孫遠(yuǎn)， 張良， 鄧有杞， 李宋， 張淇媛， 張威

(北京大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 北京 100871)

0 引言

半導(dǎo)體橋(SCB)因具有體積小、發(fā)火能量低、作用速度快、可大量同時使用、同步性好[1]等優(yōu)點，近年來逐漸成為點火器技術(shù)的研究熱點。SCB的主要工作原理是將電能轉(zhuǎn)化為熱能，因此其溫度特性對其發(fā)火性能有著重要影響。

在對SCB進(jìn)行熱響應(yīng)分析時所建立的模型可分為集總模型和穩(wěn)態(tài)傳熱模型。強濤等[3]利用集總模型對器件的安全電流進(jìn)行了預(yù)測，但是該模型比較簡單，不能預(yù)測橋區(qū)溫度的非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，且集總熱散失系數(shù)對其影響較大，而熱散失系數(shù)與溫度有關(guān)，因此通以不同的電流時該模型偏差較大。楊貴麗等[4]通過穩(wěn)態(tài)半球傳熱模型分析了恒流激勵下SCB的能量傳遞原理以及實驗現(xiàn)象，確定熔點是恒流激勵時SCB的爆發(fā)點，得出了臨界發(fā)火電流的理論計算公式。但其將圓柱形陶瓷塞簡化成半球形以簡化邊界條件，假設(shè)藥劑、SCB和陶瓷塞的接觸面溫度相同，與實際情況相差較大。Lee等[5]建立了穩(wěn)態(tài)傳熱時SCB的安全電流模型，將橋區(qū)視為點熱源，因為橋具有低導(dǎo)熱性，所以主要考慮熱量散失到等效半球形的基底中，但其考慮邊界條件時認(rèn)為基底半徑無窮大處溫度等于室溫，未考慮實際封裝尺寸。

由于集總模型和穩(wěn)態(tài)模型不能體現(xiàn)升溫速度等結(jié)果，本文提出一種基于格林函數(shù)的SCB三維非穩(wěn)態(tài)傳熱模型，對于印刷電路板(PCB)封裝的SCB器件，考慮其6個散熱面均處于第三類邊界條件，利用格林函數(shù)求解SCB在恒流激勵下的溫度響應(yīng)，并與實驗結(jié)果對比，具有較好一致性。

1 基于格林函數(shù)的三維非穩(wěn)態(tài)傳熱模型

1.1 格林函數(shù)

格林函數(shù)法是求解線性熱傳導(dǎo)問題的經(jīng)典方法。對于非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題，格林函數(shù)描述了非穩(wěn)態(tài)局部熱脈沖引起的溫度增量。

對于求解線性熱傳導(dǎo)問題，如本文要討論的SCB傳熱問題，格林函數(shù)有以下優(yōu)點[6]：

1)對于長方體PCB封裝，每兩個對稱散熱面的邊界條件所產(chǎn)生的溫度增量相加后抵消，使用溫度增量替換溫度值可使初始狀態(tài)產(chǎn)生的溫度增量為0，因此只需考慮內(nèi)部熱源即SCB熱源產(chǎn)生的影響；

2)PCB的6個散熱面具有相同的第三類邊界條件，通過建立直角坐標(biāo)系，可以查找相應(yīng)的特征函數(shù)和特征根；

3)在建立直角坐標(biāo)系后，可將PCB的3個方向邊界條件的一維格林函數(shù)相乘，得到整個傳熱系統(tǒng)的三維格林函數(shù)。

1.2 物理模型及基本假設(shè)

采用的SCB器件結(jié)構(gòu)如圖1所示，電流經(jīng)鋁電極流入SCB橋區(qū)并產(chǎn)生焦耳熱，橋區(qū)向塑封殼、二氧化硅層、硅基底傳熱至PCB散熱板，同時整個器件向空氣散熱。由于SCB橋區(qū)、二氧化硅層、鋁電極、硅基底和塑封殼相對于PCB而言太小，尺寸相差2～3個數(shù)量級，同時紅外測溫實驗觀察到上述小尺寸區(qū)域的溫度一致，溫降主要發(fā)生在PCB區(qū)域，因此忽略橋區(qū)、二氧化硅層、鋁電極、硅基底以及塑封殼的傳熱過程，將散熱視作由PCB完成。建立直角坐標(biāo)系如圖2所示，其中：z軸為厚度方向，x軸為長度方向，y軸為寬度方向，H為PCB在z軸方向的長度即厚度；W為PCB在y軸方向的長度即寬度；L為PCB在x軸方向的長度即長度；L1為熱源在x軸方向的下邊界；L2為熱源在x軸方向的上邊界；W1為熱源在y軸方向的下邊界；W2為熱源在y軸方向的上邊界；H1為熱源在z軸方向的下邊界；H2為熱源在z軸方向的上邊界。為了簡化邊界條件，將橋區(qū)因焦耳定律產(chǎn)生的熱量視為由一個長方體均勻熱源產(chǎn)生，該長方體熱源位于PCB內(nèi)部靠近表面處，與PCB共用z=0 mm平面，即圖2模型示意圖中的紅色部分。

圖1 SCB器件結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of semiconductor bridge device

圖2 模型示意圖Fig.2 Model

由于PCB體積相對于SCB特別大，邊界條件只考慮PCB與空氣的對流散熱，共歸納為4條基本假設(shè)。

1)將熱源部分簡化為長方體，熱流密度q=I2R/V，其中V為長方體體積，I和R分別為電流和電阻；

2)PCB所有界面均處于第三類對流散熱邊界條件；

3)僅考慮熱傳導(dǎo)一種傳熱方式，忽略其他傳熱方式，例如熱輻射；

4)傳熱過程中PCB的導(dǎo)熱系數(shù)、密度、比熱容等均不隨溫度變化。

1.3 求解過程及結(jié)果

在圖2坐標(biāo)系下建立方程(1)式～(5)式，其中：(1)式為PCB模型的熱傳導(dǎo)方程；(2)式～(4)式為PCB 3個方向上的邊界條件；(5)式為初始溫度條件。

(1)

(2)

(3)

(4)

T(r,t)=T0,t=0.

(5)

令ΔT=T-T0，進(jìn)行變量替換，最終只需將溫度增量ΔT加上初始溫度T0，即可得到實際溫度。引入格林函數(shù)對模型進(jìn)行計算，則上述公式轉(zhuǎn)變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

(6)

(7)

(8)

(9)

G(r,t|r′,τ)=0,t<τ.

(10)

式中：G為格林函數(shù)；δ為沖激函數(shù)；r′為熱源處的空間三維坐標(biāo)；τ為r′處熱源產(chǎn)生熱量的時刻。類似地，(6)式為該模型格林函數(shù)形式的熱傳導(dǎo)方程，(7)式～(9)式為邊界條件，(10)式為初始條件。根據(jù)格林函數(shù)推導(dǎo)過程，最終溫度分為3個部分產(chǎn)生影響的和[6]：

T(r,t)=ΔTi(r,t)+ΔTg(r,t)+ΔTb(r,t)，

(11)

式中：ΔTi(r,t)為初始溫度的影響；ΔTg(r,t)為內(nèi)部熱源的影響；ΔTb(r,t)為邊界條件的影響。對于等號右邊第1項，由于已經(jīng)使用ΔT=T-T0進(jìn)行了變量替換，相當(dāng)于使初始溫度等于0 ℃，因此ΔTi(r,t)為0 ℃；對于第3項，由于所有邊界條件均為第三類邊界條件，同一方向上兩側(cè)邊界條件的影響相加后抵消，因此ΔTb(r,t)也為0 ℃. 從而這個模型的最終溫度增量僅需考慮內(nèi)部橋區(qū)長方體熱源的影響，即

(12)

式中：v表示整個體積；v′表示體積微分元。

對于直角坐標(biāo)系，(12)式中的r可替換為x、y、z且對3個坐標(biāo)軸方向分別進(jìn)行積分后再相乘，即

(13)

式中：x′、y′、z′為熱源坐標(biāo)；(x′,t|x′,τ)為τ時刻x′處的點熱源對t時刻x處溫度產(chǎn)生的影響，(y′,t|y′,τ)、(z′,t|z′,τ)類似；Gx為x軸方向的格林函數(shù)；Gy為y軸方向的格林函數(shù)；Gz為z軸方向的格林函數(shù)。由(13)式可分別獲得3個坐標(biāo)軸方向的格林函數(shù)方程，根據(jù)理論計算與總結(jié)可得到這些方程的解[6]。由于所有邊界條件均為第三類邊界條件，因此計算過程類似。例如在x軸方向上，當(dāng)x=0 mm和x=L時，均處于第三類邊界條件，此時x軸方向的格林函數(shù)解為

(14)

式中：m為特征根序號；kx為x軸方向的熱傳導(dǎo)系數(shù)；特征根βm為以下超越方程的根，

(15)

同樣，y軸和z軸方向的解也有類似形式，不一一寫出。

考慮硅的電阻率會隨著溫度升高產(chǎn)生變化，最終影響焦耳效應(yīng)的產(chǎn)熱量，由假設(shè)(1)式，長方體熱源的單位體積熱功率為

(16)

式中：R0為初始電阻；a為溫度系數(shù)；ΔT為溫度增量。由(16)式可以看出，單位體積熱功率q可以分為兩部分，其中：第1項I2R0/V為常數(shù)，代表由初始電阻產(chǎn)生的熱量；第2項與溫度增量ΔT有關(guān)，設(shè)T0為初始電阻產(chǎn)生的溫度增量，該部分溫度增量造成的電阻變化產(chǎn)生的溫度增量為T1，最終溫度增量為這兩部分的和，即最終溫度增量為

ΔT(x,y,z,t)=T0(x,y,z,t)+T1(x,y,z,t)，

(17)

式中：

(18)

(19)

事實上，溫度增量T1造成的電阻變化進(jìn)而可以導(dǎo)致溫度增量T2，T2造成的電阻變化進(jìn)而可以導(dǎo)致溫度增量T3，依此類推。這里為簡化計算，只考慮初始電阻對溫度增量造成的影響即T0和T1，最終結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)較為符合。聯(lián)立(12)式～(19)式，可獲得SCB在不同時刻的溫度增量。本文使用計算軟件Maple聯(lián)立公式并得出溫度值。模型中涉及到的關(guān)鍵參數(shù)取值如表1所示。

表1 關(guān)鍵參數(shù)取值

因為PCB板在x軸、y軸、z軸方向的熱傳導(dǎo)系數(shù)不一致，因此在計算熱擴散系數(shù)α?xí)r，使用導(dǎo)熱系數(shù)的幾何平均值k[10]，即k=(kxkykz)1/3,則α=(kxkykz)1/3/(ρc)。

最后所得溫度應(yīng)為在x軸、y軸、z軸方向上特征根的無限求和，經(jīng)過實際計算，當(dāng)m取值到4時，最終溫度的變化不再大范圍波動，因此在此次求解過程中求和至m=4，經(jīng)過Maple軟件計算，x軸、y軸、z軸方向上的前4個特征根取值如表2所示，結(jié)果取3位有效小數(shù)，其中γm為y軸方向的特征根；λm為z軸方向的特征根。

表2 特征根取值

最終解出在不同電流激勵下，SCB的最高溫度隨時間變化如圖3所示。取模型橋區(qū)表面中點即(L1/2+L2/2,W1/2+W2/2,0 mm)處為溫度最高點位置。

圖3 不同電流下的溫度變化圖(模型計算值)Fig.3 Change in temperatures at different currents (calculated values)

由圖3可知，在不同電流激勵下，SCB在60 s時溫度趨于穩(wěn)定。

輸入電流為800 mA，時間為120 s時，z=0 mm界面上的溫度分布如圖4所示。

圖4 表面溫度分布圖Fig.4 Surface temperature distribution

由圖4可以看出：時間為120 s時，在z=0 mm界面上，溫度在橋區(qū)表面中心處溫度最高；在橋區(qū)之外，隨著PCB向邊界傳熱以及從表面向空氣對流散熱，溫度逐漸降低。溫度出現(xiàn)凹坑區(qū)域是由格林函數(shù)的累加特性導(dǎo)致的，無法避免。圖4較為符合實際情況，進(jìn)一步說明了本文模型的正確性。

2 紅外攝像儀實驗結(jié)果對比

2.1 實驗方法

紅外攝像儀是一種測量物體發(fā)出的紅外輻射從而檢測溫度的裝置[11]。測溫時將紅外攝像儀對準(zhǔn)SCB，然后設(shè)定恒流源電流大小，并在分析軟件中設(shè)定觸發(fā)條件。由于室溫為20 ℃，設(shè)置觸發(fā)溫度為25 ℃. 當(dāng)記錄時間到達(dá)150 s時，橋區(qū)溫度基本不變，橋區(qū)電阻不再變化，此時結(jié)束錄制。在對SCB通電的同時開始記錄升溫過程，同時用電壓表測量SCB的電壓。記錄數(shù)據(jù)時由于發(fā)熱部位主要在橋區(qū)，因此選取橋區(qū)作為主要研究對象，并選擇記錄最高溫度模式，在軟件中觀察到記錄點位于橋區(qū)中心,即橋區(qū)中心處溫度最高。分析溫度區(qū)間設(shè)置為0～500 ℃，測溫實驗共采用5支樣品。

2.2 實驗設(shè)備及校準(zhǔn)

本文采用的紅外攝像儀由北京理工大學(xué)提供，按照國家計量技術(shù)規(guī)范JJF 1187—2008熱像儀校準(zhǔn)規(guī)范進(jìn)行示值誤差和測溫一致性校準(zhǔn)，其中測溫一致性實驗測溫點分布如圖5所示。

紅外攝像儀型號為美國FLIR SYSTEM公司生產(chǎn)的Thermo Vision SC300-Series，并加配一個22 mm的顯微鏡頭，以便對微米尺寸的SCB進(jìn)行測量。使用配套的分析軟件，直接實時地對溫度進(jìn)行記錄并分析。實驗裝置示意圖如圖6所示。

圖6 實驗裝置示意圖Fig.6 Experimental equipment

2.3 實驗結(jié)果

以樣品1為例，在400 mA、500 mA、600 mA、700 mA、800 mA的恒流激勵下，樣品的最高溫度隨時間變化如圖7所示，實驗時發(fā)現(xiàn)最高溫度出現(xiàn)在橋區(qū)表面中心區(qū)域。

圖7 樣品1在不同電流下的最高溫度變化圖(實驗值)Fig.7 Change in temperatures at different currents (experimental values)

由圖7可見：橋區(qū)的最高溫度隨著電流激勵的增大而增大，因為在這段時間內(nèi)，電流通過SCB產(chǎn)生的焦耳熱大于SCB通過自身和PCB板向空氣散失的熱量；60 s左右，電流產(chǎn)生的熱量與散失的熱量達(dá)到動態(tài)平衡，最后溫度穩(wěn)定在最高溫度，不再增加；當(dāng)電流激勵增大時，熱動態(tài)平衡所需的時間更長。

同樣地，其余4支樣品具有相同的變化趨勢，其最高溫度如表3所示。

表3 不同樣品在不同電流激勵下的最高溫度

從表3中的標(biāo)準(zhǔn)差可以看出，隨著電流的增加，SCB的最高溫度偏差增大，因此在大電流激勵下，樣品最高溫度的差異性更明顯。這是因為每個SCB的工藝加工環(huán)境不完全相同，導(dǎo)致其電阻溫度系數(shù)不同，在大電流下，積聚熱量越多，其溫度系數(shù)造成的溫度變化更明顯。

2.4 理論模型與實驗數(shù)據(jù)對比

選取樣品1且施加電流為800 mA的典型情況，對施加相同電流時的模型仿真溫度變化曲線與實驗溫度響應(yīng)曲線進(jìn)行對比分析，結(jié)果如圖8所示。

圖8 溫度仿真值與實驗值對比Fig.8 Comparison between simulated and experimental temperatures

由圖8中兩條曲線對比可知，仿真與實驗的溫度變化趨勢一致，在60 s后溫度都基本穩(wěn)定，但是實驗值始終大于仿真值，尤其在初始階段的相對誤差較大。分析原因有：該模型將熱源置于PCB內(nèi)部，相當(dāng)于等效加強了SCB與PCB的傳熱效果，實際上SCB附著在PCB表面，從橋區(qū)熱源傳熱到PCB存在延遲，因為紅外測量的最高溫度是橋區(qū)表面溫度，所以會使得實際升溫速度始終略高于模型；實驗時由于紅外攝像儀自身發(fā)熱，測量低溫時，紅外傳感器接收到鏡頭部分的紅外輻射，導(dǎo)致測量得到的溫度略高于橋區(qū)的實際溫度，對后續(xù)傳熱過程也有影響，但隨著橋區(qū)溫度的升高，這部分影響逐漸減小至忽略不計。

將施加不同電流時實驗的最高溫度與仿真的最高溫度進(jìn)行對比分析，如表4所示。

表4 對比模型與實驗在不同電流下的最高溫度

由表4可見，模型仿真所得最高溫度與實驗最高溫度的最大溫度差不超過4 ℃，在300 mA時偏差百分比最大，隨著電流的增大，溫度偏差百分比越來越小，這與紅外攝像儀的測溫原理有關(guān)：紅外攝像儀由傳感器從鏡頭接受物體的紅外輻射后進(jìn)行信號處理得到溫度，在橋區(qū)表面溫度較低時，紅外攝像儀的自身發(fā)熱使得鏡頭溫度升高，最終傳感器接收到的紅外輻射中，鏡頭部分的影響不可忽略，使得最終的測量值偏高，當(dāng)橋區(qū)表面溫度升高時，鏡頭部分的影響迅速減小，因此該非穩(wěn)態(tài)傳熱模型對于預(yù)測在較大電流下的溫度變化更為準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

對于PCB封裝的SCB傳熱問題，本文將格林函數(shù)法應(yīng)用于建模過程，提出一種SCB三維非穩(wěn)態(tài)傳熱模型。進(jìn)行了SCB測溫實驗，將模型計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比后較為一致，驗證了該傳熱模型的準(zhǔn)確性。針對長方體形的PCB封裝，使用格林函數(shù)法能考慮全部6個散熱面的邊界條件，與半球模型忽略SCB一側(cè)散熱平面且將圓柱形陶瓷塞外殼近似為半球形的邊界條件相比，更為接近真實情況。針對PCB封裝SCB的安全電流要求，可使用該模型分析傳熱情況，并結(jié)合使用藥劑的熱分解溫度等，對設(shè)計起到參考作用。