涂喜梅 周少波 張金鵬 劉勇

摘 要：傾斜轉彎（BTT）導彈通道間存在的控制耦合作用使得常規(guī)的雙平面解耦制導律設計方法難以滿足制導律設計要求。本文針對BTT導彈的三維耦合制導律設計問題，將李群理論引入到制導律設計中，將導彈速度向量中的旋轉角速度用彈目視線俯仰角速度和彈目視線方位角速度來表示，同時考慮導彈制導過程中轉彎盡量小以節(jié)省能量，給出一種考慮耦合項的最優(yōu)三維制導律算法。通過仿真實驗驗證了算法的有效性。

關鍵詞：空空導彈;李群理論;最優(yōu)制導;三維耦合制導

中圖分類號：TJ765

文獻標識碼：A

文章編號：1673-5048（2020）06-0055-06

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0 引? 言

導彈控制方式包括傾斜轉彎（Bank to Turn，BTT）和側滑轉彎（Skid to Turn，STT）兩種方式。傾斜轉彎控制方式是實現(xiàn)協(xié)調轉彎的一種控制方式，制導彈在轉彎過程中，始終保持側滑角為零。由于BTT導彈在轉彎中通過彈體滾轉，將最大的升力面轉動到制導所要求的方向上，相比于STT導彈在機動性、穩(wěn)定性、升阻比等方面具有明顯優(yōu)勢，且越來越受到重視[1-2]。文獻[3]基于BTT導彈的運動學和動力學特性，建立了傾斜轉彎導彈的彈體模型，根據彈體耦合特點進行了解耦分析。文獻[4]對BTT導彈建模、自動駕駛儀設計與仿真方法進行了詳細論述。文獻[5]針對BTT導彈的姿態(tài)控制提出了基于干擾估計的魯棒方差控制方法。文獻[6]針對機動目標提出了一種基于有限時間反饋控制方法的三維空間制導律。文獻[7]針對帶有一定機動能力的飛行目標，結合彈目運動關系與導彈自身的動力學特性，給出了BTT導彈的俯仰、滾轉、偏航三通道獨立制導控制一體化設計。文獻[8]針對BTT導彈制導過程中的通道耦合問題，用旋量描述方法構建了彈目視線方位模型，采用矢量描述方法構建彈目視線角速度模型，設計了一種考慮制導參數(shù)優(yōu)化的新型三維非線性制導律。傳統(tǒng)的三維制導律是將導彈的制導系統(tǒng)分解成橫向平面和俯仰平面分別進行設計，由于忽略耦合作用而造成信息損失，或采用基于球坐標系的制導律設計方法，這種方法雖然可以考慮通道耦合作用，但是難以實現(xiàn)末端速度約束制導[2]。

李群理論的提出，給BTT導彈制導律設計提供了新的思路。文獻[9]針對BTT導彈，考慮通道耦合影響，采用李群理論，設計了BTT三維制導律。文獻[10]采用李群理論，在不進行通道解耦的條件下提出了一種新型三維制導律。文獻[11]基于微分幾何和李群理論，提出了一種三維BTT導彈制導律。這些研究給BTT耦合制導律的研究奠定了很好的基礎。

本文在此基礎上，進一步從最優(yōu)制導的角度，提出了一種針對BTT導彈的最優(yōu)三維耦合制導算法，避免雙平面解耦制導律設計方法帶來的問題，同時優(yōu)化制導過程中導彈軌跡，減小轉彎量以節(jié)省導彈能量消耗，實現(xiàn)高精度制導。

1 彈目相對運動的數(shù)學描述

假設導彈M的速度矢量為v，彈目視線距離為R，目標T固定于坐標系的原點o。以導彈三自由度運動學模型為基礎，以導彈質心和目標質心為基準，導彈在三維空間上的運動可以解耦成如圖1所示的俯沖和轉彎兩個平面上的運動[9]。

圖中，首先定義單位矢量s1～s5。其中，s1與轉彎平面垂直，s2與俯沖平面垂直，s1～s5指向如圖1所示。q是x軸方向與彈目視線方向夾角;qd是彈目視線高低角，即s4和s5之間的夾角;qt為彈目視線方位角，即s5和x軸之間的夾角;ηd為速度矢量在俯沖平面上的投影與轉彎平面的夾角;ηt為速度矢量在轉彎平面上的投影與俯沖平面的夾角;θd為速度矢量在俯沖平面內的方向角，即速度矢量在俯沖平面的投影與水平面xoz之間的夾角;θt為速度矢量在轉彎平面內的方向角，即速度矢量在轉彎平面內的投影與鉛垂面xoy之間的夾角。

定義ω為彈目視線角速度：

ω=q·ds2+q·ts3（1）

式中：q·d為視線高低角速度;q·t為視線方位角速度。

由圖1可知，s1，s3，s4，s5在同一平面，且其均s2垂直。此外，有s1⊥s4，s3⊥s5。因此可知，s2既在參考系os1s2s4內，又在參考系os3s2s5內，s3既在參考系os3s2s5內，也在參考系oxyz內。由參考系oxyz即oxs3z繞s3軸轉動角度qt得到參考系os3s2s5，由參考系os3s2s5繞s2軸轉動角度qd得到參考系os1s2s4，故彈目角速度可分解成視線高低角速度和視線方位角速度矢量和。因此，式（1）得證。

對式（1）兩邊分別求導，得

ω·=q¨ds2+q¨ts3+q·ds·2+q·ts·3（2）

式中：q¨ds2為導彈在俯沖平面內的加速度分量;q¨ts3為導彈在轉彎平面內的加速度分量;q·ds·2+q·ts·3為通道解耦時候的耦合項，在以往制導律設計中，常常忽略該項。但在BTT導彈大滾轉的情況下，該耦合項占有較大比重，因而在此不予忽略。

根據式（2），BTT導彈的三維耦合運動可以分別從俯仰平面、轉彎平面和耦合項三個方面進行設計。

2 三維耦合制導律設計

2.1 縱向平面制導律設計

針對俯仰平面，假設θd>0，那么有如下等式成立：

ηd=qd-θd（3）

由圖1可得

R·=-vcosηd（4）

Rq·d=vsinηd（5）

將式（5）兩邊分別對時間求導，得

R·q·d+Rq¨d=v·sinηd+vη·dcosηd（6）

將sinηd=Rq·dv和cosηd=-R·v代入式（6），得俯仰平面內彈目相對運動方程：

q¨d=v·v-2R·Rq·d+R·Rθ·d（7）

在彈目攔截過程中，通常假設v·/v≈0。定義Tg=-R/R·， R>0，則式（7）可寫為

q¨d=2Tgq·d-1Tgθ·d（8）

假定導彈在命中目標時，視線高低角速度為零，即q·d（tf）=0，令x=q·d，u=θ·d，則可寫成狀態(tài)方程形式：

x·=Ax+Bu

其中：A=2/Tg; B=-1/Tg，且滿足x（tf）=0。

導彈在命中目標之前，要求導彈的方向變化θ·d盡量小，因此選取性能函數(shù)如下：

J=xT（tf）Fx（tf） + 12∫Tg0θ·2ddt

作為一個二次型性能指標最優(yōu)控制問題，可由Riccati方程求其最優(yōu)解得

θ·*d = u* = -R-1BTpx（9）

其中： R=1;p滿足-p·=pA+ATp-pBR-1BTp，分別等式左右乘以p-1，得Riccati方程的逆表達形式：

-p-1p·p-1=Ap-1+p-1AT-BR-1BT（10）

由矩陣變換得知，p·-1=（p-1）′=-p-1p·p-1，又因為R=1，所以式（10）可轉化為Riccati方程形式p·-1=Ap-1+p-1AT-BBT，即有

p·-1=4Tgp-1-1T2g（11）

由x（tf）=0，因此有F=∞，從而p（tf）=F=∞，最終有

p-1（tf）=0（12）

結合式（11）～（12）求解可得

p=3Tg（13）

將式（13）代入式（9）得

θ·d=-R-1BTpx=1Tg（3Tg）q·d=3q·d（14）

將式（14）代入式（8），得縱向平面的最優(yōu)制導律：

q¨d=2Tgq·d-1Tgθ·d=2Tgq·d-1Tg3q·d=-1Tgq·d（15）

2.2 橫向平面制導律設計

針對轉彎平面，假設θt>0，有如下等式成立：

ηt=qt-θt

由圖1可得

R·=-vcosηt（16）

Rq·t=vsinηt（17）

對式（17）兩邊分別對時間求導，可得

R·q·t+Rq¨t=v·sinηt+vη·tcosηt

將sinηt=Rq·tv和cosηt=-R·v代入式（17），可得轉彎平面內彈目相對運動方程：

q¨t=v·v-2R·Rq·t+R·Rθ·t（18）

在實際飛行過程中，通常假設v·/v≈0，因Tg=-R/R·（R>0），則式（18）可表示為

q¨t=2Tgq·t-1Tgθ·t（19）

假定導彈在命中目標時，視線方位角速度為零，即q·t（tf）=0，令x=q·t，u=θ·t，則可寫成狀態(tài)方程形式：

x·=Ax+Bu

其中：A=2/T，B=-1/Tg，且滿足x（tf）=0。

導彈在命中目標之前，要求導彈的方向變化角速度θ·t盡量小，因此選取性能函數(shù)如下：

J=xT（tf）Fx（tf） + 12∫Tg0θ·2tdt

作為一個二次型性能指標最優(yōu)控制問題，此時由逆Riccati方程求其最優(yōu)解，可得

θ·*t = u* = -R-1BTpx（20）

式中： R=1，則p滿足-p·=pA+ATp-pBR-1BTp。

同理于上述縱向平面的求解過程，得

p=3Tg（21）

將式（21）代入式 （20）得

θ·t=-R-1BTpx=1Tg（3Tg）q·t=3q·t（22）

將式（22）代入式（19），得縱向平面的最優(yōu)制導律：

q¨t=2Tgq·t-1Tgθ·t=2Tgq·t-1Tg3q·t=-1Tgq·t（23）

2.3 橫縱耦合項設計

通常情況下，以往的制導律之所以忽略耦合項描述，是因為耦合項在笛卡爾坐標系所表示的歐幾里德空間中表示起來很復雜。因此引入李群理論，使其在SO（3）群中表述，相對簡單一些。

給定一個單位矢量s0，存在一個三維旋轉矩陣使得對于任意其他單位矢量sx，都存在如下關系：

sx=Rss0（24）

式中： Rs是從s0到sx的旋轉變換矩陣，且RsRTs=I。而Rs∈SO（3），由此可得，針對一個單位矢量，空間中的任意其他單位矢量都可由該矢量與SO（3）群中的三維旋轉矩陣表示。

對式（24）求導，可得

s·x = R·ss0 = R·sR-1ssx = R·sRTssx

由上式可知：s·2=R·s2RTs2s2;s·3=R·s3RTs3s3。

如果2=（R·s2RTs2）∨，3=（R·s3RTs3）∨，則有

s·2=2×s2

s·3=3×s3 （25）

2.4 三維耦合制導律

將式（15）、式（23）和式（25）代入式（2），則有

ω·=-1Tgq·ds2-1Tgq·ts3+q·d（2×s2）+q·t（3×s3）（26）

簡化式（26），可得視線角運動學方程為

ω·=2×s2-1Tgs2q·d+3×s3-1Tgs3q·t（27）

從式（27）可知，在該制導律中，導彈速度向量的旋轉角速度與彈目視線高低角速度、彈目視線方位角速度成正比。

3 數(shù)值仿真示例

為驗證所設計制導律的有效性，對不同過載下的目標進行導彈攔截仿真驗證，參數(shù)設置如下。

導彈參數(shù)：導彈飛行速度vM=400 m/s，初始彈道傾角θ0=0°，初始彈道偏角ψc0=0°，初始位置坐標（xM，yM， zM）=（0，200，400）m。

目標參數(shù)：目標飛行速度vT=272 m/s，初始位置坐標（xT，yT，zT）=（7 000，0，500）m。

仿真1：目標做勻速直線運動nyt=0，nzt=0，仿真結果如圖2～5所示。

仿真2：目標做機動運動nyt=2g，nzt=0g，仿真結果如圖6～9所示。

仿真3：目標做機動運動nyt=2g，nzt=2g，仿真結果如圖10～13所示。

從仿真結果可以看出，針對不同機動方式和機動大小的目標，利用本文所設計的制導律，在耦合控制方式下，導彈能夠很好地攔截目標，且攔截過程比較平滑，整個制導過程中，制導指令的變化相對平穩(wěn)，側滑角度一直在零度左右波動，且收斂于一個非常小的角度。說明導彈整個飛行過程中，側滑幅度不大，而相比之下，滾轉角則有較大范圍的波動，但最后依然收斂，說明導彈飛行過程中，滾轉角度在不斷調整以適應對目標的攔截姿態(tài)，滿足傾斜轉彎要求。因此，所設計的制導律具有良好的制導效果。

4 結? 論

BTT導彈通道間的強耦合給BTT導彈的制導律設計提出了挑戰(zhàn)。本文針對BTT導彈制導律設計，給出了一種考慮通道耦合條件下的最優(yōu)三維耦合制導律。該制導律的設計利用李群理論將BTT導彈耦合項在李群空間中進行表達，克服了耦合項在笛卡爾坐標系中難以表達的缺點。在考慮滿足最優(yōu)性能指標以使導彈飛行軌跡盡量平穩(wěn)并減少能量消耗的基礎上，從俯仰平面、轉彎平面和耦合項三個方面對制導律進行了設計，從而獲得了針對BTT導彈的基于李群理論的三維耦合最優(yōu)制導律。通過不同機動條件下的目標攔截仿真實驗表明，所設計的制導律能夠有效實現(xiàn)對機動目標攔截，具有良好的制導性能。

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Three-Dimensional Coupling Optimal Guidance

Law Based on Lie Group Theory

Tu Ximei1，Zhou Shaobo2，Zhang Jinpeng3，4，Liu Yong5*

（1. Shanghai Aircraft Design and Research Institute，Shanghai 201210，China;

2. School of Aerospace Engineering，Xiamen University，Xiamen 361000，China;

3. China Airborne Missile Academy，Luoyang 471009，China;

4. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Guided Weapons，Luoyang 471009，China;

5.The Fifth Electronics Research Institute of the Ministry of Industry and Information Technology，Guangzhou 510610，China）

Abstract： Due to the existence of control coupling effect between channels for bank to turn （BTT） missile，the conventional two planar decoupling guidance law design approach is hard to satisfy the design requirement. In this paper，aiming at the three dimensional coupling guidance law design problem for BTT missile，Lie group theory is introduced into the coupling guidance design for air-to-air missile，where the rotational angular velocity of missile velocity vector can be expressed by the pitch angular velocity and the azimuth velocity of the line of sight between missile and target. At the meantime，considering to diminishing turning for missile during the guidance process to save energy，an optimal three-dimensional coupling guidance law is designed for BTT missile. Simulation results show that the presented guidance law is effective.

Key words： air-to-air missile; Lie group theory; optimal guidance; three-dimensional coupling guidance law

收稿日期：2020-06-21

基金項目：航空科學基金項目（20160168001）

作者簡介：涂喜梅（1973-），女，江西九江人，高級工程師，研究方向為飛行器設計。

通訊作者：劉勇（1975-），男，湖南衡陽人，高級工程師，研究方向為復雜系統(tǒng)建模與評價。

E-mail： lieying9702317@sina.com