練 萌 顧 兵

(1 東南大學(xué)移動(dòng)通信國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)(2 東南大學(xué)先進(jìn)光子學(xué)中心，南京 210096)

單軸晶體具有各向異性，在光學(xué)器件設(shè)計(jì)、非線性光學(xué)現(xiàn)象以及柱對(duì)稱矢量光場(chǎng)生成等方面有廣泛應(yīng)用[1-3].特別是光束在單軸晶體中的傳輸特性研究，已經(jīng)引起了越來(lái)越多的關(guān)注.光束在單軸晶體中的傳輸可以分為傍軸傳輸和非傍軸傳輸，對(duì)于這2種傳輸方式產(chǎn)生的傳輸規(guī)律人們已經(jīng)建立了比較完善的理論[4-5].

近年來(lái)，矢量光場(chǎng)由于其具有非均勻分布的偏振態(tài)而受到人們的重視.眾所周知，偏振作為光場(chǎng)固有的基本屬性，在光與物質(zhì)相互作用的過(guò)程中起到了不可或缺的作用.對(duì)光場(chǎng)的偏振態(tài)進(jìn)行調(diào)控，使得光場(chǎng)與物質(zhì)和微納結(jié)構(gòu)相互作用的過(guò)程中產(chǎn)生了很多新穎的現(xiàn)象和效應(yīng)[6-8].同時(shí)，光學(xué)渦旋是具有螺旋波前結(jié)構(gòu)和相位奇點(diǎn)的特殊光場(chǎng)，具有確定的光子軌道角動(dòng)量，在光學(xué)微操縱、光學(xué)信息傳輸、非線性光學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.目前，關(guān)于矢量光場(chǎng)在單軸晶體中的傳輸特性研究已經(jīng)有了很多報(bào)道[9-14]，但是尚未有研究討論雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中的傳輸特性.本文基于傍軸矢量模型，計(jì)算得出雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸?shù)慕馕霰磉_(dá)式.基于該表達(dá)式，研究了不同參數(shù)下單軸晶體對(duì)雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)的傳輸特性的影響.

1 光在單軸晶體中的矢量傳輸模型

如圖1所示，在笛卡爾坐標(biāo)系中，假設(shè)光束在單軸晶體中沿著z軸方向傳輸，與晶體的光軸垂直.已知，單軸晶體的介電張量ε的表達(dá)式為

(1)

式中，no和ne分別為尋常光o光和非尋常光e光的折射率[15].根據(jù)Ciattoni等[5,16]的研究，光束在單軸晶體中垂直于光軸傳輸時(shí)的電場(chǎng)表達(dá)式為

E(r,t)=Re[E(r)exp(-iωt)]

(2)

式中，E(r,t)為電場(chǎng)，其中r=xex+yey為橫截面上的位置矢量，ex和ey為笛卡爾坐標(biāo)系Oxy的基矢，t為傳輸時(shí)間；E(r)為電場(chǎng)復(fù)振幅；ω為光束頻率.

E(r)=Eo(r)+Ee(r)

(3)

式中，Eo(r)和Ee(r)分別為o光和e光的電場(chǎng)復(fù)振幅，其電場(chǎng)分別表示為

圖1 光場(chǎng)在單軸晶體中垂直于光軸傳輸?shù)氖疽鈭D

(4)

(5)

(6)

式(3)～(6)給出了在單軸晶體中光束垂直于光軸傳輸?shù)谋磉_(dá)式，可以看出單軸晶體中的傳輸場(chǎng)可以表示為o光和e光的線性疊加，兩者彼此獨(dú)立傳輸.根據(jù)這個(gè)傍軸矢量傳輸模型，可以求得任意光場(chǎng)在單軸晶體中的表達(dá)式，從而研究光場(chǎng)的傳輸特性.

2 雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中的傳輸理論

在笛卡爾坐標(biāo)系中，雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)入射至單軸晶體中，沿著垂直于光軸的方向傳輸.在入射平面z=0上，初始雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)可以表示為[17]

E(r,φ,0)=A(r)[exp(iφ)ex+exp(-iφ)ey]·

exp(-imφ)

(7)

(8)

(9)

將式(8)、(9)代入式(6)，計(jì)算得到雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)x、y分量的二維傅里葉變換表達(dá)式為

(10)

(kx-iky)2

(11)

在傍軸近似下，將式(8)～(11)代入式(4)、(5)，經(jīng)過(guò)計(jì)算化簡(jiǎn)之后，可以得到雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中垂直于光軸方向傳輸時(shí)其x、y分量的表達(dá)式為

(12)

(13)

由式(12)、(13)可以看出，單軸晶體中傳輸場(chǎng)的x分量?jī)H和e光有關(guān)，而y分量?jī)H和o光相關(guān)，且這2種平面波分別沿著x方向和y方向偏振.由此可見，光束入射至單軸晶體中會(huì)分解成o光和e光，傳輸場(chǎng)可以表示為o光和e光的線性疊加.其中，o光在晶體中的傳輸是各向同性的，而e光在晶體中的傳輸是各向異性的，同時(shí)光場(chǎng)在傳輸過(guò)程中發(fā)生衍射，致使整個(gè)傳輸場(chǎng)的光場(chǎng)分布失去原有的對(duì)稱性.與此同時(shí)，雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)的相位分布也發(fā)生了變化.式(8)、(9)說(shuō)明了初始雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)的x分量相位為零，y分量的相位分布和x、y坐標(biāo)有關(guān).進(jìn)入單軸晶體后，雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)的x分量有了相位，并且相位分布僅僅和傳輸距離z有關(guān)，和坐標(biāo)x、y無(wú)關(guān)；而y分量不僅和傳輸距離z有關(guān)，還和坐標(biāo)x、y有關(guān).

3 數(shù)值結(jié)果與分析

根據(jù)光場(chǎng)傳輸表達(dá)式(12)、(13)，對(duì)雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中垂直于光軸的傳輸進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，選取固定的參數(shù)λ=532 nm和no=2.

圖2給出了雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸不同距離時(shí)的光強(qiáng)分布，其中I為歸一化光強(qiáng)值，計(jì)算參數(shù)選取ne/no=1.5和ω0=20 μm.由圖可知，隨著傳輸距離的增加，光場(chǎng)逐漸失去原有的對(duì)稱性.由于受到單軸晶體各向異性的作用，渦旋光場(chǎng)的暗中心消失，光束由最初的圓環(huán)形狀慢慢變成包裹著一個(gè)橢圓對(duì)稱的實(shí)心核的橢圓對(duì)稱的環(huán).當(dāng)光束繼續(xù)傳輸，中心的光強(qiáng)越來(lái)越強(qiáng)，外圍橢圓環(huán)在y=0平面的光強(qiáng)減弱直至為零，最后變成一個(gè)不完整的橢圓環(huán).

圖2 雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸不同距離時(shí)的光強(qiáng)分布

圖3給出了不同初始光束半徑的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸相同距離時(shí)的光強(qiáng)分布，計(jì)算參數(shù)選取ne/no=1.5和z=5 mm.由圖可知，在同一觀察平面上，初始光束半徑不同，傳輸光場(chǎng)分布也不相同，這說(shuō)明單軸晶體對(duì)于不同尺寸的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)的影響各不相同.當(dāng)ω0=40 μm時(shí)，傳輸光場(chǎng)的形狀非常接近入射前的初始光場(chǎng)，而當(dāng)ω0越小，傳輸光場(chǎng)受到單軸晶體各向異性的影響越大，光場(chǎng)分布的變化越大.

圖3 不同初始半徑的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸相同距離時(shí)的光強(qiáng)分布

圖4給出了雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在不同的單軸晶體中傳輸相同距離時(shí)的光場(chǎng)分布，計(jì)算參數(shù)選取ω0=20 μm和z=5 mm.在同一觀察平面上，雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在ne/no不同的單軸晶體中垂直于光軸傳輸時(shí)，傳輸光場(chǎng)的光強(qiáng)分布發(fā)生了不同的變化.當(dāng)ne/no=1時(shí)，光場(chǎng)分布保持初始圓對(duì)稱；當(dāng)ne/no<1，即在負(fù)單軸晶體中傳輸時(shí)，光場(chǎng)沿y方向延伸，且在x=0平面上外環(huán)光強(qiáng)減弱；相反，當(dāng)ne/no>1，即在正單軸晶體中傳輸時(shí)，光場(chǎng)沿x方向延伸，且在y=0平面上外環(huán)光強(qiáng)減弱.這說(shuō)明單軸晶體的ne/no不同，各向異性強(qiáng)度不同，對(duì)雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)的傳輸特性的影響也不同.

圖4 雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在不同的單軸晶體中傳輸相同距離時(shí)的光強(qiáng)分布

圖5～圖7分別展示了傳輸距離、初始光束半徑和單軸晶體的ne/no等參數(shù)對(duì)于雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中的偏振態(tài)分布、自旋角動(dòng)量分布以及相位分布等的影響，圖中S為自旋角動(dòng)量，φx和φy分別表示雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸時(shí)x分量和y分量Ex和Ey的相位分布.為了清晰地表現(xiàn)出光場(chǎng)的偏振態(tài)分布，在采用單一色的光強(qiáng)分布圖上用線圈標(biāo)注各點(diǎn)的偏振態(tài)，紅色表示左旋偏振，白色表示右旋偏振.

(a) 光場(chǎng)偏振態(tài)分布

(b) 自旋角動(dòng)量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

圖5雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸不同距離時(shí)的各參量分布

從圖5可以看出，雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)各點(diǎn)的偏振態(tài)隨著傳輸距離的增加而發(fā)生改變，傳輸過(guò)程中光場(chǎng)的偏振態(tài)還是雜化偏振，而各個(gè)點(diǎn)的偏振態(tài)不斷地變化成線偏振、橢圓偏振和圓偏振.特別地，雖然光束的暗中心受到單軸晶體各向異性的影響而消失，但是在光場(chǎng)中心的偏振態(tài)依然是不確定的.從圖5(b)來(lái)看，隨著雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中的傳輸，自旋角動(dòng)量分布發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，形狀也產(chǎn)生了扭曲型的畸變.圖5(c)和(d)描繪了雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸時(shí)x分量和y分量相位分布的變化.在入射面，x分量是相位為零的標(biāo)量場(chǎng)，傳輸一段距離后，產(chǎn)生相位且呈環(huán)形分布；y分量的初始等相位線是從坐標(biāo)原點(diǎn)發(fā)出的射線，且在橫截面上的周期數(shù)為2，進(jìn)入單軸晶體后，相位分布呈現(xiàn)中心對(duì)稱的非均勻的渦旋狀，方向?yàn)槟鏁r(shí)針環(huán)繞.由此可知，單軸晶體對(duì)雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)的相位分布也有一定的調(diào)控作用.

圖6給出了不同初始半徑的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸相同距離時(shí)的光場(chǎng)偏振態(tài)分布、自旋角動(dòng)量分布以及Ex和Ey的相位分布.從圖6(a)可以看出，在同一觀察平面，不同初始光束半徑的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)各點(diǎn)的偏振態(tài)不同.同時(shí)，與偏振態(tài)相關(guān)的自旋角動(dòng)量分布也不同.ω0越小，光場(chǎng)所受到的單軸晶體的影響越大，自旋角動(dòng)量的畸變?cè)絿?yán)重.觀察相位分布圖，雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸時(shí)x分量和y分量相位分布的變化與初始光束半徑有密切的關(guān)系，光束半徑越小，相位分布變化越大.由此可知單軸晶體對(duì)小尺寸的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)的相位分布有著更強(qiáng)的調(diào)控作用.

(a) 光場(chǎng)偏振態(tài)分布

(b) 自旋角動(dòng)量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

圖6不同初始半徑的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸相同距離時(shí)的各參量分布

(a) 光場(chǎng)偏振態(tài)分布

(b) 自旋角動(dòng)量分布

(c) Ex的相位分布

(d) Ey的相位分布

圖7雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在不同的單軸晶體中傳輸相同距離時(shí)的各參量分布

圖7給出了雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在不同ne/no的單軸晶體中傳輸相同距離時(shí)的光場(chǎng)偏振態(tài)分布、自旋角動(dòng)量分布以及Ex和Ey的相位分布.同樣地，從圖7(a)看出，不同ne/no的單軸晶體作用于初始光束半徑相同的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)，各點(diǎn)的偏振態(tài)會(huì)發(fā)生不同的變化.自旋角動(dòng)量偏轉(zhuǎn)的角度以及產(chǎn)生的形變也不同.觀察相位分布圖，雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中傳輸時(shí)x分量的相位分布受到ne/no的影響，當(dāng)ne/no>1時(shí)，相位分布沿y方向延伸；當(dāng)ne/no<1時(shí)，相位分布沿x方向延伸.而y分量的相位不隨著單軸晶體ne/no的變化而變化.

4 結(jié)論

1) 基于傍軸矢量傳輸理論，推導(dǎo)出了雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中垂直于光軸傳輸?shù)慕馕霰磉_(dá)式.由表達(dá)式可知，單軸晶體中傳輸場(chǎng)的x分量?jī)H和e光有關(guān)，y分量?jī)H和o光相關(guān)，傳輸場(chǎng)可以表示為o光和e光的線性疊加.

2) 基于傳輸場(chǎng)的表達(dá)式，通過(guò)數(shù)值模擬研究發(fā)現(xiàn)，雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)在單軸晶體中的光場(chǎng)分布、偏振態(tài)分布、自旋角動(dòng)量分布以及渦旋相位分布和光場(chǎng)的初始光束尺寸、在單軸晶體中的傳輸距離以及單軸晶體e光和o光折射率比值有密切的關(guān)系.

3) 本文利用單軸晶體的各向異性對(duì)既含有復(fù)雜偏振特性又含有光學(xué)渦旋的雜化偏振矢量渦旋光場(chǎng)進(jìn)行了調(diào)控，為光學(xué)捕獲、微粒操控、量子信息等領(lǐng)域提供了新的技術(shù)手段.