王莉莉，王航臣，趙 迪，李彥吉

（1.中國(guó)民航大學(xué)天津市空管運(yùn)行規(guī)劃與安全技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300300；2.北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京 100044；3.河北省城市客運(yùn)管理局，石家莊 050000；4.北京鐵路局石家莊供電段，石家莊 056002）

航路網(wǎng)絡(luò)作為空中交通系統(tǒng)運(yùn)行的載體，其通行能力的高低直接決定了空中交通網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行效率[1]。隨著中國(guó)民航運(yùn)輸?shù)陌l(fā)展，繁忙的空域航路網(wǎng)絡(luò)面臨著嚴(yán)峻的交通流量壓力。由于危險(xiǎn)天氣、軍航活動(dòng)等因素，會(huì)造成航路網(wǎng)通行能力大幅下降，從而導(dǎo)致局部空域阻塞，“塞機(jī)”和延誤大量出現(xiàn)[2]，在上述情況下，如何預(yù)先調(diào)度受影響的交通流使航路網(wǎng)絡(luò)的延誤最小，給實(shí)際運(yùn)行提供一個(gè)量化的參考，是亟待解決的問(wèn)題。

空中交通流量管理（ATFM,air traffic flow management）是緩解空域擁擠，減少延誤損失的重要方法，空中交通網(wǎng)絡(luò)流的動(dòng)態(tài)管理是其重要組成部分，但目前關(guān)于這個(gè)方向的研究較少。2000年，Bertsimas 等[3]最先將網(wǎng)絡(luò)流理論應(yīng)用到ATFM 中，使用動(dòng)態(tài)的、多品種流和整數(shù)網(wǎng)絡(luò)流的方法詳細(xì)討論了危險(xiǎn)天氣下空中交通流的改航問(wèn)題。Ng 等[4]對(duì)危險(xiǎn)天氣下交通流的分配與調(diào)度展開(kāi)研究，在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，將各種機(jī)型視為交通流，提出了一種模型求解效率較高的算法，該方法雖然能提升運(yùn)算效率，但對(duì)實(shí)際場(chǎng)景過(guò)于簡(jiǎn)化，不能很全面地描述實(shí)際的管制運(yùn)行。Taylor 等[5]從網(wǎng)絡(luò)角度對(duì)航空器的改航進(jìn)行建模，詳細(xì)討論了各種突發(fā)事件下的安全改航方案，但缺少危險(xiǎn)天氣等因素使航空器改航后對(duì)整個(gè)系統(tǒng)通行能力的影響。孟令航等[6]討論了強(qiáng)對(duì)流這一危險(xiǎn)天氣下的航空器改航，以改航代價(jià)最小為優(yōu)化目標(biāo)，以航段連續(xù)性和最大穿越風(fēng)險(xiǎn)代價(jià)為約束條件，建立動(dòng)態(tài)改航路徑規(guī)劃模型，但缺少交通流角度的航路選擇與流量分配的相關(guān)研究。王莉莉等[7-9]分別從空中交通流分配的基本模型、終端區(qū)的受擾通行能力和多機(jī)場(chǎng)區(qū)域通行能力3 個(gè)方面進(jìn)行建模，將網(wǎng)絡(luò)流理論應(yīng)用于其他空域及其組成部分。以上研究鮮有考慮危險(xiǎn)天氣的隨機(jī)性因素。

針對(duì)危險(xiǎn)天氣的隨機(jī)性，建立了航路可靠性的度量方法，并將航路可靠性轉(zhuǎn)化為航路網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)重，從天氣隨機(jī)性、航路容量與管制員負(fù)荷3 個(gè)方面改進(jìn)最小費(fèi)用最大流模型，建立了相應(yīng)的最優(yōu)化模型。傳統(tǒng)最小費(fèi)用最大流的算法難以求解天氣動(dòng)態(tài)變化帶來(lái)的航路阻抗變化，故設(shè)計(jì)了一種考慮天氣動(dòng)態(tài)變化的階段性求解的平衡算法，最終達(dá)到航路網(wǎng)絡(luò)流動(dòng)態(tài)管理及減少延誤的目的。

1 問(wèn)題描述

1.1 航路網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)描述

中國(guó)民航局規(guī)定高度層分配的準(zhǔn)則是“東單西雙”，故可將航路網(wǎng)絡(luò)看作平面有向賦權(quán)連通圖。設(shè)有向賦權(quán)連通圖G=（V，E，Wk，Ck，Rk）,其中：V 表示機(jī)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)的集合；E 表示各航路的集合，一條連接i，j∈V 的邊記為e（i，j）；Wk表示第k 個(gè)高度層上航路的費(fèi)用集合，Wk={}，用以幫助管制員決策飛機(jī)是否選擇該航路；Ck為第k 個(gè)高度層上航路e（i，j）最大容量的集合，Ck={}；Rk為第k 個(gè)高度層上航路e（i，j）的可靠度的集合，Rk={}。

為方便分析計(jì)算，將同一航路上k 個(gè)不同高度層的航路視為網(wǎng)絡(luò)圖中k 條邊，稱高度層k 為航路k，如圖1 所示。

1.2 航路可靠性度量

危險(xiǎn)天氣指對(duì)航空器飛行安全產(chǎn)生影響的全部氣象，主要包括雷暴、低空風(fēng)切變、大氣湍流、大風(fēng)和視程障礙[10]。天氣因素是對(duì)民航運(yùn)輸影響最大的因素之一，表現(xiàn)為終端區(qū)航空器進(jìn)離場(chǎng)受到延誤和航班取消等影響、空域扇區(qū)內(nèi)航空器為避開(kāi)危險(xiǎn)天氣改航，從而導(dǎo)致航路通行能力降低。

圖1 不同高度層航路的簡(jiǎn)化表示Fig.1 Simplified representation of routes at different levels

為了給空中交通網(wǎng)絡(luò)流提供最可靠的路徑，需要考慮航路和機(jī)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)兩方面的可靠性。衡量路徑可靠性準(zhǔn)則主要有兩種，鏈條準(zhǔn)則和串聯(lián)準(zhǔn)則[11]，在航路網(wǎng)絡(luò)中有不同的意義：在鏈條準(zhǔn)則下，如果某節(jié)點(diǎn)位于幾條航路上，且其可靠度在構(gòu)成這些路徑的所有單元中最低，則這些航路具有相同的可靠度，因此以鏈條準(zhǔn)則表示路徑可靠度反映不出各航路的差別；在串聯(lián)準(zhǔn)則下，考慮到航路網(wǎng)絡(luò)中的各構(gòu)成單元對(duì)航路可靠度均有貢獻(xiàn)，則以可靠度串聯(lián)的乘積形式表現(xiàn)出各路徑的不同。

綜上所述，使用串聯(lián)準(zhǔn)則進(jìn)行描述，航路的可靠度可定義為

其中：Pa表示由源節(jié)點(diǎn)s 到匯節(jié)點(diǎn)t 的一條由航路組成的通路；RPa表示通路Pa的可靠度；表示節(jié)點(diǎn)i 和j之間航路k 的可靠度。為了便于求解，可將式兩邊取以e 為底的對(duì)數(shù)，得

由于0≤RPa≤1，ln≤0，所以取對(duì)數(shù)后若以-ln作為兩節(jié)點(diǎn)之間航路e（i，j）的費(fèi)用，則可將可靠性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最短路問(wèn)題，繼而可將流量調(diào)配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的最小費(fèi)用最大流問(wèn)題[12]。

綜上，可定義費(fèi)用

2 模型建立

以傳統(tǒng)的最小費(fèi)用最大流模型為基礎(chǔ)，引入天氣因素，考慮航路和機(jī)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)的可靠性及實(shí)際管制運(yùn)行條件，建立了危險(xiǎn)天氣下的最小費(fèi)用最大流模型。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

傳統(tǒng)的最小費(fèi)用最大流模型中，目標(biāo)函數(shù)為

其中，xij表示流量，該目標(biāo)函數(shù)假設(shè)費(fèi)用（阻抗）wij是定值，不隨其他因素的變化而變化。而實(shí)際過(guò)程中許多因素都會(huì)使航路的阻抗發(fā)生變化，天氣便是其中的主要因素之一。

為了衡量天氣因素對(duì)航路阻抗的影響，對(duì)傳統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，引入可靠度，將可靠度Rij定義為航路e（i，j）不發(fā)生危險(xiǎn)天氣的概率，該參數(shù)可由實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)定。將最小化航路網(wǎng)絡(luò)阻抗為目標(biāo)，若以表示航路k 上的流量，則可表示為

2.2 約束條件

1）容量約束

對(duì)于每條邊e（i，j）運(yùn)行的交通流量應(yīng)滿足非負(fù)性與容量限制條件，即

2）流量守恒約束

在流量分配的過(guò)程中，整個(gè)航路需要滿足流量守恒約束，即對(duì)于起止節(jié)點(diǎn)s、t，中間點(diǎn)o、d，流入量等于流出量。定義為節(jié)點(diǎn)i 和節(jié)點(diǎn)j 之間航路k 上運(yùn)行的交通流量，v（x）為可行流的流量，即源節(jié)點(diǎn)的凈輸出量，則該中間約束可表示為

對(duì)于航路的起點(diǎn)s 及網(wǎng)絡(luò)中與s 相鄰的任意一點(diǎn)i，即

對(duì)于航路的終點(diǎn)t 及網(wǎng)絡(luò)中與t 相鄰的任意一點(diǎn)j，即

對(duì)于航路網(wǎng)絡(luò)中的某條通路e（i，j），令qij表示出發(fā)地i 和目的地j 之間的起止點(diǎn)的交通量，即

3）管制員負(fù)荷約束

以Lm表示扇區(qū)m 管制員所能指揮的飛機(jī)最大流量，空中交通服務(wù)計(jì)劃手冊(cè)中介紹的“DORATASK”方法[13]指出：管制員的工作負(fù)荷必須小于峰值的80%，則該約束可表示為

3 算法設(shè)計(jì)

解決最小費(fèi)用最大流的傳統(tǒng)算法均是靜態(tài)算法，難以描述航路網(wǎng)絡(luò)上天氣的動(dòng)態(tài)變化帶來(lái)的影響。在道路交通領(lǐng)域，求解交通流分配問(wèn)題已取得了一定的成果，其中，迭代加權(quán)法(MSA, method of successive average)通過(guò)迭代均衡各路徑上的流量，符合實(shí)際運(yùn)行中空域各扇區(qū)和各航路流量分布均衡的要求。

求解模型要處理好天氣的變化，從而根據(jù)實(shí)時(shí)的天氣信息判斷各航路的可靠性，并引入天氣阻抗。設(shè)定每隔1 h 更新一次氣象信息。算法步驟如下：

步驟3 按照步驟2 中的氣象信息更新航路阻抗，再進(jìn)行一次0-1 交通分配，得到一組附加流量；

步驟4 用MSA 方法計(jì)算各通路當(dāng)前各航路的交通量

步驟5 收斂性檢驗(yàn)，若滿足預(yù)先給定的誤差限值ε，即

4 算例分析

4.1 說(shuō)明型算例

構(gòu)造一個(gè)只有兩條路徑（同時(shí)也是通路）連接一對(duì)起點(diǎn)和終點(diǎn)的簡(jiǎn)單空中交通網(wǎng)絡(luò)，如圖2 所示。

圖2 雙路徑單OD 對(duì)的簡(jiǎn)單路網(wǎng)圖Fig.2 Simple network with two paths and single pair of OD

設(shè)容量和管制員承受能力足夠大，連續(xù)兩個(gè)時(shí)間窗內(nèi)航路1 發(fā)生危險(xiǎn)天氣的概率為0.35 和0.33，航路2 發(fā)生危險(xiǎn)天氣的概率為0.28 和0.47。某一時(shí)間窗內(nèi)需要通過(guò)qst=200 架飛機(jī)。

步驟1 航路1 和航路2 均為完整通路，由于發(fā)生危險(xiǎn)天氣的概率為0.35 和0.28，因此Rp1=1-0.35=0.65，Rp2=1-0.28=0.72，根據(jù)式（2），可得

步驟2 得到更新后的危險(xiǎn)天氣概率0.33 和0.47。

步驟3 再次計(jì)算航路阻抗，可得

步驟4 取λ=0.5，使用MSA 方法計(jì)算，可得

步驟5 令誤差限制ε=0.05，經(jīng)檢驗(yàn)，迭代結(jié)束。如需分析后續(xù)的流量分配情況，可讀入新數(shù)據(jù)。

4.2 應(yīng)用型算例

在中國(guó)民用航空局公布的航行資料匯編（AIP）中截取華北管制區(qū)的部分空域，黑色線段為簡(jiǎn)化后的航路圖，如圖3 所示。其中：節(jié)點(diǎn)1（北京ZBAA）、節(jié)點(diǎn)2（天津ZBTJ）、節(jié)點(diǎn)3（濟(jì)南ZSJN)為起飛機(jī)場(chǎng)；節(jié)點(diǎn)8（呼和浩特ZBHH）、節(jié)點(diǎn)9（太原ZBYN）、節(jié)點(diǎn)10（石家莊ZBSJ）為目標(biāo)機(jī)場(chǎng)；節(jié)點(diǎn)4～7 表示導(dǎo)航臺(tái)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)間的連線表示當(dāng)?shù)氐闹饕铰罚捶抡婧铰?。由于是一個(gè)多起點(diǎn)的問(wèn)題，故可添加虛擬節(jié)點(diǎn)使之轉(zhuǎn)化為一個(gè)單起止點(diǎn)的問(wèn)題，并設(shè)連接虛擬節(jié)點(diǎn)的虛擬航路的容量為M（任意無(wú)窮大數(shù)）。

圖3 仿真空域Fig.3 Airspace simulation

為了便于模型的求解，假設(shè)3 個(gè)起飛機(jī)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)的起飛流量已知，表1 為ZBAA、ZBTJ 和ZSJN 的離場(chǎng)流量。為了模擬氣象條件的動(dòng)態(tài)變化，使用計(jì)算機(jī)生成隨時(shí)間變化的氣象信息，?（i，j）∈V，0≤≤1，且其在同一時(shí)間窗內(nèi)不發(fā)生變化，在實(shí)際的運(yùn)行可根據(jù)該地區(qū)歷史天氣數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定；航路容量=25 和管制員負(fù)荷Lm=25 已知且為定值；誤差限值ε=0.05。

表1 離場(chǎng)交通流量Tab.1 Departure aircraft volume

對(duì)算例進(jìn)行仿真，可以求得分配了ZBAA、ZBTJ和ZSJN 這3 個(gè)機(jī)場(chǎng)的起飛流量后，3 個(gè)機(jī)場(chǎng)的平均每架次航空器的離場(chǎng)延誤，仿真結(jié)果如圖4～圖6 所示。

圖4 ZBAA 離場(chǎng)延誤優(yōu)化Fig.4 ZBAA departure delay optimization

圖5 ZBTJ 離場(chǎng)延誤優(yōu)化Fig.5 ZBTJ departure delay optimization

圖6 ZSJN 離場(chǎng)延誤優(yōu)化Fig.6 ZSJN departure delay optimization

由ZBAA 機(jī)場(chǎng)的仿真結(jié)果可知，離場(chǎng)航空器的延誤平均降低12.44%，對(duì)于首都機(jī)場(chǎng)這種空中交通流量大的機(jī)場(chǎng)具有良好的優(yōu)化效果；由ZBTJ 機(jī)場(chǎng)的仿真結(jié)果可知，離場(chǎng)航空器的延誤平均降低11.98%，對(duì)于天津機(jī)場(chǎng)這種空中交通流量中等的機(jī)場(chǎng)也具有一定的優(yōu)化效果；由ZSJN 機(jī)場(chǎng)的仿真結(jié)果可知，離場(chǎng)航空器的延誤平均降低6.52%，優(yōu)化效果一般，可解釋為空中交通流量小的機(jī)場(chǎng)本身也只存在較小延誤或不存在延誤。

通過(guò)Matlab 2014a 軟件使用設(shè)計(jì)的模型與算法求解模型，算法運(yùn)行環(huán)境為1 臺(tái)CPU 為Intel Core i5-4590 3.30 GHz×2，內(nèi)存4 GB 的臺(tái)式計(jì)算機(jī)。在算例給出的空域結(jié)構(gòu)下進(jìn)行仿真，短期ATFM 時(shí)間敏感度高，要求在短時(shí)間內(nèi)得到可靠解。ZBAA 流量分配的運(yùn)算時(shí)間為15.79 min，ZBTJ 的運(yùn)算時(shí)間為3.23 min，ZSJN 的運(yùn)算時(shí)間為1.04 min，均能夠滿足短期ATFM的要求。

5 結(jié)語(yǔ)

航路網(wǎng)絡(luò)流的動(dòng)態(tài)管理是ATFM 的重要組成部分，通過(guò)改進(jìn)最小費(fèi)用最大流模型，提出了一種考慮天氣動(dòng)態(tài)變化、航路容量約束與管制負(fù)荷約束的數(shù)學(xué)模型。針對(duì)傳統(tǒng)求解最小費(fèi)用最大流的算法不能適用于阻抗隨天氣動(dòng)態(tài)變化，提出了一種階段性求解的平衡算法。以華北管制區(qū)的部分空域?yàn)樗憷?，結(jié)果表明，模型和算法能有效降低延誤，對(duì)空中交通流量大的機(jī)場(chǎng)的優(yōu)化效果比流量小的機(jī)場(chǎng)更明顯。