王成強(qiáng)

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130)

引言

“解析幾何”是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要知識(shí)模塊，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、抽象思維能力、科學(xué)計(jì)算能力等都大有裨益[1-2]. 二次曲面理論是大學(xué)數(shù)學(xué)解析幾何知識(shí)模塊的重難點(diǎn)，每屆中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽都會(huì)涉及對(duì)二次曲面理論的考查[3]. 中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽每年舉辦一屆，試題分為數(shù)學(xué)專業(yè)類與非數(shù)學(xué)專業(yè)類，它們的命題角度新穎，趣味性濃郁，創(chuàng)新性強(qiáng)，具有極高的研究?jī)r(jià)值[3-4]. 2011年舉辦的第三屆中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷的第一題涉及求解一類特殊二次曲面，即球面方程的問題，其完整表述如下：

球面是一類高度對(duì)稱的二次曲面，其定義可簡(jiǎn)略表述為空間中到定點(diǎn)的距離等于定值的點(diǎn)的全體. 球面是高中階段所學(xué)的圓周理論的延伸與拓展，而眾所周知的是，后者具有豐富的性質(zhì)，是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，因空間幾何的復(fù)雜性，空間球面的性質(zhì)更加豐富，其學(xué)習(xí)或者相關(guān)問題的解答需要更豐富的空間想象能力. 本文旨在以問題(*)為基礎(chǔ)，探究空間中過異面四點(diǎn)確定球面方程的策略.

1 三維空間中過異面四點(diǎn)確定球面方程的策略

方法1利用“列標(biāo)準(zhǔn)方程 + 求幾何參數(shù)”的方法確定球面的方程

設(shè)球面S的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2. 將點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)代入此方程，得

可發(fā)現(xiàn)該方程組等價(jià)于

由Cramer法則，得

進(jìn)一步，還有：

r2=(1-x0)2+(2-y0)2+(7-z0)2=(1-1)2+(2+1)2+(7-3)2=25

綜上，球面S的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

(x-1)2+(y+1)2+(z-32)=25

方法2利用球面的幾何實(shí)質(zhì)確定其方程

設(shè)球面的球心的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，按球面的定義，點(diǎn)A、B、C、D到球心的距離相等，即

與方法1類似，經(jīng)整理與化簡(jiǎn)可得方程組

仿照方法1，利用Cramer法則，經(jīng)計(jì)算可得(x0,y0,z0)=(1，-1，3). 于是，球面S的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x-1)2+(y+1)2+(z-3)2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=(1-1)2+(2+1)2+(7-3)2=25

方法3利用球心的特殊幾何位置屬性確定球面的方程

球面S的球心同時(shí)位于下列兩條空間直線上：

與

換言之，球面S的球心坐標(biāo)(x0,y0,z0)滿足方程組

仿照方法1，利用Cramer法則，經(jīng)計(jì)算可得(x0,y0,z0)=(1,-1,3). 仿照方法2可完成余下的步驟.

方法4利用球面簇確定球面的方程

以AB為直徑的球面方程為

(x-1)(x-4)+(y-2)(y-3)+(z-7)(z-3)=0

或者

x2+y2+z2-5x-5y-10z+31=0

x2+y2+z2-5x-5y-10z+31+λ1(x-3y+5)+λ2(4y+z-15)=0

將點(diǎn)C、D的坐標(biāo)代入上述方程，得

由Cramer法則，得

于是，球面S的方程為

x2+y2+z2-5x-5y-10z+31+3(x-3y+5)+4(4y+z-15)=x2+y2+z2-2x+2y-6z-14=(x-1)2+(y+1)2+(z-3)2-25=0

即球面S的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)2+(y+1)2+(z-3)2=25

方法5利用“列一般方程+求系數(shù)”的方法確定球面的方程

設(shè)所求球面的一般方程為x2+y2+z2+ux+vy+wz+f=0. 代入A、B、C、D的坐標(biāo)，得到方程組

由Cramer法則，得

于是，球面S的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)2+(y+1)2+(z-3)2=25

注1一般地，仿照方法5，可得到三維空間中過異面的四點(diǎn)P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)、P3(x3,y3,z3)、P4(x4,y4,z4)的球面的方程

經(jīng)整理，得

方法6利用公式確定球面的方程

經(jīng)化簡(jiǎn)整理，有

即球面S的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)2+(y+1)2+(z-3)2=25

2 過空間異面四點(diǎn)確定球面方程與過平面不共線三點(diǎn)確定圓周方程

過空間異面四點(diǎn)確定球面方程與過平面不共線三點(diǎn)確定圓周方程的過程相似.事實(shí)上，前文提出的過空間異面四點(diǎn)確定球面方程的六種方法中的思路都適用于過平面不共線三點(diǎn)確定圓周方程. 方法1與方法5可籠統(tǒng)歸為方程思想，這類方法在確定平面圓周方程方面有重要應(yīng)用.例如，為確定過平面不共線三點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)的圓周的方程，應(yīng)先列出該圓周的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-x0)2+(y-y0)2=r2(x0、y0、r待定)或者一般方程x2+y2+2Dx+2Ey+F=0(D、E、F待定)，然后代入點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)并求出待定參數(shù)的值，最后回代參數(shù)的值就可得到圓周的方程.方法6的思路(詳見注1)也可用于確定平面圓周的方程.事實(shí)上，有下述結(jié)論成立：過不共線三點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)的圓周方程為

與平面圓周相比，空間球面的幾何結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，幾何性質(zhì)更豐富.例如，在方法3中，為確定過空間異面四點(diǎn)A、B、C、D的球面方程，先利用球心在空間直線段AB、AC、AD、BC、BD、CD的中垂面上這一性質(zhì)以確定球心的坐標(biāo)，再計(jì)算出點(diǎn)A(B、C或D)到球心的距離，此即為球面半徑，綜合這兩方面信息就可寫出球面的方程. 方法3的思路也可用于確定過平面不共線三點(diǎn)A、B、C的圓周的方程：先利用圓心在平面直線段AB、AC、BC的中垂線上這一性質(zhì)確定圓心的坐標(biāo)，再計(jì)算出點(diǎn)A(B或C)到圓心的距離，此即為圓周半徑，綜合這兩方面信息就可寫出圓周的方程. 又如，在方法4中，為確定過空間異面四點(diǎn)A、B、C、D的球面方程，先確定出以A、B為對(duì)徑點(diǎn)的球面方程F(x,y,z)=0，再確定出平面ABC的方程π1(x,y,z)=0與ABD的方程π2(x,y,z)=0，之后假設(shè)球面S的方程為F(x,y,z)+λ1π1(x,y,z)+λ2π2(x,y,z)=0，最后代入C、D找出等量關(guān)系，列方程解方程確定出待定參數(shù)λ1與λ2，回代參數(shù)λ1與λ2的值便得出球面S的方程.方法4的思路在確定平面圓周方程中也有重要應(yīng)用.為確定過平面不共線三點(diǎn)A、B、C的圓周方程，可先確定以A、B為對(duì)徑點(diǎn)的圓周的方程G(x,y)=0及直線AB的方程L(x,y)=0，然后設(shè)出圓周的方程G(x,y)+λL(x,y)=0，并通過代入點(diǎn)C的坐標(biāo)求出λ的值，最后回代λ的值便得到圓周的方程.

經(jīng)前述分析可發(fā)現(xiàn)，過空間異面四點(diǎn)確定球面方程與過平面不共線三點(diǎn)確定圓方程周方程，兩者的思路與過程都緊密相關(guān)，每種用以確定平面圓周方程的思路都可用以探究確定空間球面方程.但是，與過平面不共線三點(diǎn)確定圓方程周相比，過空間異面四點(diǎn)確定球面方程則需要更豐富的空間想象能力與較強(qiáng)的科學(xué)計(jì)算能力.

3 結(jié)語