江慎軍

【摘要】伴隨著教改活動(dòng)的全面開展.初中學(xué)段數(shù)學(xué)課程的教改活動(dòng)也在全面開展.解分式方程屬于初中學(xué)段數(shù)學(xué)課程中數(shù)與代數(shù)部分較為關(guān)鍵的組成要素，在中考中的占比也較高，所以，一定要對(duì)分式方程的教學(xué)進(jìn)行探析與研究.通常在對(duì)分式方程進(jìn)行解答的時(shí)候，由于需要將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，要在方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，可是有時(shí)解得的未知數(shù)的值會(huì)使原分式方程中分式分母為零而無意義，這時(shí)方程會(huì)產(chǎn)生增根，原方程無解.由于學(xué)生對(duì)增根和無解兩個(gè)概念理解不到位、不透徹，導(dǎo)致解決方程有增根或方程無解之類題目時(shí)出現(xiàn)困難，出錯(cuò)率較高.所以本文通過例題講解與拓展應(yīng)用的形式，分析了分式方程增根產(chǎn)生的原因、分式方程增根與無解的區(qū)別，對(duì)增根與無解的相關(guān)習(xí)題進(jìn)行了較為詳細(xì)的闡述，加深了對(duì)兩個(gè)概念的理解.通過本文的探究，可增強(qiáng)學(xué)生解決增根、無解相關(guān)習(xí)題的能力.

【關(guān)鍵詞】分式方程的增根;產(chǎn)生原因;增根與無解的區(qū)別;拓展應(yīng)用

基于最近幾年中考數(shù)學(xué)題目的探析能夠獲悉，關(guān)于分式方程這一知識(shí)點(diǎn)的考查，除了解分式方程、列分式方程解決實(shí)際問題外，試卷中也會(huì)頻繁出現(xiàn)分式方程無解、有增根的題型.對(duì)于告知分式方程無解、有增根，進(jìn)而求原分式方程中一些字母參數(shù)的取值問題，學(xué)生往往會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，不會(huì)解，出錯(cuò)多，或無從下手，這樣的情況會(huì)耗損學(xué)生很多時(shí)間與精力.如果在日常解題練習(xí)中能夠?qū)Ψ质椒匠虩o解、有增根的概念理解正確，就能夠提升學(xué)生的解題質(zhì)量與成效，讓學(xué)生對(duì)題目有更清晰的認(rèn)知，考試中才能節(jié)省大量時(shí)間對(duì)其他問題進(jìn)行有效解決.本文從幾個(gè)方面分析了分式方程的“增根”與“無解”，相信能夠幫助學(xué)生正確理解，熟練掌握，提高解題能力.

一、增根是如何產(chǎn)生的

分式方程中的增根、無解屬于較為常見的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)了分式方程的相關(guān)知識(shí)以后，時(shí)常會(huì)將兩個(gè)概念弄混，認(rèn)為分式方程解答過程當(dāng)中的無解與增根是一回事，然而實(shí)際上并非如此.解分式方程的基本思路是利用轉(zhuǎn)化的思想，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，在分式方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，如果在方程兩邊同乘了一個(gè)使分母為零的整式，就會(huì)產(chǎn)生增根.

分式方程中，如果分式中分母的值為零，分式就沒有意義.分式方程本身隱含著分母不為零的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制就被取消了，也就是說，未知數(shù)取值范圍被擴(kuò)大了.若整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根，即增根產(chǎn)生的原因就是去分母的時(shí)候兩邊同時(shí)乘以0了，致使未知數(shù)的數(shù)值范圍被拓展了.

對(duì)于上面這些語言文字的解釋，部分學(xué)生可能不易理解，下面通過一道例題的兩種解法來體會(huì)一下產(chǎn)生增根的原因.

當(dāng)x=2時(shí)，分式方程的分母為0，則方程無解.

解法一是利用分式的通分、約分來解，約分過程本身就是在分式分母不能為零的前提條件下進(jìn)行的，所以這種解法找不到一個(gè)x的值使 1-x x-2 = 1 2-x -2成立，說明原方程根本不成立.

解法二是利用等式的基本性質(zhì)，方程兩邊都乘x-2，從而去掉分式方程的分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，而這一操作恰好是在方程兩邊同乘了0，使得原方程成立.此時(shí)x=2使原分式方程中分式的分母為零，所以x=2是分式方程經(jīng)過去分母轉(zhuǎn)化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根，是產(chǎn)生的增根.

通過兩種解法對(duì)比，相信學(xué)生會(huì)對(duì)增根產(chǎn)生的原因更加明白，理解上變得容易、深刻.

二、分式方程增根與無解的區(qū)別

將分式方程增根和無解之間存在的區(qū)別與聯(lián)系進(jìn)行明確，有助于提升分式方程解答的正確性，在方程解是否正確的判斷方面具有極為重要的指導(dǎo)意義.

1.分式方程有增根：解方程時(shí)，把分式方程通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而把未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大，此時(shí)解出的未知數(shù)的值有可能使原分式方程的分母為零.

2.分式方程無解：未知數(shù)無論取何值，方程兩邊的值都不相等，包含以下兩種情況.

（1）原分式方程經(jīng)過去分母轉(zhuǎn)化成的整式方程無解.

例3 解方程： x-1 x+2 = 3-x 2+x +2.

解 兩邊都乘x+2，得

x-1=3-x+2（x+2），

解得-1=7.

∵此一元一次方程無解，

∴原分式方程無解.

（2）原分式方程經(jīng)過去分母轉(zhuǎn)化后的整式方程有解，但這個(gè)未知數(shù)的值使原分式方程的分母為零，它是原方程的增根，從而原方程無解.（此種情況如例2）

3.分式方程無解，但不一定就一定有增根.

如上面例3，分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，整式方程本身就無解，當(dāng)然原分式方程就無解了，但這種情況下分式方程沒有產(chǎn)生增根.

4.分式方程有增根，但分式方程不一定無解.

例4 解方程： x-5 x2-1 + 2 x-1 =1.

解 兩邊都乘x2-1，得

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是增根，x=2是原分式方程的解.

當(dāng)然，初中階段不考查例4這種類型的分式方程，即把分式方程去分母后轉(zhuǎn)化成了一元二次方程.

所以，分式方程有增根，說明x的取值肯定有使分母為零的根，這時(shí)有兩種情況，一種是原方程就只有這些使分母為零的根，方程就無解，如例題2;第二種情況是除了有使分母為零的根之外，還有其他使原方程成立的根，這時(shí)原方程就有解，如例4.而分式方程無解，則也會(huì)有兩種情況：一種是分式方程就只有使分母為零的增根，沒有其他根， 這時(shí)無解就和有增根一致;第二種是分式方程連增根也沒有，此時(shí)就是無解，如例3.

三、拓展應(yīng)用

通過前面的敘述，相信大家已經(jīng)對(duì)增根和無解有了較深的認(rèn)識(shí)與理解，下面通過一道例題及其變式加深一下印象.

例5 a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 2 x-2 + ax x2-4 = 3 x+2 ……① 有增根？

解 兩邊都乘（x+2）（x-2），得

2（x+2）+ax=3（x-2），

（a-1）x=-10……②.

∵原分式方程有增根，

∴x=2或x=-2是方程②的根，

∴把x=2，-2分別代入方程②，得a=-4或a=6，

∴當(dāng)a=-4或a=6時(shí)，原方程有增根.

例5變式 a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程 2 x-2 + ax x2-4 = 3 x+2 ……①無解？

解 兩邊都乘（x+2）（x-2），得

2（x+2）+ax=3（x-2），

（a-1）x=-10……②.

因?yàn)樵匠虩o解，所以分兩種情形.

第一種情形：

當(dāng)a-1=0（即a=1）時(shí)，方程②為0x=-10，該整式方程無解，所以原分式方程無解.

第二種情形：

如果方程②的解為x=2或x=-2，則未知數(shù)x=±2使分式方程的分母為零，是分式方程的增根，此時(shí)由例5可知，a=-4或a=6.

綜上所述，當(dāng)a=1或 a=-4或a=6時(shí)，原方程無解.

通過以上分析，我們深刻體會(huì)到對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解有多么重要，所以深刻把握住概念的本質(zhì)才能輕松應(yīng)對(duì)概念考查的題目，而對(duì)概念的掌握單純靠語言文字的描述是不夠的，要結(jié)合題目才能理解透徹、到位.也就是說，基于上述例題能夠獲悉，當(dāng)分式方程化去分母之后轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)一元一次的整式方程，其解剛好能夠讓最簡(jiǎn)公分母變成零，這個(gè)根實(shí)際上就是增根，因?yàn)橐辉淮畏匠痰母ǔＶ挥幸粋€(gè)，因此，這個(gè)原分式方程就是無解的，如果轉(zhuǎn)變后的整式方程屬于一元二次方程，則狀況就并不相同.

四、結(jié)束語

總而言之，分式方程存在增根與無解問題中包含非常多的數(shù)學(xué)知識(shí)與思維方法，其中包含學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，以及對(duì)題目條件的解讀和處理，還包含隱藏條件的分析、應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想、分類策略等，思維含量比較高，對(duì)學(xué)生思維能力方面的嚴(yán)謹(jǐn)性、全面性等有嚴(yán)格要求.學(xué)生在分式方程增根與無解問題的解答過程中，大多數(shù)都會(huì)產(chǎn)生似懂非懂的情況，也就是說，想要徹底弄清此類問題，就要對(duì)增根、無解出現(xiàn)的原因進(jìn)行追溯.掌握了分式方程增根、無解的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)就不用依靠死記硬背，學(xué)生能夠帶著理解進(jìn)行深入探析，對(duì)題目中條件背后的含義進(jìn)行精準(zhǔn)解讀，對(duì)問題進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)有序的解答.

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