孫玉鑫，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

1 引言和預(yù)備知識

自從Mustafa和Sims[1]在2006年首次引入了廣義度量空間(簡稱為G-度量空間)的概念以來,學(xué)者們深入研究了G-度量空間中的不動點問題, 在此空間中獲得了許多具有重要意義的不動點和公共不動點定理[2-3].2007年, Sedghi和Rao等[4]引入了D*-度量空間的概念并證明了一些基本性質(zhì).2012年,Sedghi和Shobe等[5]引入了S-度量空間的概念,它是G-度量空間和D*-度量空間概念的進一步推廣.此后,人們在S-度量空間中進一步深入研究了各類映象不動點的存在性和唯一性問題,獲得了許多有意義的研究結(jié)果[6-7].最近,Kim等[8]在S-度量空間中引入了弱交換和R-弱交換映象的概念,并利用R-弱交換的概念證明了一類自映象對的公共不動點定理.受以上文獻的啟發(fā),本文在S-度量空間中使用R-弱交換條件,證明了兩個映象的一個新的公共不動點定理,所得結(jié)果是文獻[8]中相關(guān)結(jié)果的進一步改進和發(fā)展.

定義1[5]設(shè)X是一非空集合,S:X×X×X→[0,∞)是一個三元函數(shù),且對任意的x,y,z,a∈X,滿足以下條件：

(1)S(x,y,z)=0?x=y=z;

(2)S(x,y,z)≤S(x,x,a)+S(y,y,a)+S(z,z,a).

則稱函數(shù)S是X上的一個S-度量,稱(X,S)是一個S-度量空間.

注1每個對稱G-度量空間一定是D*-度量空間,而每個D*-度量空間也一定是S-度量空間,但反之不成立[5].

例1[5]設(shè)R為實直線，對于所有的x,y,z∈R,定義S(x,y,z)=|x-z|+|y-z|,則S(x,y,z)是R上的一個S-度量空間.

例2[5]設(shè)X=Rn,我們定義S(x,y,z)=‖y+z-2x‖+‖y-z‖,則S是X上的一個S-度量,但不是D*-度量.

定義2[5]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間.對于r>0和x∈X,定義球心為x、半徑為r的開球Bs(x,r)和閉球Bs[x,r],表示如下:

Bs(x,r)={y∈X:S(y,y,x)

由S-度量誘導(dǎo)出的拓?fù)涫荴中所有開球生成的拓?fù)?

定義3[5]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間.

(1) 序列{xn}?X,x∈X,若limn→∞S(xn,xn,x)=0,稱序列{xn}是S-收斂到x的.即對于?ε>0,?n0∈N,使得對所有的n≥n0,S(xn,xn,x)<ε.

(2) 序列{xn}?X,若limn,m→∞S(xn,xn,xm)=0,稱序列{xn}是柯西列.即對于?ε>0,?n0∈N,使得對于所有的n,m≥n0,S(xn,xn,xm)<ε.

(3) 如果X中每個柯西列都是S-收斂的,則稱S-度量空間(X,S)是完備的.

引理1[5]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間,對于所有的x,y∈X,有

S(x,x,y)=S(y,y,x).

引理2[5]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間,如果xn→x,yn→y,則有

S(xn,xn,yn)→S(x,x,y),n→∞.

定義4[8]設(shè)(X,S1),(Y,S2)是兩個S-度量空間,映象T:X→Y,如果序列{Txn}在Y中是S2-收斂的,能夠推出序列{xn}在X中是S1-收斂的,則稱T是序列收斂的.

定義5[8]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間,f,g是X上的兩個自映象,稱自映象對(f,g)是弱交換的,若對所有的x∈X,有S(fgx,fgx,gfx)≤S(fx,fx,gx).

定義6[8]設(shè)(X,S)是一個S-度量空間,f,g是X上的兩個自映象,稱自映象對(f,g)是R-弱交換的,若存在正實數(shù)R,對于所有的x∈X,有S(fgx,fgx,gfx)≤RS(fx,fx,gx).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,S1)是一個S-度量空間,(Y,S2)是一個完備的S-度量空間,f和g為X上的一對R-弱交換自映象,并滿足如下的條件:

(a)f(X)?g(X);

(b)f或g是連續(xù)的;

(c) 對任意的x,y∈X,有

S2(Ffx,Ffx,Ffy)≤k1S2(Ffx,Ffx,Fgy)+k2S2(Fgy,Fgy,Ffy)+

k3S2(Fgx,Fgx,Fgy)+k4S2(Ffy,Ffy,Fgx).

其中ki≥0,k1+k2+k3+3k4<1,并且F:X→Y是一對一的,連續(xù)且序列收斂的,則f與g在X中有唯一的公共不動點z.

證明任取x0∈X,則?x1∈X,使得fx0=gx1,重復(fù)這樣的過程,選取xn+1,使得fxn=gxn+1.令yn=Ffxn,有

S2(yn,yn,yn+1)=S2(Ffxn,Ffxn,Ffxn+1)≤

k1S2(Ffxn,Ffxn,Fgxn+1)+k2S2(Fgxn+1,Fgxn+1,Ffxn+1)+

k3S2(Fgxn,Fgxn,Fgxn+1)+k4S2(Ffxn+1,Ffxn+1,Fgxn)=

k1S2(yn,yn,yn)+k2S2(yn,yn,yn+1)+k3S2(yn-1,yn-1,yn)+k4S2(yn+1,yn+1,yn-1)≤

k1S2(yn,yn,yn)+k2S2(yn,yn,yn+1)+k3S2(yn-1,yn-1,yn)+

2k4S2(yn+1,yn+1,yn)+k4S2(yn-1,yn-1,yn)=

(k3+k4)S2(yn-1,yn-1,yn)+(k2+2k4)S2(yn,yn,yn+1).

整理得

(1)

重復(fù)利用式(1)可得到

S2(yn,yn,yn+1)≤qS2(yn-1,yn-1,yn)≤q2S2(yn-2,yn-2,yn-1)≤…≤qnS2(y0,y0,y1).

因此,對于所有的n

S2(yn,yn,ym)≤2S2(yn,yn,yn+1)+S2(ym,ym,yn+1)=

2S2(yn,yn,yn+1)+S2(yn+1,yn+1,ym)≤

?

2qnS2(y0,y0,y1)+2S2(yn+1,yn+1,yn+2)+S2(ym,ym,yn+2)≤

于是，當(dāng)n,m→∞時,S2(yn,yn,ym)→0,即{yn}是Y中的柯西列.因為(Y,S2)是完備的,故?y∈Y,使得yn→y(n→∞).因為F是序列收斂的,則?z∈X,使得{fxn}收斂到z.再由F的連續(xù)性知,{Ffxn}收斂到Fz.于是有yn=Ffxn=Fgxn+1→Fz=y.由于fxn=gxn+1,故序列{gxn}也收斂到z.

假設(shè)f是連續(xù)的，則有l(wèi)imn→∞ffxn=fz,limn→∞fgxn=fz.又因為f和g是R-弱交換的,我們有

S1(fgxn,fgxn,gfxn)≤RS1(fxn,fxn,gxn).

(2)

當(dāng)n→∞時,通過式(2)可得

因此,得到limn→∞gfxn=fz.進而由F的連續(xù)性知,limn→∞Fgfxn=Ffz.

下面證明z=fz.通過條件(c)可得

k1S2(Ffz,Ffz,Fz)+k2S2(Fz,Fz,Fz)+k3S2(Ffz,Ffz,Fz)+

k4S2(Fz,Fz,Ffz)=(k1+k3+k4)S2(Ffz,Ffz,Fz).

由上述不等式得到Ffz=Fz.因為F是一對一的,則有fz=z.又因為f(X)?g(X),我們能夠找到z1∈X,使得z=fz=gz1.此時,

S2(Fffxn,Fffxn,Ffz1)≤k1S2(Fffxn,Fffxn,Fgz1)+k2S2(Fgz1,Fgz1,Ffz1)+

k3S2(Fgfxn,Fgfxn,Fgz1)+k4S2(Ffz1,Ffz1,Fgfxn).

當(dāng)n→∞時,我們有

k1S2(Ffz,Ffz,Fgz1)+k2S2(Fgz1,Fgz1,Ffz1)+

k3S2(Ffz,Ffz,Fgz1)+k4S2(Ffz1,Ffz1,Ffz)=(k2+k4)S2(Ffz,Ffz,Ffz1),

所以Ffz=Ffz1,即z=fz=fz1=gz1.又因為

S1(fz,fz,gz)=S1(fgz1,fgz1,gfz1)≤RS1(fz1,fz1,gz1)=0,

所以fz=gz，于是fz=gz=z,即z是f和g的公共不動點.

如果g是連續(xù)的,同理可證z是f和g的公共不動點.

下證唯一性.令z′∈X,z′≠z是f和g的另一個公共不動點,則有

S2(Fz,Fz,Fz′)=S2(Ffz,Ffz,Ffz′)≤

k1S2(Ffz,Ffz,Fgz′)+k2S2(Fgz′,Fgz′,Ffz′)+

k3S2(Fgz,Fgz,Fgz′)+k4S2(Ffz′,Ffz′,Fgz)=

k1S2(Fz,Fz,Fz′)+k2S2(Fz′,Fz′,Fz′)+k3S2(Fz,Fz,Fz′)+k4S2(Fz′,Fz′,Fz)=

(k1+k3+k4)S2(Fz,Fz,Fz′)

推出矛盾.因此Fz=Fz′,即z=z′是f和g的唯一公共不動點.

注2定理1是文獻[8]中主要結(jié)果的進一步改進和發(fā)展,事實上,文獻[8]中的定理2.5是本文定理1中k1=k2=k4=0時的特例.

注3在定理1中,如果取k1,k2,k3,k4這4個系數(shù)中1個(或2個或3個)為0,則可以得到對應(yīng)的14個推論,此處省略.

推論1設(shè)(X,S)是一個完備的S-度量空間,f和g為X上的一對R-弱交換自映象,并滿足如下的條件:

(a)f(X)?g(X);

(b)f或g是連續(xù)的;

(c) 對任意的x,y∈X,有

S(Ffx,Ffx,Ffy)≤k1S(Ffx,Ffx,Fgy)+k2S(Fgy,Fgy,Ffy)+

k3S(Fgx,Fgx,Fgy)+k4S(Ffy,Ffy,Fgx).

其中ki≥0,k1+k2+k3+3k4<1,并且F:X→X是一對一的,連續(xù)且序列收斂的,則f與g在X中有唯一的公共不動點z.此外,如果Ff=fF,Fg=gF,則F,f和g在X中有唯一的公共不動點z.

證明由定理1知,f和g在X中有唯一的不動點z.現(xiàn)在我們證明Fz=z.

S(Fz,Fz,FFz)=S(Ffz,Ffz,FFfz)=S(Ffz,Ffz,FfFz)≤

k1S(Ffz,Ffz,FgFz)+k2S(FgFz,FgFz,FfFz)+

k3S(Fgz,Fgz,FgFz)+k4S(FfFz,FfFz,Fgz)=

k1S(Fz,Fz,FFz)+k2S(FFz,FFz,FFz)+k3S(Fz,Fz,FFz)+k4S(FFz,FFz,Fz)=

k1S(Fz,Fz,FFz)+k3S(Fz,Fz,FFz)+k4S(Fz,Fz,FFz)=

(k1+k3+k4)S(Fz,Fz,FFz).

由于k1+k3+k4≤k1+k2+k3+3k4<1,所以由上式得到FFz=Fz,又因為F是單射,所以Fz=z.

推論2設(shè)(X,S)是一個完備的S-度量空間,f和g為X上的一對R-弱交換自映象,并滿足如下的條件:

(a)f(X)?g(X);

(b)f或g是連續(xù)的;

(c) 對任意的x,y∈X,有

S(fx,fx,fy)≤k1S(fx,fx,gy)+k2S(gy,gy,fy)+k3S(gx,gx,gy)+k4S(fy,fy,gx).

其中ki≥0,k1+k2+k3+3k4<1,則f與g在X中有唯一的公共不動點z.

證明令F=I為恒等映射,由推論1得到,f與g在X中有唯一的不動點z.

推論3設(shè)(X,S)是一個完備的S-度量空間,F,f和g為X上的自映象,且Ff和Fg是R-弱交換自映象,并滿足如下的條件:

(a)Ff(X)?Fg(X);

(b)Ff或Fg是連續(xù)的;

(c) 對任意的x,y∈X,有

S(Ffx,Ffx,Ffy)≤k1S(Ffx,Ffx,Fgy)+k2S(Fgy,Fgy,Ffy)+

k3S(Fgx,Fgx,Fgy)+k4S(Ffy,Ffy,Fgx).

其中ki≥0,k1+k2+k3+3k4<1.如果Ff=fF,Fg=gF,則F,f和g在X中有唯一的公共不動點z.

證明由推論2知,Ff和Fg在X中有唯一的不動點z,即Ffz=Fgz=z.現(xiàn)在我們證明fz=z.

S(Fz,Fz,z)=S(FFfz,FFfz,Ffz)=S(FfFz,FfFz,Ffz)≤

k1S(FfFz,FfFz,Fgz)+k2S(Fgz,Fgz,Ffz)+k3S(FgFz,FgFz,Fgz)+k4S(Ffz,Ffz,FgFz)=

k1S(FFfz,FFfz,Fgz)+k2S(Fgz,Fgz,Ffz)+k3S(FFgz,FFgz,Fgz)+k4S(Ffz,Ffz,FFgz)=

k1S(Fz,Fz,z)+k2S(z,z,z)+k3S(Fz,Fz,z)+k4S(z,z,Fz)=(k1+k3+k4)S(Fz,Fz,z).

由于k1+k3+k4≤k1+k2+k3+3k4<1,所以由上式得到Fz=z,因此z=Ffz=fFz=fz.同理可證,gz=z,于是F,f和g在X中有唯一的公共不動點z.

注4推論1—推論3改進和推廣了文獻[8]中的推論2.7、2.9和2.10.事實上,文獻[8]中的推論2.7、2.9和2.10分別是本文推論1、2和3中當(dāng)k1=k2=k4=0時的特殊情況.