程立， 董海平， 穆慧娜， 溫玉全， 張浩宇， 汪靖程

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081)

0 引言

火工品是一種含能元器件，每個(gè)火工品均存在一個(gè)臨界刺激量。當(dāng)外界施加的刺激量超過臨界刺激量時(shí)火工品發(fā)火；否則不發(fā)火。通常將某刺激量處的發(fā)火概率稱為該刺激量處的發(fā)火可靠度?；鸸て肥歉鞣N武器彈藥的首發(fā)元件，發(fā)火可靠性指標(biāo)很高。目前，國(guó)內(nèi)外科研工作者建立起了多種火工品發(fā)火可靠性評(píng)估方法，如計(jì)數(shù)法、計(jì)量法和計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合法等。

計(jì)數(shù)法又稱為非參數(shù)化方法，是在某刺激量處進(jìn)行發(fā)火試驗(yàn)并且記錄試驗(yàn)結(jié)果，然后根據(jù)二項(xiàng)分布或超幾何分布模型來評(píng)估火工品發(fā)火可靠性。計(jì)數(shù)法簡(jiǎn)單、直觀，但是試驗(yàn)樣本量大，試驗(yàn)成本高、試驗(yàn)周期長(zhǎng)。計(jì)量法又稱為參數(shù)化方法，它先利用感度試驗(yàn)數(shù)據(jù)來估計(jì)感度分布參數(shù)(均值和標(biāo)準(zhǔn)差)，然后基于火工品的感度分布特性推斷火工品在某刺激量處的發(fā)火可靠性。計(jì)量法與計(jì)數(shù)法相比，由于利用了火工品感度分布特性，能極大地降低樣本量，一般利用幾十發(fā)的樣本進(jìn)行試驗(yàn)就可以推斷火工品可靠度為0.999的發(fā)火可靠性指標(biāo)。相對(duì)計(jì)數(shù)法所需的大樣本量，計(jì)量法也被稱為小樣本方法。目前常用的計(jì)量法有升降法[1-2]、蘭利法[3]、OSTR法[4-5]、Wu[6]方法、D-最優(yōu)化法[7]和三步優(yōu)化設(shè)計(jì)法[8-9]等。這些計(jì)量法在進(jìn)行火工品發(fā)火可靠性的推斷過程中，都需要根據(jù)感度試驗(yàn)估計(jì)感度分布參數(shù)。但是，標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)通常都是有偏的[10]，而且計(jì)量法對(duì)發(fā)火可靠性推斷結(jié)果缺乏驗(yàn)證。

為了克服計(jì)數(shù)法和計(jì)量法的缺點(diǎn)，學(xué)者們開展了計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法的研究，試圖在小樣本的條件下提高火工品發(fā)火可靠性評(píng)估結(jié)果的精度。田玉斌等[10]、蔡瑞嬌等[11]、董海平等[12]開展了大量關(guān)于計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法[13]的理論和試驗(yàn)研究。他們首先利用升降法估計(jì)感度分布參數(shù)，并應(yīng)用糾偏系數(shù)[14]或Bootstrap方法[15]對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行糾偏，然后基于信息量等值原理計(jì)算某低刺激量，接著在該低刺激量處進(jìn)行少量樣本的計(jì)數(shù)發(fā)火試驗(yàn)，最后根據(jù)計(jì)數(shù)試驗(yàn)結(jié)果評(píng)估工作刺激量處的發(fā)火可靠性。與計(jì)量法相比，計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法在樣本量稍許增加的情況下提高了火工品可靠性的評(píng)估精度。

但是計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法仍需要依賴感度分布模型參數(shù)的估計(jì)值。統(tǒng)計(jì)理論認(rèn)為，計(jì)量感度試驗(yàn)方法對(duì)均值的估計(jì)是無偏的，但是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)是有偏的。即使對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)進(jìn)行了糾偏，也無法保證完全消除了標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)偏差對(duì)火工品發(fā)火可靠性評(píng)估結(jié)果的影響。

為了完全消除標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)偏差對(duì)火工品發(fā)火可靠性評(píng)估結(jié)果的影響，本文基于應(yīng)力- 強(qiáng)度干涉理論，提出一種基于感度分布均值的火工品小樣本發(fā)火可靠性評(píng)估方法。該方法只依賴火工品感度分布的均值估計(jì)，就可以在置信水平不變前提下，通過在低刺激量處進(jìn)行少量的計(jì)數(shù)試驗(yàn)，來評(píng)估火工品在工作刺激量處的發(fā)火可靠性。

1 基于感度分布均值的火工品小樣本可靠性評(píng)估原理

1.1 火工品發(fā)火的應(yīng)力- 強(qiáng)度干涉模型

在進(jìn)行火工品發(fā)火試驗(yàn)時(shí)，輸入刺激量通常被認(rèn)為是一個(gè)確定的值，然而實(shí)際上它會(huì)有一個(gè)不可控的小的變化。例如機(jī)械火工品受到撞擊作用起爆，雖然設(shè)計(jì)的撞擊力是個(gè)定值，但是由于設(shè)備、環(huán)境、材料以及人為因素等影響而造成每一次撞擊的力度都不同；再如電火工品受電激勵(lì)起爆，由于電源輸出在設(shè)計(jì)時(shí)本身存在不穩(wěn)定性，且隨著環(huán)境和存儲(chǔ)時(shí)間的變化，輸出電壓或電流也會(huì)發(fā)生波動(dòng)。因此，在某個(gè)標(biāo)稱值條件下的外界刺激量實(shí)際上是會(huì)波動(dòng)的，即具有隨機(jī)性，輸入刺激量可視為隨機(jī)變量?；鸸て返呐R界刺激量是它的固有屬性，即使對(duì)于同一型號(hào)同一批次的火工品，也會(huì)因藥劑顆粒度、敏感雜質(zhì)、裝配工藝等原因[16]而具有一定的隨機(jī)性。因此臨界刺激量是隨機(jī)變量，在火工品行業(yè)，臨界刺激量的分布稱為感度分布。針對(duì)這種外界刺激(應(yīng)力)與火工品本身的固有屬性(強(qiáng)度)之間的作用過程，可以采用應(yīng)力- 強(qiáng)度干涉模型[17]來描述。

分別建立外界輸入刺激量和臨界刺激量的分布，然后利用應(yīng)力- 強(qiáng)度干涉模型來研究火工品的發(fā)火可靠性[18]。設(shè)X為輸入刺激量，相應(yīng)的概率密度函數(shù)為f(x)，Y為火工品的臨界刺激量，相應(yīng)的概率密度函數(shù)為f(y)，x、y均為刺激量；當(dāng)X>Y時(shí)火工品發(fā)火，否則不發(fā)火。火工品發(fā)火的應(yīng)力- 強(qiáng)度干涉模型如圖1所示。圖1中，μY為火工品感度分布均值，μX2為刺激量X2的分布均值，μX1為刺激量X1的分布均值。

圖1 火工品發(fā)火應(yīng)力- 強(qiáng)度干涉模型Fig.1 Stress-strain interference model of explosive initiator

1.2 基于感度分布均值的火工品小樣本可靠性評(píng)估方法

火工品常見的感度分布有正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、邏輯斯諦分布和對(duì)數(shù)邏輯斯諦分布等。通?？砂褜?duì)數(shù)正態(tài)分布和對(duì)數(shù)邏輯斯諦分布分別轉(zhuǎn)化成正態(tài)分布和邏輯斯諦分布來處理。因此，火工品的感度分布可歸納為F(x；μ,σ)=G((x-μ)/σ)[19]，其中F是火工品在刺激量x處的發(fā)火可靠度，μ是感度分布均值，σ是感度分布標(biāo)準(zhǔn)差，G是分布類型。

對(duì)于隨機(jī)變量Z，當(dāng)μZ不變時(shí)，發(fā)火可靠度R隨σZ增加而單調(diào)下降。因此，當(dāng)σZ取上限值σU,Z時(shí)，對(duì)應(yīng)的發(fā)火可靠度為下限值，即

(1)

用計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法進(jìn)行可靠性評(píng)估時(shí)，先用計(jì)量法將刺激量X1處的可靠性指標(biāo)RL,1轉(zhuǎn)化為刺激量X2處的低可靠性指標(biāo)RL,2，然后根據(jù)計(jì)數(shù)法在X2處在相同置信水平下進(jìn)行一定量的發(fā)火試驗(yàn)來驗(yàn)證火工品可靠性是否達(dá)到RL,2，從而驗(yàn)證火工品是否滿足可靠性指標(biāo)RL,1.

設(shè)工作刺激量x1是刺激量X1的觀測(cè)值，低刺激量x2是刺激量X2的觀測(cè)值。假設(shè)火工品發(fā)火可靠性指標(biāo)為：在工作刺激量x1處置信水平為γ時(shí)的可靠度下限為RL，1.根據(jù)計(jì)量法，由(1)式得刺激量為X1、X2時(shí)的發(fā)火可靠度下限分別為

(2)

(3)

驗(yàn)證試驗(yàn)時(shí)，在相同置信水平下，在低刺激量x2處進(jìn)行n2發(fā)試驗(yàn)，失效數(shù)記為f2.根據(jù)經(jīng)典可靠性評(píng)估方法(計(jì)數(shù)法)，有

(4)

當(dāng)無失效即f2=0時(shí)，

(5)

(2)式中可靠性指標(biāo)RL，1是已知的，(3)式中低可靠性指標(biāo)RL，2是給定的，μZ1、σU,Z1和σU,Z2可以通過感度試驗(yàn)獲得。

火工品可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)中，一般要求零失效。將RL，2、σU,Z代入(3)式和(5)式即可得到刺激量μZ2對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)樣本量n2. 但是由于σU,Z是估計(jì)值，是有偏的，即使采用一些方法進(jìn)行了糾偏，也無法保證完全消除了偏差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

為了獲得更精確的計(jì)算結(jié)果，消除標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值偏差對(duì)可靠性評(píng)估結(jié)果的影響，將(2)式和(3)式取反函數(shù)并結(jié)合(5)式，得

(6)

從而可以得到可靠性驗(yàn)證試驗(yàn)時(shí)在給定低刺激量x2下對(duì)應(yīng)的樣本量n2為

(7)

當(dāng)(7)式中的分布采用正態(tài)分布時(shí)，正態(tài)分布函數(shù)為F(x；μ,σ)=Φ((x-μ)/σ)，其反函數(shù)用Φ-1(·)表示，(7)式可寫為

(8)

當(dāng)(7)式中的分布采用邏輯斯諦分布時(shí)，邏輯斯諦分布函數(shù)為

(9)

其反函數(shù)有顯式形式，(7)式可寫為

(10)

對(duì)于火工品可靠性評(píng)估，一般都要求無失效；如果允許失效，給出失效數(shù)f2，用(4)式代替(5)式，同樣可以得到刺激量和試驗(yàn)樣本量之間的函數(shù)關(guān)系。

2 應(yīng)用實(shí)例和大樣本對(duì)比驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的火工品小樣本可靠性評(píng)估方法的合理性，選擇常用的兩類火工品即機(jī)械激發(fā)火工品和電激發(fā)火工品進(jìn)行大、小樣本對(duì)比試驗(yàn)。首先采用升降法試驗(yàn)獲得感度分布均值，其次根據(jù)本文所提基于感度分布均值的小樣本可靠性評(píng)估方法確定驗(yàn)證試驗(yàn)的刺激量及對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)樣本量，然后進(jìn)行小樣本發(fā)火試驗(yàn)，獲得可靠性評(píng)估結(jié)果。接著進(jìn)行大樣本步進(jìn)法試驗(yàn)，檢驗(yàn)感度分布模型并估計(jì)感度參數(shù)，得到最小全發(fā)火刺激量，獲得大樣本可靠性評(píng)估結(jié)果。最后將大、小樣本試驗(yàn)的可靠性評(píng)估結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證小樣本方法的合理性。

2.1 針刺雷管大小樣本對(duì)比試驗(yàn)

某型針刺雷管的可靠性指標(biāo)為γ=0.90、R≥0.999，發(fā)火能量為球質(zhì)量7 g、落高8 cm.

根據(jù)國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 6478—2008火工品可靠性計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法[20]，針刺雷管屬于機(jī)械激發(fā)類火工品，其感度一般服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。對(duì)該針刺雷管進(jìn)行一組升降法試驗(yàn)，樣本量為50發(fā)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某型針刺雷管升降法試驗(yàn)數(shù)據(jù)

利用極大似然估計(jì)原理對(duì)表1中針刺雷管的升降法數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，求出均值參數(shù)估計(jì)值(對(duì)數(shù)值)為=0.795. 按文獻(xiàn)[21]的要求，火工品驗(yàn)證試驗(yàn)樣本量在置信水平0.90時(shí)不應(yīng)少于45發(fā)，機(jī)械類火工品散差比較大，驗(yàn)證試驗(yàn)樣本量不應(yīng)過少，因此用樣本量n2=90的針刺雷管進(jìn)行發(fā)火試驗(yàn)。通過(8)式計(jì)算出低刺激量x2，如果全發(fā)火則證明該針刺雷管滿足可靠性指標(biāo)。試驗(yàn)中取刺激量靈敏度δ為0.02 cm，則有δ/exp (μX)<1%，因此可以忽略刺激量分布模型的影響，即有l(wèi)nx1≈μX1，lnx2≈μX2. (8)式中，RL,1=0.999，γ=0.90，n2=90，μX1=ln8，μY=0.795，則可計(jì)算出μX2=1.607 8，從而可以得到低刺激量x2=exp(μX2)=4.99 cm. 取90發(fā)樣品在4.99 cm處進(jìn)行了發(fā)火試驗(yàn)，全部發(fā)火，判定落錘的落高為8 cm時(shí)該針刺雷管發(fā)火可靠性達(dá)到置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指標(biāo)。

為了驗(yàn)證小樣本方法的合理性，進(jìn)行大樣本步進(jìn)法試驗(yàn)，調(diào)節(jié)落錘高度作為刺激量，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 某型針刺雷管步進(jìn)法感度試驗(yàn)結(jié)果

從表2中可見，刺激量大于8個(gè)，發(fā)火率滿足0=r1

表3 某型針刺雷管χ2檢驗(yàn)結(jié)果

利用表2中的數(shù)據(jù)，采用極大似然原理對(duì)感度分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到極限百分位點(diǎn)的區(qū)間估計(jì)xU,0.999=5.13 cm.發(fā)火工況8 cm>5.13 cm，由此可以判定落錘的落高為8 cm時(shí)該針刺雷管發(fā)火可靠性達(dá)到置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指標(biāo)。

2.2 電點(diǎn)火頭大小樣本對(duì)比試驗(yàn)

某電點(diǎn)火頭的可靠性指標(biāo)為γ=0.90、R≥0.999，發(fā)火刺激量60 V.

根據(jù)國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB6478—2008火工品可靠性計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法，電點(diǎn)火頭感度一般服從邏輯斯諦分布。對(duì)電點(diǎn)火頭進(jìn)行升降法試驗(yàn)，樣本量為50發(fā)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 某電點(diǎn)火頭升降法試驗(yàn)數(shù)據(jù)

利用極大似然估計(jì)原理對(duì)表4中電點(diǎn)火頭的升降法數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，求出均值參數(shù)估計(jì)值=36.93V.

根據(jù)文獻(xiàn)[21]，火工品驗(yàn)證試驗(yàn)樣本量在置信水平0.90時(shí)不應(yīng)少于45發(fā)，電火工品一致性好、散差小，因此用樣本量n2=45的電點(diǎn)火頭進(jìn)行發(fā)火試驗(yàn)。通過(10)式計(jì)算出低刺激量x2，如果全發(fā)火則證明該電點(diǎn)火頭滿足可靠性指標(biāo)。試驗(yàn)中，刺激量靈敏度δ為0.1 V，則有δ/μX<1%，因此可以忽略刺激量的分布模型，即有x1≈μX1，x2≈μX2.(10)式中，RL,1=0.999，γ=0.90，n2=45，μX1=60 V，μY=36.93 V，則可計(jì)算出μX2=46.78 V，則低刺激量x2=46.8 V. 取45發(fā)樣品在46.8 V處進(jìn)行發(fā)火試驗(yàn)，結(jié)果是全部發(fā)火，由此可以判定發(fā)火刺激量為60 V時(shí)該電點(diǎn)火頭發(fā)火可靠性達(dá)到了置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指標(biāo)。

為了驗(yàn)證小樣本方法的合理性，進(jìn)行大樣本步進(jìn)法試驗(yàn)，調(diào)節(jié)電壓作為刺激量，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表5所示。

表5 某電點(diǎn)火頭步進(jìn)法試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

從表5中可見，刺激量大于8個(gè)，發(fā)火率滿足r1

根據(jù)國(guó)家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB/Z 377A—94感度試驗(yàn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，利用χ2檢驗(yàn)確定該型電點(diǎn)火頭感度分布類型，檢驗(yàn)結(jié)果如表6所示。從表6中可知，4種火工品常見分布假設(shè)都不能通過χ2檢驗(yàn)。根據(jù)GJB 6478—2008火工品可靠性計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法，如果火工品有多種感度分布模型通過χ2檢驗(yàn)或者4種分布模型都沒有通過χ2檢驗(yàn)，則選擇χ2值最小的分布作為該火工品最接近的感度分布模型。表6中邏輯斯諦分布假設(shè)計(jì)算得到的χ2最小，因此可認(rèn)為該電點(diǎn)火頭的感度最接近服從邏輯斯諦分布。

表6 電點(diǎn)火頭χ2檢驗(yàn)結(jié)果

利用表5中的數(shù)據(jù)，采用極大似然原理對(duì)感度分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到極限百分位點(diǎn)區(qū)間估計(jì)的置信上限為U,0.999=49.66 V. 發(fā)火工況60 V>49.66 V，由此可以判定發(fā)火刺激量為60 V時(shí)該電點(diǎn)火頭發(fā)火可靠性達(dá)到了置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指標(biāo)。

上面兩個(gè)實(shí)例中，本文提出的小樣本方法采用了更少的試驗(yàn)樣本量并且與大樣本步進(jìn)法的可靠性評(píng)估結(jié)果一致，都驗(yàn)證了文中針刺雷管和電點(diǎn)火頭滿足可靠性指標(biāo)，表明本文提出的小樣本評(píng)估方法是可行的、合理的。

3 結(jié)論

本文在計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合應(yīng)力- 強(qiáng)度干涉模型，提出了基于感度分布均值的火工品小樣本可靠性評(píng)估方法。該方法與計(jì)量法或計(jì)量- 計(jì)數(shù)綜合評(píng)估方法相比，不依賴火工品感度分布的標(biāo)準(zhǔn)差，不需要對(duì)刻度參數(shù)進(jìn)行糾偏，僅利用感度分布均值就可進(jìn)行可靠性評(píng)估，操作更簡(jiǎn)單，試驗(yàn)樣本量少。對(duì)于機(jī)械類火工品，最少僅需140發(fā)樣本量就能對(duì)0.999(置信水平0.90)的可靠性指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估；對(duì)于電火工品，最少僅需95發(fā)樣本量就能對(duì)0.999(置信水平0.90)的可靠性指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估。