龍正祥 王金理

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的闡述：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)教育指明了方向和目標，基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)，教師需要增強為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)而教的意識，分析教學(xué)內(nèi)容所承載的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵，尋求數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的實施策略，進而進行相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計.本文以“函數(shù)與方程”教學(xué)為例，創(chuàng)設(shè)真實的數(shù)學(xué)情境，使學(xué)生經(jīng)歷“問題→作圖→觀察→猜想→討論→歸納”環(huán)節(jié)的探究過程，促進數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);函數(shù)的零點;方程的根

一、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）指出：數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系;從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征.

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達準確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng).

數(shù)學(xué)抽象主要表現(xiàn)為獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;提出數(shù)學(xué)命題和模型;形成數(shù)學(xué)方法與思想;認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗;養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁;運用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題.《標準》中將每一個核心素養(yǎng)分為情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個方面，并將每一個素養(yǎng)分為水平一、二、三.

二、 教學(xué)內(nèi)容分析

1.基于內(nèi)容的安排和作用

“函數(shù)與方程”選自北師大版高中數(shù)學(xué)必修一第四章第1節(jié)，它揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系.這種聯(lián)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中“函數(shù)與方程”思想的理論基礎(chǔ).解方程實際上就是求函數(shù)的零點，這樣解指數(shù)方程、對數(shù)方程等超越方程就可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點，因此函數(shù)零點的概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)核心地位.

2.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

“函數(shù)與方程”一課涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及特殊到一般的思想方法等，深入挖掘這些思想方法有助于發(fā)展和提升學(xué)生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，讓學(xué)生體會從函數(shù)觀點認識研究方程的思想，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.本節(jié)課又是一節(jié)概念課，概念課的教學(xué)過程要注重概念的引出、及時歸納整理、多角度說明、概念本質(zhì)的分析以及概念理解的升華應(yīng)用，這一過程是數(shù)學(xué)抽象的過程，能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

3.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)中，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的基本對象.函數(shù)零點的概念指向了方程的根（數(shù)的一面）和圖像與x軸交點的橫坐標（形的一面），教師要培養(yǎng)學(xué)生從不同角度思考這兩者之間聯(lián)系的能力.零點存在性定理的發(fā)現(xiàn)、理解和鑒別，要求學(xué)生具備語言概括能力;直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)要求學(xué)生具備從不同角度思考問題的能力;數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求學(xué)生具備概括能力，這些都是學(xué)生在日常生活中必備的思維能力.

三、 學(xué)情分析

1.有利因素

由于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，又學(xué)習(xí)了函數(shù)的性質(zhì)，所以從一元二次方程及函數(shù)的關(guān)系開始引入，然后過渡到一般方程及相應(yīng)函數(shù)的研究，得出函數(shù)零點的概念，學(xué)生易于接受，符合學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)原則.鑒于函數(shù)圖像作圖的局限性，應(yīng)進一步引出探究零點存在性定理的必要性，激發(fā)學(xué)生的探究熱情.

2.不利因素

（1）零點概念的認識.對于函數(shù)零點，學(xué)生很容易先入為主，認為零點是點.

（2）零點存在性定理的判斷.由于對定理的討論基礎(chǔ)是函數(shù)圖像，而學(xué)生能畫出的函數(shù)圖像是有限的，極易導(dǎo)致圖像分析的非典型性，進而影響學(xué)生對定理中每一個關(guān)鍵詞的理解.

（3）零點（零點個數(shù)）的確定.零點是在分析圖像的基礎(chǔ)上得到的概念，而并非所有函數(shù)的圖像都能具體描繪出來，所以學(xué)生在零點及零點個數(shù)的確定上會遇到困難.

四、 教學(xué)策略分析

本節(jié)課是一節(jié)概念課，概念教學(xué)強調(diào)追本溯源、前后聯(lián)系、邏輯連貫的概念形成過程.當學(xué)生遇到新概念時，不能用已有知識解決，就產(chǎn)生了矛盾.教師應(yīng)依據(jù)新概念與學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)之間的差異，制造一種恰當?shù)拿芮榫?，促使學(xué)生展開思考、分析，最終消除矛盾，掌握概念.根據(jù)這一原則，本文以對主線問題的三次探究為線索，貫穿整節(jié)課，引導(dǎo)學(xué)生概念的生成，教學(xué)策略的特點如下.

1.生活性.在本節(jié)課中，筆者以氣象臺的圖片作為課堂引入，開放性地回答場所問題，引出學(xué)生不同角度的思考，讓學(xué)生更全面地看待問題，用數(shù)學(xué)中的主線問題揭示矛盾，發(fā)現(xiàn)不同角度思考問題的重要性，引起學(xué)生的共鳴.

2.樸實性.對于零點存在性定理的發(fā)現(xiàn)，筆者設(shè)計溫度曲線的實驗，讓學(xué)生觀察溫度曲線代表的函數(shù)圖像，尋找?guī)缀螁栴}的代數(shù)表征，相比利用已有的簡單函數(shù)圖像觀察規(guī)律，實驗法讓學(xué)生更有“親近感”，一改數(shù)學(xué)在學(xué)生心目中復(fù)雜、高不可攀的形象，還原數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)知識的直觀性.

3.矛盾性.在主線問題初探、再探和終探的過程中，經(jīng)常出現(xiàn)矛盾，學(xué)生尋求解決方案、發(fā)現(xiàn)概念，從而解決矛盾，層層深入對概念的理解.矛盾性能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.

五、 教學(xué)目標設(shè)置

1.通過具體的二次函數(shù)圖像以及一元二次方程根的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)（結(jié)合二次函數(shù)）零點的發(fā)現(xiàn)過程，明確函數(shù)零點與相應(yīng)方程根、圖像與x軸交點橫坐標的關(guān)系總結(jié)出函數(shù)零點的概念及零點存在性定理，提升和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

2.通過設(shè)置合理的教學(xué)情境，以及分組探究、質(zhì)疑交流，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實驗探討零點存在性條件的過程，感受零點存在性定理的形成及以數(shù)輔形的強大功能，體會函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想.把判斷函數(shù)零點存在的方法由特殊函數(shù)推廣到一般函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

3.通過創(chuàng)設(shè)無法求得方程的解到能夠通過研究函數(shù)的零點，利用函數(shù)的性質(zhì)研究方程的根的教學(xué)大情境，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的探索歷程，體會知識的生成方式，體驗獲取知識、探究數(shù)學(xué)的樂趣，從而提升學(xué)生深度學(xué)習(xí)的能力.

教學(xué)重點：函數(shù)零點的等價關(guān)系，零點存在性定理.

教學(xué)難點：探究函數(shù)零點存在的條件.

六、 教學(xué)過程

1.巧設(shè)情境，引入新知

情境一 筆者出示一幅當?shù)貧庀笈_的圖片，讓學(xué)生識別這個地方是什么樣的場所.

由于學(xué)生并不完全了解當?shù)貧庀笈_，所以有許多即興猜測的回答，有說是公園的，有說是海豚紀念館的，也有說是當?shù)貧庀笈_的.

設(shè)計意圖 學(xué)生從不同角度觀察同一場所得到了不同的答案，所以如果對一個問題的思考角度不同，得到的答案也會不同.

情境二? 判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個根？

① 2x-3=0.

② x2-2x-3=0.

③ ln x+2x-3=0.

設(shè)計意圖 對于方程（1）（2），學(xué)生可以直接求解，但對于方程（3），學(xué)生卻有些猶豫，甚至無從下手.此時，教師需要提示學(xué)生換個角度思考問題，引導(dǎo)學(xué)生運用方程（1）（2）的其他解法來解決方程（3）的問題，即嘗試從形的方面來尋求問題的答案.數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形兩個方面關(guān)系的學(xué)科.同一個問題，可以從數(shù)的方面考慮，也可以從形的方面探究.初中階段研究方程根側(cè)重于數(shù)的方面，高中階段除了側(cè)重數(shù)的方面還側(cè)重形的方面.這一問題的設(shè)計，為成功引入零點概念做好了充足準備.

情境三 畫出函數(shù)f（x）=2x-3的圖像，觀察方程2x-3=0的根與函數(shù)f（x）=2x-3的圖像與x軸的交點，你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖 通過簡單函數(shù)“引”零點，在學(xué)生思維困頓之處設(shè)置數(shù)學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生疑問，通過質(zhì)疑交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和探究新知的熱情，通過后繼學(xué)習(xí)，進一步使學(xué)生領(lǐng)會將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題處理的必要性.

2.操作確認，探索概念

（1）求解畫圖

求下列一元二次方程的實數(shù)根，畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的簡圖，并寫出函數(shù)圖像與x軸交點的坐標，如表1所示.

（2）探尋關(guān)系

一元二次方程與相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系，如表2所示.

設(shè)計意圖 揭示規(guī)律，二次方程如果有實數(shù)根，那么方程的實數(shù)根就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標.概念自然引入，觀察表中的x1，x2，它們在方程中稱為方程的根，在圖像中稱為圖像與x軸交點的橫坐標，那么對于函數(shù)而言，取名為零點就水到渠成了.

（3）函數(shù)零點的概念

對于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點.

零點的三重“身份”：（1）函數(shù)y=f（x）的零點;（2）函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標;（3）方程f（x）=0的根.

設(shè)計意圖 利用零點不同情境下的三種“身份”，明確函數(shù)零點的概念，零點不是點，它是數(shù)與形的完美統(tǒng)一，也是方程與函數(shù)思想的絕妙體現(xiàn).

（4）應(yīng)用所獲，再探例題

判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個根？

①2x-3=0. ②x2-2x-3=0. ③ ln x+2x-3=0.

設(shè)計意圖 把方程ln x+2x-3=0的形式改為ln x=-2x+3，從而順利地把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ln x與函數(shù)y=-2x+3的交點問題.探究過程中，作圖的方法優(yōu)于解方程的方法，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的要求得到了淋漓盡致的體現(xiàn).

3.質(zhì)疑思辨，完善概念

若方程不轉(zhuǎn)化，本題還能用形解決嗎？顯然是比較困難的.以此作為矛盾沖突點，引導(dǎo)學(xué)生探究不作函數(shù)圖像就能判斷零點存在的方法，即尋求幾何圖形的代數(shù)表達：零點存在的圖形的共性探究.

（1）數(shù)學(xué)實驗，尋求共性

如圖1所示，圖中已經(jīng)標出a和b時刻的溫度，請按你自己的設(shè)想在圖1的兩圖中繪出[a，b]部分的溫度曲線.

師：溫度曲線作為一個函數(shù)，它具備哪些條件就可確定有零點存在呢？

設(shè)計意圖 如果函數(shù)零點的定義是增強學(xué)生由數(shù)轉(zhuǎn)形、以形助數(shù)的能力，那么零點存在性定理的發(fā)現(xiàn)就是讓學(xué)生感受由形轉(zhuǎn)數(shù)、以數(shù)輔形的強大功能，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

（2）共性歸納，得出定理

如果函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在（a，b） 上至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

教師應(yīng)先要求學(xué)生齊讀，然后引導(dǎo)學(xué)生尋找定理中的關(guān)鍵詞，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實驗圖例討論、解釋每一個關(guān)鍵詞的意義及重要性，并得出推論（存在唯一零點的命題）：如果函數(shù)y=f（x）在[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且在閉區(qū)間的兩個端點上的函數(shù)值互異，即f（a）f（b）<0，且是單調(diào)函數(shù)，那么這個函數(shù)在（a，b）上必存在唯一的一個零點.

設(shè)計意圖 學(xué)生對于定理的理解，要經(jīng)歷“了解—理解—見解”的逐步深入過程，所以概念定理的教學(xué)也需要分三步走，首先了解概念的形成過程，然后在此基礎(chǔ)上加強對概念的理解和欣賞，最后提出自己的見解.零點存在性定理這一概念的生成過程，是由圖形設(shè)計引出對共性（零點存在）的歸納探討，概念的理解和欣賞則通過學(xué)生朗讀及對關(guān)鍵詞的挖掘辨析來實現(xiàn)，最后在辨析中尋找零點唯一存在性定理的表述.教師要注重培養(yǎng)學(xué)生歸納問題本質(zhì)的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

（3）例題終探，定理應(yīng)用

判斷下列方程是否有根，如果有根，有幾個根？

①2x-3=0. ②x2-2x-3=0. ③ ln x+2x-3=0.

設(shè)計意圖 探究典例，利用零點存在性定理突破形解決問題的局限性，感受以數(shù)輔形的強大功能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

4.目標檢測，整理所學(xué)

檢測1 函數(shù)f（x）=-x3-3x+5的零點的個數(shù)是（ ）

A.0? B.1? C.2? D.無數(shù)個

檢測2 已知函數(shù)f（x）的圖像是連續(xù)不斷的，對應(yīng)值如表3所示，那么函數(shù)在[1，6]上的零點至少有個.

檢測3 已知函數(shù)f（x）=|x2-4|-a，若y=f（x）有四個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計意圖 檢測1是鞏固利用幾何和代數(shù)方法解決零點問題;檢測2是零點存在性定理的應(yīng)用;檢測3是零點問題的綜合應(yīng)用，這三道題目能培養(yǎng)學(xué)生知識及核心素養(yǎng).

5.反思悟道，內(nèi)化所學(xué)

從知識、思想、生活實際來談?wù)勛约旱氖斋@.

設(shè)計意圖 學(xué)生發(fā)言，開放式地探討、補充，教師點評，從知識到思想、素養(yǎng)、能力，將數(shù)學(xué)知識與生活實際應(yīng)用相聯(lián)系.

6.作業(yè)設(shè)置，課外延續(xù)

作業(yè)1 （基礎(chǔ)性）已知函數(shù)f（x）=|x2-4|-a，試探究函數(shù)零點個數(shù)與a的關(guān)系.

作業(yè)2 （拓展性）已知函數(shù)f（x）=|x2-4|，關(guān)于x的方程[f（x）]2-4f（x）+k=0，嘗試探究該方程解的個數(shù)與k的關(guān)系.

設(shè)計意圖 作業(yè)1進一步鞏固學(xué)生課堂所學(xué)，提高學(xué)生運用知識解決問題的能力;作業(yè)2讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)探究討論，可以從不同角度探究，如化歸成簡單函數(shù)或利用現(xiàn)代信息科技作圖解決等.

七、教學(xué)評價

學(xué)生不僅是學(xué)習(xí)的主體，而且是教學(xué)的資源，是課堂生活的共同創(chuàng)造者.基于數(shù)學(xué)抽象的概念課的教學(xué)研究要從整體上把握概念，突出概念之間的相互聯(lián)系，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)，精心設(shè)計好思維的導(dǎo)航圖和生長鏈，從微觀上把握好概念獲取的生長路徑和關(guān)鍵節(jié)點.

在本節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的性質(zhì)研究方程解的情況，從而使原來無法解決的問題轉(zhuǎn)化為可解的問題，體現(xiàn)了用聯(lián)系的觀點看待問題、用新觀點看待舊事，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).在利用函數(shù)圖像與性質(zhì)探究函數(shù)零點問題時，學(xué)生對函數(shù)圖像的觀察、判斷有一定的難度，需要教師加強指導(dǎo);學(xué)生能夠明確地感受到函數(shù)零點存在時的圖像特征，但不會用數(shù)學(xué)語言來描述，這就需要教師通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個模仿、歸納、抽象的過程，促使他們把幾何語言轉(zhuǎn)化為符號語言.

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要教師準確把握課程目標、課程內(nèi)容等，利用合理的教學(xué)情境與素材，借助各種教學(xué)形式，去落實教學(xué)目標.教師應(yīng)該不斷學(xué)習(xí)、探索，提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，了解數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，開發(fā)出符合學(xué)生認知規(guī)律、有助于提升學(xué)生核心素養(yǎng)的優(yōu)秀案例.

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