侯紅衛(wèi)，謝 儀

(1.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.中國(guó)人民銀行 烏魯木齊中心支行，烏魯木齊 830000)

投資者進(jìn)行股票投資最直接的動(dòng)機(jī)是獲得理想回報(bào)，故而投資決策的目標(biāo)是收益的最大化。然而，收益和風(fēng)險(xiǎn)是正相關(guān)的，股市的波動(dòng)一方面帶來(lái)了投資收益，另一方面也帶來(lái)了很高的投資風(fēng)險(xiǎn)，二者互相依存。我國(guó)的證券市場(chǎng)近年來(lái)一直處于高速發(fā)展過(guò)程中，但其系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)依然很大，投資者一直在尋求能夠獲得穩(wěn)定收益的方法，尤其是當(dāng)指數(shù)化基金、股指期貨、ETF等衍生產(chǎn)品的不斷推出，指數(shù)化投資被越來(lái)越多的人所關(guān)注。指數(shù)跟蹤作為指數(shù)化投資的具體管理形式，可以有效地指導(dǎo)股指期現(xiàn)套利、指數(shù)投資產(chǎn)品的設(shè)計(jì)等[1]。

股票指數(shù)跟蹤，是指用一定方法構(gòu)建投資組合以復(fù)制和跟蹤某一市場(chǎng)指數(shù)為目標(biāo)，來(lái)獲得與之相同的市場(chǎng)平均收益。由于其分散化、被動(dòng)式管理等優(yōu)點(diǎn)，不但可以充分消除系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，還可以大大降低交易成本。因此，如何構(gòu)建一個(gè)合理的股票投資組合并使其擁有較小的跟蹤誤差便成了一個(gè)重要問(wèn)題。股票指數(shù)跟蹤技術(shù)主要需要解決兩方面問(wèn)題，一方面需要選取組合中的成分股，一方面需要確定成分股在組合中的權(quán)重。楊國(guó)梁等[2]將數(shù)學(xué)上處理高維變量選擇問(wèn)題的Lasso方法運(yùn)用于股票投資組合構(gòu)建中，取得了現(xiàn)有文獻(xiàn)最好的跟蹤效果。然而，Lasso方法本身確實(shí)存在一些缺陷。首先，若股票收益率存在嚴(yán)重共線性時(shí)，Lasso的選擇效果會(huì)被削弱，其次是Lasso方法并不具有Oracle性質(zhì)，而具備Oracle性質(zhì)可以使得系數(shù)向量更接近真實(shí)值，且估計(jì)具有漸進(jìn)相合性。ZOU[3]提出了Adaptive Lasso，該方法不但沿襲了Lasso方法的諸多優(yōu)點(diǎn)，而且能有效減少模型參數(shù)估計(jì)的有偏性，具有Oracle性質(zhì)。因此，將Adaptive Lasso方法運(yùn)用于跟蹤指數(shù)的股票選擇中是一種很好的嘗試。

1 指數(shù)跟蹤方法

1.1 指數(shù)跟蹤基本方法

現(xiàn)有的指數(shù)跟蹤方法，按照原理不同，主要可以分完全復(fù)制法與不完全復(fù)制法兩類。完全復(fù)制法是指購(gòu)買標(biāo)的指數(shù)中所有證券，并且各成分證券的權(quán)重完全復(fù)制標(biāo)的指數(shù)的權(quán)重。其優(yōu)點(diǎn)是能獲得與標(biāo)的指數(shù)相同的收益，擁有最小的跟蹤誤差，缺點(diǎn)是當(dāng)指數(shù)構(gòu)成變化時(shí)必須及時(shí)調(diào)整，從而產(chǎn)生非常高的交易成本。不完全復(fù)制法是指購(gòu)買標(biāo)的指數(shù)中的部分證券，使得收益率偏差在可控范圍內(nèi)，行業(yè)抽樣配置法、市值占比法等都屬于不完全復(fù)制法。由于不完全復(fù)制法可達(dá)到用較少證券獲得較好跟蹤效果的優(yōu)勢(shì)，因此國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了很多關(guān)于不完全復(fù)制法的研究。ROLL[4]基于Markowitz均值-方差模型，通過(guò)最小化指數(shù)跟蹤誤差與投資組合來(lái)確定成分證券的權(quán)重；ZORIN et al[5]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)運(yùn)用于指數(shù)跟蹤方法也得到不錯(cuò)的結(jié)果，Corielli與Marcellino基于動(dòng)態(tài)因子模型研究也解決了構(gòu)建投資組合的問(wèn)題。

1.2 Adaptive Lasso方法

1.2.1Adaptive Lasso簡(jiǎn)介

Adaptive Lasso的形式為：

1.2.2Adaptive Lasso的算法實(shí)現(xiàn)

EFRON et al[6]提出的最小角回歸算法(least angle regression，LARS)有效解決了此模型的求解問(wèn)題；FAN et al[7]提出的循環(huán)坐標(biāo)下降算法(cyclic coordinate descent，CCD)利用模型稀疏性的假定，算法簡(jiǎn)單運(yùn)行快速；他還提出LQA方法對(duì)目標(biāo)函數(shù)采用局部二次近似，然后采用Newton-Raphson迭代算法也可以十分便捷的得到計(jì)算結(jié)果。本文實(shí)證研究部分主要利用R軟件的lqa package，其采用的就是LQA算法。LQA算法的數(shù)學(xué)思想描述如下：

記Adaptive Lasso的懲罰函數(shù)為pλ(|βj|)，pλ(|βj|)=λwj|βj|.

那么Adaptive Lasso懲罰函數(shù)的二階Taylor近似展開(kāi)函數(shù)為：

利用Newton-Raphson迭代算法，給可以出一個(gè)不含懲罰項(xiàng)的似然估計(jì)初始值β(0)，Adaptive Lasso就轉(zhuǎn)換成了下面的形式的迭代求解問(wèn)題：

當(dāng)‖β(k)-β(k-1)‖<η時(shí)，算法終止，其中η可以取一個(gè)很小的正值。

2 Adaptive Lasso方法選擇股票及實(shí)證分析

Y=Xβ+ε.

2.1 樣本數(shù)據(jù)的選取

本文選擇的指數(shù)跟蹤對(duì)象為滬深300指數(shù)，選取了2015年8月3日—2017年10月28日，538個(gè)交易日的滬深300指數(shù)及各成分股的日收益率數(shù)據(jù)，其中2015年8月3日—2017年4月28日，共422個(gè)交易日為樣本內(nèi)區(qū)間，2017年5月5日—2017年10月28日，共116個(gè)交易日為樣本外區(qū)間，用以檢測(cè)跟蹤效果。數(shù)據(jù)來(lái)源為網(wǎng)易財(cái)經(jīng)。

2.2 Adaptive Lasso變量選擇結(jié)果分析

基于Adaptive Lasso的基本思想，在R軟件中運(yùn)用LQA方法編程，便可同時(shí)實(shí)現(xiàn)股票的選擇與權(quán)重的估計(jì)。圖1-圖3為100只股票，50只股票，30只股票的篩選過(guò)程。

圖1 100只股票的篩選過(guò)程

圖2 50只股票的篩選過(guò)程

圖3 30只股票的篩選過(guò)程

由圖1-圖3可以看出，Adaptive Lasso可以得到稀疏模型，隨著參數(shù)的增大，一部分系數(shù)被壓縮為0，即沒(méi)有入選的股票所對(duì)應(yīng)的系數(shù)β=0，入選的股票所對(duì)應(yīng)的系數(shù)β>0，表1-表3為篩選出的股票名稱及其權(quán)重系數(shù)。

2.3跟蹤結(jié)果分析

為了對(duì)股票組合的跟蹤效果進(jìn)行評(píng)估，本文從相關(guān)系數(shù)、跟蹤誤差、最大正向誤差和最大負(fù)向誤差這4個(gè)方面驗(yàn)證分析，并比較了樣本內(nèi)區(qū)間與樣本外區(qū)間的跟蹤效果，如表4、表5所示。

表1 Adaptive Lasso選出的30只股票及權(quán)重系數(shù)

表2 Adaptive Lasso選出的50只股票及權(quán)重系數(shù)

表3 Adptive Lasso選出的100只股票及權(quán)重系數(shù)

表4 樣本內(nèi)指數(shù)跟蹤效果

表5 樣本外指數(shù)跟蹤效果

結(jié)果顯示，采用Adaptive Lasso方法構(gòu)建股票組合，無(wú)論是30只、50只還是100只，都取得了非常好的跟蹤效果。由樣本內(nèi)與樣本外跟蹤結(jié)果可看出：1) 相關(guān)系數(shù)均保持在0.96以上，說(shuō)明成分股與滬深300指數(shù)相關(guān)程度很高，即指數(shù)跟蹤的風(fēng)險(xiǎn)很小。2) 跟蹤誤差均可以控制在0.4%之內(nèi)，指數(shù)擬合復(fù)制效果很好。3) 隨著成分股的數(shù)量增多，相關(guān)系數(shù)增大，跟蹤誤差及最大正向誤差和最大負(fù)向誤差減小，說(shuō)明成分股越多跟蹤效果越好，這是顯然的。4) 從整體看來(lái)，樣本內(nèi)指數(shù)跟蹤效果要優(yōu)于樣本外指數(shù)跟蹤效果，雖然樣本外各指標(biāo)數(shù)據(jù)都有一定的下降，但是幅度并不大，預(yù)測(cè)能力也是較強(qiáng)的。

3 結(jié)論

在瞬息萬(wàn)變的股票市場(chǎng)中，尋求一種性能良好的跟蹤方法對(duì)目標(biāo)指數(shù)進(jìn)行有效跟蹤，以此構(gòu)建最佳股票組合，對(duì)于所有投資者而言具有十分重要的意義。本文將處理高維數(shù)據(jù)變量選擇的Adaptive Lasso方法，運(yùn)用于指數(shù)跟蹤，同時(shí)完成了股票投資組合中成分股的選取與權(quán)重系數(shù)的估計(jì)問(wèn)題。在實(shí)證分析部分中，利用Adaptive Lasso方法選擇股票對(duì)滬深300指數(shù)進(jìn)行跟蹤，并從跟蹤誤差、相關(guān)系數(shù)等方面來(lái)衡量。通過(guò)比較可以看出，Adaptive Lasso方法可以達(dá)到比較理想的跟蹤效果，具有一定的實(shí)用性，這也為金融市場(chǎng)的股票組合投資選擇提供了一種新的方法。投資者進(jìn)行股票投資最直接的動(dòng)機(jī)是獲得理想回報(bào)，故而投資決策的目標(biāo)是收益的最大化。然而，收益和風(fēng)險(xiǎn)是正相關(guān)的，股市的波動(dòng)一方面帶來(lái)了投資收益，另一方面也帶來(lái)了很高的投資風(fēng)險(xiǎn)，二者互相依存。我國(guó)的證券市場(chǎng)近年來(lái)一直處于高速發(fā)展過(guò)程中，但其系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)依然很大，投資者一直在尋求能夠獲得穩(wěn)定收益的方法，尤其是當(dāng)指數(shù)化基金、股指期貨、ETF等衍生產(chǎn)品的不斷推出，指數(shù)化投資被越來(lái)越多的人所關(guān)注。指數(shù)跟蹤作為指數(shù)化投資的具體管理形式，可以有效的指導(dǎo)股指期現(xiàn)套利、指數(shù)投資產(chǎn)品的設(shè)計(jì)等。