用文獻[19]和[20]中的方法證明問題(1)的拉回吸引子的上半連續(xù)性。主要困難在于利用弱連續(xù)和分解的方法證明全局吸引子的存在性以及關于拉回吸引子在擾動意義下的上半連續(xù)性。

1 預備知識

Hilbert空間，

其中α∈R,定義在Hα中的內(nèi)積和范數(shù)為

分別定義雙線性和三線性算子如下

B(u,v):=P((u·▽)v),

為了得到后面的定理，我們給出一些重要的不等式，三線性算子滿足以下不等式(參見文獻[21])。

b(u,v,v)=0,b(u,v,w)=-b(u,w,v),?u,v,w∈V,

(2)

Ladyzhenskaya不等式：對于任意的u∈V,有

定義1[22]如果對任意開集V?X，滿足G(λ0)?V，存在λ0的鄰域U(λ0)，使得G(λ)?V,?λ∈U(λ0)，則稱G在λ0∈A處是上半連續(xù)的。

設S(t):X→X,t∈R+是一個C0半群，研究對任意的小參數(shù)ε∈(0,ε0]的非自治擾動系統(tǒng)拉回吸引子的連續(xù)性，即對?t∈R,τ∈R以及x∈X，有

對X中的任意有界集是一致成立的。

定理1[19-20]當(H1)成立，對?ε∈(0,ε0],存在拉回吸引子?={A?(t)}t∈R,且存在緊集K?X,有

下面我們證明(H2)。

引理1 假設集族={D(t)}t∈R關于過程U(·，·)是拉回吸收的，且對任意一個ε∈(0,ε0],ε={Kε(t)}t∈R是空間中的一個緊集族。假設Uε(·,·)=U1,ε(·,·)+U2,ε(·,·):R×R×X→X，使得

(i)對任意的t∈R和ε∈(0,ε0]，

‖U1,ε(t,t-τ)xt-τ‖≤Φ(t,τ),?xt-τ∈B(t-τ),τ>0,

并且存在一個緊集K?X滿足

成立。

則對?ε∈(0,ε0]，ε={Aε(t)}t∈R是系統(tǒng)上的拉回吸引子并且(H2)成立。

證明參見文獻[23]。

如果u∈L∞(τ,T,;H)∩L2(τ,T;V)∩Lβ+1(τ,T;Lβ+1(Ω))滿足

那么我們說u是方程(1)在[τ,T]上的一個弱解。

上述方程等價于以下方程

u∈L∞(τ,T;V)∩L2(τ,T;H2(Ω))∩L∞(τ,T;Lβ+1(Ω))

而且，解連續(xù)依賴于初值。當f(x,t)=0，即自治動力系統(tǒng)，上述結果也成立。

2 全局吸引子的存在性

本部分我們考慮在自治情形下方程(1)的抽象形式如下：

(3)

由于嵌入i:V→V′是稠密的，因此，對于任意的f∈V′， 我們可以找到一個依賴于f和ε的函數(shù)fε∈V使得

‖f-fε‖V′≤ε,

(4)

現(xiàn)在我們考慮分解u(t)=v(t)+w(t)，其中v(t)和w(t)分別滿足以下方程

(5)

和

精細化的國別研究旨在把服務“一帶一路”倡議的大目標轉化為可實際落實的小目標。國別研究可以研究一個國家，也可以研究由幾個語言文化相似國家組成的文化區(qū)域，以語言為切入點，進而研究該國或該地區(qū)的宗教信仰、文化習俗、禁忌習慣等多人文環(huán)境知識。同時，國別研究不應僅局限于了解有關國家的文化通識知識，還可以結合學生所學專業(yè)研究該專業(yè)在目標國家的發(fā)展現(xiàn)狀、營商環(huán)境和法律制度等更具專業(yè)導向的國別知識。

(6)

由定理2，方程(3)的解是存在且唯一的，進一步，解連續(xù)依賴于初值。為了方便，我們記方程(5)和(6)的解分別為{Sv(t)}t≥0和{Sw(t)}t≥0， 因此，對于任意的u0∈V，有

u(t)=S(t)u0=v(t)+w(t)=Sv(t)u0+Sw(t)u0

引理2 設外力f∈V′，初值uτ∈V,則半群在V中存在有界吸收集B0，其中

B0={u∈V:‖u‖V≤ρ}

是V中的一個有界集合。

證明方程(3)兩邊與u做內(nèi)積，在Ω上積分得

由Poincare不等式‖▽u‖2≥λ‖u‖2，

所以

利用Gronwall不等式，得

定理3 對任意的外力f∈V′，帶有初邊值問題的(3)和(4)生成的半群{S(t)},t≥0在V上是漸近緊的。

證明利用半群的分解定理，主要通過以下引理。

引理3 ?δ>0,存在常數(shù)ε=ε(δ,f)，使得方程(5)滿足

其中Q(·)是(0,+∞]上的非負增函數(shù)。

證明方程(5)中的第一式兩邊分別乘以v(t)， 在區(qū)域Ω上積分可得

根據(jù)Poincare不等式‖▽u‖2≥λ‖u‖2，

應用Gronwall不等式得

因此，我們選取合適的ε2≤λ2μ2δ，引理3得證。

證明對(6)中的第一式兩邊關于Aσw(t)做內(nèi)積，積分得

(7)

(8)

(9)

根據(jù)文獻[15]中的性質(zhì)7，我們可以得到

其中w=u-v，因此

對(7)式結合(8)-(10)，可以得出

其中C4=C4(μ,‖fε‖2,‖u0‖2)，故

因此，引理4得證。

根據(jù)文獻[26]中的引理3.2.6和定理3.4.6，引理3.2和引理3.3以及緊嵌入，我們有

引理5 對任意的外力f∈V′，帶有初邊值問題的(3)和(4)生成的半群{s(t)},t≥0在V上是漸近緊的。

因此，由文獻[27-30]，引理2和引理5，可以得到以下定理：

定理4 對任意的f∈V′和初值u0∈V，問題(3)整體解所生成的半群{S(t)},t≥τ∈R存在一個不變的緊的吸收V中所有有界集合的全局吸引子。

3 非自治動力系統(tǒng)中帶阻尼項的3D Navier-Stokes方程拉回吸引子的上半連續(xù)性

本部分我們將通過定理1和引理1證明方程(1)拉回吸引子的上半連續(xù)性。

考慮非自治動力系統(tǒng)的初邊值問題

(11)

(12)

定理5 若(12)式成立，初值uτ∈V,則當ε>0時 ，非自治系統(tǒng)(11)的拉回吸引子ε={Aε(t)}t∈R和該系統(tǒng)當ε=0時的全局吸引子，對于任意的t∈R滿足

引理6 (1)假設uτ∈V，當擾動項中ε=0時，系統(tǒng)(11)變?yōu)樽灾蝿恿ο到y(tǒng)，所生成的半群記為{S(t)},t∈R在空間V中存在全局吸引子。

系統(tǒng)(11)的初始條件uτ∈V，現(xiàn)將方程的解分解為uε(t)=Uε(t,τ)uτ，

uε(t)=Uε(t,τ)uτ=U1,ε(t,τ)uτ+U2,ε(t,τ)uτ,

其中

U1,ε(t,τ)uτ=v(t)

U2,ε(t,τ)uτ=w(t)

分別滿足

(13)

和

(14)

引理7 若(12)式成立，對于任意的有界集B∈V和t∈R,存在時刻T(B,t)>0,使得對于任意的τ≥T(B,t)和任意的ut-τ∈B,

證明方程(11)與uε做內(nèi)積，因為三線性〈B(uε,uε),uε〉=0，經(jīng)計算得

于是，

這里λ是算子A的第一特征值，則

因此

(15)

從(15)式可以推出

(16)

對式子(16)從t-τ到t積分，得

‖f(s)‖2ds

記半徑r2=e-τη‖uε(t-τ)‖2。

(17)

如果我們令

Bε={uε∈V|‖uε‖V≤2Rε(t)}

(18)

則能得到Bε={Bε(t)}t∈R在V中是拉回吸收的，進一步有

引理8 設Rε(t)和Bε(t)定義如上(17)和(18)，對于任意的t∈R，問題(13)的解v(t)=U1,ε(t,t-τ)u(t-τ)滿足

證明方程(13)式兩邊同乘以v(t)，分部積分得

對上式使用Poincare不等式得

設η1=2η>0，則

(19)

對(19)式從t-τ到t積分得

因此引理8得證。

證明將(14)式與w(t)在空間V中做內(nèi)積，得

=〈B(w,w)-B(w,u)-B(u,w),w〉+ε〈f(x,t),w〉

(20)

利用三線性算子的性質(zhì)〈B(w,w),w〉=0,〈B(u,w),w〉=0以及所滿足的不等式(2)式，再結合Young不等式，可得，

〈(B(w,w)-B(w,u)-B(u,w)),w〉

≤C‖w‖2‖v‖2+μ‖▽w‖2≤Ce-η1τRε(t-τ)‖w‖2+μ‖▽w‖2

(21)

以及

(22)

結合(20)-(22)式，可以得出

對任意的t>τ，從t-τ到t積分可得

引理10 對?t∈R和?τ>0，問題(11)的解在空間V中，當ε→0+時，uε(t)=Uε(t,t-τ)u0收斂到u(t)=S(τ)u0，即

其中B是空間V中的有界子集。

證明令

yε(t)=uε(t)-u(t),

于是yε(t)滿足

(23)

yε|?Ω=0,

yε|t = τ= (uε)τ-uτ

方程(23)式兩邊同乘以yε(t)并積分，可得

=-〈B(u,u)-B(uε,uε),yε〉+〈εf,yε〉

≤|〈B(uε,uε)-B(u,u),yε〉|+〈εf,yε〉

≤‖B(uε,uε)-B(u,u)‖V‖yε‖V+

根據(jù)Poincare不等式‖▽yε‖2≥λ‖yε‖2，得

(24)

利用引理(7)-引理(9)，以及解的存在性可以知道

uε,u∈C([τ,+∞);H)∩L2(τ,T;V)∩L∞(τ,T;D(A)∩H)

即引理10得證

定理5的證明可結合引理7-引理10，以及引理1得證。